初级微积分示例

$y = 0.03 x^{2} + 11 x + 1$

解题步骤 1

将 $y = 0.03 x^{2} + 11 x + 1$ 书写为一个函数。

$f (x) = 0.03 x^{2} + 11 x + 1$

解题步骤 2

考虑差商公式。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

解题步骤 3

求定义的补集。

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解题步骤 3.1

计算函数在 $x = x + h$ 处的值。

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解题步骤 3.1.1

使用表达式中的 $x + h$ 替换变量 $x$ 。

$f (x + h) = 0.03 {(x + h)}^{2} + 11 (x + h) + 1$

解题步骤 3.1.2

化简结果。

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解题步骤 3.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.1.1

将 ${(x + h)}^{2}$ 重写为 $(x + h) (x + h)$ 。

$f (x + h) = 0.03 ((x + h) (x + h)) + 11 (x + h) + 1$

解题步骤 3.1.2.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(x + h) (x + h)$ 。

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解题步骤 3.1.2.1.2.1

运用分配律。

$f (x + h) = 0.03 (x (x + h) + h (x + h)) + 11 (x + h) + 1$

解题步骤 3.1.2.1.2.2

运用分配律。

$f (x + h) = 0.03 (x \cdot x + x h + h (x + h)) + 11 (x + h) + 1$

解题步骤 3.1.2.1.2.3

运用分配律。

$f (x + h) = 0.03 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + 11 (x + h) + 1$

解题步骤 3.1.2.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.1.2.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.1.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f (x + h) = 0.03 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + 11 (x + h) + 1$

解题步骤 3.1.2.1.3.1.2

将 $h$ 乘以 $h$ 。

$f (x + h) = 0.03 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + 11 (x + h) + 1$

解题步骤 3.1.2.1.3.2

将 $x h$ 和 $h x$ 相加。

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解题步骤 3.1.2.1.3.2.1

将 $x$ 和 $h$ 重新排序。

$f (x + h) = 0.03 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + 11 (x + h) + 1$

解题步骤 3.1.2.1.3.2.2

将 $h x$ 和 $h x$ 相加。

$f (x + h) = 0.03 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + 11 (x + h) + 1$

解题步骤 3.1.2.1.4

运用分配律。

$f (x + h) = 0.03 x^{2} + 0.03 (2 h x) + 0.03 h^{2} + 11 (x + h) + 1$

解题步骤 3.1.2.1.5

将 $2$ 乘以 $0.03$ 。

$f (x + h) = 0.03 x^{2} + 0.06 (h x) + 0.03 h^{2} + 11 (x + h) + 1$

解题步骤 3.1.2.1.6

运用分配律。

$f (x + h) = 0.03 x^{2} + 0.06 h x + 0.03 h^{2} + 11 x + 11 h + 1$

解题步骤 3.1.2.2

最终答案为 $0.03 x^{2} + 0.06 h x + 0.03 h^{2} + 11 x + 11 h + 1$ 。

$0.03 x^{2} + 0.06 h x + 0.03 h^{2} + 11 x + 11 h + 1$

解题步骤 3.2

重新排序。

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解题步骤 3.2.1

移动 $11 x$ 。

$0.03 x^{2} + 0.06 h x + 0.03 h^{2} + 11 h + 11 x + 1$

解题步骤 3.2.2

移动 $0.03 x^{2}$ 。

$0.06 h x + 0.03 h^{2} + 0.03 x^{2} + 11 h + 11 x + 1$

解题步骤 3.2.3

将 $0.06 h x$ 和 $0.03 h^{2}$ 重新排序。

$0.03 h^{2} + 0.06 h x + 0.03 x^{2} + 11 h + 11 x + 1$

解题步骤 3.3

求定义的补集。

$f (x + h) = 0.03 h^{2} + 0.06 h x + 0.03 x^{2} + 11 h + 11 x + 1$

$f (x) = 0.03 x^{2} + 11 x + 1$

$f (x + h) = 0.03 h^{2} + 0.06 h x + 0.03 x^{2} + 11 h + 11 x + 1$

$f (x) = 0.03 x^{2} + 11 x + 1$

解题步骤 4

插入分量。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{0.03 h^{2} + 0.06 h x + 0.03 x^{2} + 11 h + 11 x + 1 - (0.03 x^{2} + 11 x + 1)}{h}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

化简分子。

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解题步骤 5.1.1

从 $0.03 h^{2} + 0.06 h x + 0.03 x^{2} + 11 h + 11 x + 1 - (0.03 x^{2} + 11 x + 1)$ 中分解出因数 $0.01$ 。

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解题步骤 5.1.1.1

移动 $h$ 。

$\frac{0.03 h^{2} + 0.06 x h + 0.03 x^{2} + 11 h + 11 x + 1 - (0.03 x^{2} + 11 x + 1)}{h}$

解题步骤 5.1.1.2

从 $0.03 h^{2}$ 中分解出因数 $0.01$ 。

$\frac{0.01 (3 h^{2}) + 0.06 x h + 0.03 x^{2} + 11 h + 11 x + 1 - (0.03 x^{2} + 11 x + 1)}{h}$

解题步骤 5.1.1.3

从 $0.06 x h$ 中分解出因数 $0.01$ 。

$\frac{0.01 (3 h^{2}) + 0.01 (6 x h) + 0.03 x^{2} + 11 h + 11 x + 1 - (0.03 x^{2} + 11 x + 1)}{h}$

解题步骤 5.1.1.4

从 $0.03 x^{2}$ 中分解出因数 $0.01$ 。

$\frac{0.01 (3 h^{2}) + 0.01 (6 x h) + 0.01 (3 x^{2}) + 11 h + 11 x + 1 - (0.03 x^{2} + 11 x + 1)}{h}$

解题步骤 5.1.1.5

从 $11 h$ 中分解出因数 $0.01$ 。

$\frac{0.01 (3 h^{2}) + 0.01 (6 x h) + 0.01 (3 x^{2}) + 0.01 (1100 h) + 11 x + 1 - (0.03 x^{2} + 11 x + 1)}{h}$

解题步骤 5.1.1.6

从 $11 x$ 中分解出因数 $0.01$ 。

$\frac{0.01 (3 h^{2}) + 0.01 (6 x h) + 0.01 (3 x^{2}) + 0.01 (1100 h) + 0.01 (1100 x) + 1 - (0.03 x^{2} + 11 x + 1)}{h}$

解题步骤 5.1.1.7

从 $1$ 中分解出因数 $0.01$ 。

$\frac{0.01 (3 h^{2}) + 0.01 (6 x h) + 0.01 (3 x^{2}) + 0.01 (1100 h) + 0.01 (1100 x) + 0.01 (100) - (0.03 x^{2} + 11 x + 1)}{h}$

解题步骤 5.1.1.8

从 $- (0.03 x^{2} + 11 x + 1)$ 中分解出因数 $0.01$ 。

$\frac{0.01 (3 h^{2}) + 0.01 (6 x h) + 0.01 (3 x^{2}) + 0.01 (1100 h) + 0.01 (1100 x) + 0.01 (100) + 0.01 (- 100 (0.03 x^{2} + 11 x + 1))}{h}$

解题步骤 5.1.1.9

从 $0.01 (3 h^{2}) + 0.01 (6 x h)$ 中分解出因数 $0.01$ 。

$\frac{0.01 (3 h^{2} + 6 x h) + 0.01 (3 x^{2}) + 0.01 (1100 h) + 0.01 (1100 x) + 0.01 (100) + 0.01 (- 100 (0.03 x^{2} + 11 x + 1))}{h}$

解题步骤 5.1.1.10

从 $0.01 (3 h^{2} + 6 x h) + 0.01 (3 x^{2})$ 中分解出因数 $0.01$ 。

$\frac{0.01 (3 h^{2} + 6 x h + 3 x^{2}) + 0.01 (1100 h) + 0.01 (1100 x) + 0.01 (100) + 0.01 (- 100 (0.03 x^{2} + 11 x + 1))}{h}$

解题步骤 5.1.1.11

从 $0.01 (3 h^{2} + 6 x h + 3 x^{2}) + 0.01 (1100 h)$ 中分解出因数 $0.01$ 。

$\frac{0.01 (3 h^{2} + 6 x h + 3 x^{2} + 1100 h) + 0.01 (1100 x) + 0.01 (100) + 0.01 (- 100 (0.03 x^{2} + 11 x + 1))}{h}$

解题步骤 5.1.1.12

从 $0.01 (3 h^{2} + 6 x h + 3 x^{2} + 1100 h) + 0.01 (1100 x)$ 中分解出因数 $0.01$ 。

$\frac{0.01 (3 h^{2} + 6 x h + 3 x^{2} + 1100 h + 1100 x) + 0.01 (100) + 0.01 (- 100 (0.03 x^{2} + 11 x + 1))}{h}$

解题步骤 5.1.1.13

从 $0.01 (3 h^{2} + 6 x h + 3 x^{2} + 1100 h + 1100 x) + 0.01 (100)$ 中分解出因数 $0.01$ 。

$\frac{0.01 (3 h^{2} + 6 x h + 3 x^{2} + 1100 h + 1100 x + 100) + 0.01 (- 100 (0.03 x^{2} + 11 x + 1))}{h}$

解题步骤 5.1.1.14

从 $0.01 (3 h^{2} + 6 x h + 3 x^{2} + 1100 h + 1100 x + 100) + 0.01 (- 100 (0.03 x^{2} + 11 x + 1))$ 中分解出因数 $0.01$ 。

$\frac{0.01 (3 h^{2} + 6 x h + 3 x^{2} + 1100 h + 1100 x + 100 - 100 (0.03 x^{2} + 11 x + 1))}{h}$

解题步骤 5.1.2

运用分配律。

$\frac{0.01 (3 h^{2} + 6 x h + 3 x^{2} + 1100 h + 1100 x + 100 - 100 (0.03 x^{2}) - 100 (11 x) - 100 \cdot 1)}{h}$

解题步骤 5.1.3

化简。

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解题步骤 5.1.3.1

将 $0.03$ 乘以 $- 100$ 。

$\frac{0.01 (3 h^{2} + 6 x h + 3 x^{2} + 1100 h + 1100 x + 100 - 3 x^{2} - 100 (11 x) - 100 \cdot 1)}{h}$

解题步骤 5.1.3.2

将 $11$ 乘以 $- 100$ 。

$\frac{0.01 (3 h^{2} + 6 x h + 3 x^{2} + 1100 h + 1100 x + 100 - 3 x^{2} - 1100 x - 100 \cdot 1)}{h}$

解题步骤 5.1.3.3

将 $- 100$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0.01 (3 h^{2} + 6 x h + 3 x^{2} + 1100 h + 1100 x + 100 - 3 x^{2} - 1100 x - 100)}{h}$

解题步骤 5.1.4

从 $3 x^{2}$ 中减去 $3 x^{2}$ 。

$\frac{0.01 (3 h^{2} + 6 x h + 0 x^{2} + 1100 h + 1100 x + 100 - 1100 x - 100)}{h}$

解题步骤 5.1.5

从 $1100 x$ 中减去 $1100 x$ 。

$\frac{0.01 (3 h^{2} + 6 x h + 0 x^{2} + 1100 h + 0 + 100 - 100)}{h}$

解题步骤 5.1.6

将 $3 h^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0.01 (3 h^{2} + 6 x h + 0 x^{2} + 1100 h + 100 - 100)}{h}$

解题步骤 5.1.7

从 $100$ 中减去 $100$ 。

$\frac{0.01 (3 h^{2} + 6 x h + 0 x^{2} + 1100 h + 0)}{h}$

解题步骤 5.1.8

将 $3 h^{2} + 6 x h + 0 x^{2} + 1100 h$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0.01 (3 h^{2} + 6 x h + 0 x^{2} + 1100 h)}{h}$

解题步骤 5.1.9

以因式分解的形式重写 $3 h^{2} + 6 x h + 0 x^{2} + 1100 h$ 。

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解题步骤 5.1.9.1

从 $3 h^{2} + 6 x h$ 中分解出因数 $3 h$ 。

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解题步骤 5.1.9.1.1

从 $3 h^{2}$ 中分解出因数 $3 h$ 。

$\frac{0.01 (3 h \cdot h + 6 x h + 0 x^{2} + 1100 h)}{h}$

解题步骤 5.1.9.1.2

从 $6 x h$ 中分解出因数 $3 h$ 。

$\frac{0.01 (3 h \cdot h + 3 h (2 x) + 0 x^{2} + 1100 h)}{h}$

解题步骤 5.1.9.1.3

从 $3 h \cdot h + 3 h (2 x)$ 中分解出因数 $3 h$ 。

$\frac{0.01 (3 h (h + 2 x) + 0 x^{2} + 1100 h)}{h}$

解题步骤 5.1.9.2

从 $0 x^{2} + 1100 h$ 中分解出因数 $1100$ 。

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解题步骤 5.1.9.2.1

从 $0 x^{2}$ 中分解出因数 $1100$ 。

$\frac{0.01 (3 h (h + 2 x) + 1100 (0 x^{2}) + 1100 h)}{h}$

解题步骤 5.1.9.2.2

从 $1100 h$ 中分解出因数 $1100$ 。

$\frac{0.01 (3 h (h + 2 x) + 1100 (0 x^{2}) + 1100 h)}{h}$

解题步骤 5.1.9.2.3

从 $1100 (0 x^{2}) + 1100 h$ 中分解出因数 $1100$ 。

$\frac{0.01 (3 h (h + 2 x) + 1100 (0 x^{2} + h))}{h}$

解题步骤 5.1.9.3

将 $0$ 乘以 $x^{2}$ 。

$\frac{0.01 (3 h (h + 2 x) + 1100 (0 + h))}{h}$

解题步骤 5.1.9.4

将 $0$ 和 $h$ 相加。

$\frac{0.01 (3 h (h + 2 x) + 1100 h)}{h}$

解题步骤 5.1.9.5

从 $3 h (h + 2 x) + 1100 h$ 中分解出因数 $h$ 。

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解题步骤 5.1.9.5.1

从 $3 h (h + 2 x)$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{0.01 (h (3 (h + 2 x)) + 1100 h)}{h}$

解题步骤 5.1.9.5.2

从 $1100 h$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{0.01 (h (3 (h + 2 x)) + h \cdot 1100)}{h}$

解题步骤 5.1.9.5.3

从 $h (3 (h + 2 x)) + h \cdot 1100$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{0.01 (h (3 (h + 2 x) + 1100))}{h}$

解题步骤 5.1.9.6

运用分配律。

$\frac{0.01 (h (3 h + 3 (2 x) + 1100))}{h}$

解题步骤 5.1.9.7

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{0.01 (h (3 h + 6 x + 1100))}{h}$

$\frac{0.01 h (3 h + 6 x + 1100)}{h}$

解题步骤 5.2

化简项。

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解题步骤 5.2.1

约去 $h$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{0.01 h (3 h + 6 x + 1100)}{h}$

解题步骤 5.2.1.2

用 $0.01 (3 h + 6 x + 1100)$ 除以 $1$ 。

$0.01 (3 h + 6 x + 1100)$

解题步骤 5.2.2

运用分配律。

$0.01 (3 h) + 0.01 (6 x) + 0.01 \cdot 1100$

解题步骤 5.3

化简。

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解题步骤 5.3.1

将 $3$ 乘以 $0.01$ 。

$0.03 h + 0.01 (6 x) + 0.01 \cdot 1100$

解题步骤 5.3.2

将 $6$ 乘以 $0.01$ 。

$0.03 h + 0.06 x + 0.01 \cdot 1100$

解题步骤 5.3.3

将 $0.01$ 乘以 $1100$ 。

$0.03 h + 0.06 x + 11$

解题步骤 5.4

将 $0.03 h$ 和 $0.06 x$ 重新排序。

$0.06 x + 0.03 h + 11$

解题步骤 6

初级微积分 示例

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