初级微积分示例

$f (x) = 4 e^{2 x} - 1$

解题步骤 1

考虑差商公式。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

解题步骤 2

求定义的补集。

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解题步骤 2.1

计算函数在 $x = x + h$ 处的值。

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解题步骤 2.1.1

使用表达式中的 $x + h$ 替换变量 $x$ 。

$f (x + h) = 4 e^{2 (x + h)} - 1$

解题步骤 2.1.2

化简结果。

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解题步骤 2.1.2.1

运用分配律。

$f (x + h) = 4 e^{2 x + 2 h} - 1$

解题步骤 2.1.2.2

最终答案为 $4 e^{2 x + 2 h} - 1$ 。

$4 e^{2 x + 2 h} - 1$

解题步骤 2.2

求定义的补集。

$f (x + h) = 4 e^{2 x + 2 h} - 1$

$f (x) = 4 e^{2 x} - 1$

$f (x + h) = 4 e^{2 x + 2 h} - 1$

$f (x) = 4 e^{2 x} - 1$

解题步骤 3

插入分量。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{4 e^{2 x + 2 h} - 1 - (4 e^{2 x} - 1)}{h}$

解题步骤 4

化简分子。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$\frac{4 e^{2 x + 2 h} - 1 - (4 e^{2 x}) - - 1}{h}$

解题步骤 4.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{4 e^{2 x + 2 h} - 1 - 4 e^{2 x} - - 1}{h}$

解题步骤 4.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{4 e^{2 x + 2 h} - 1 - 4 e^{2 x} + 1}{h}$

解题步骤 4.4

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{4 e^{2 x + 2 h} + 0 - 4 e^{2 x}}{h}$

解题步骤 4.5

将 $4 e^{2 x + 2 h}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{4 e^{2 x + 2 h} - 4 e^{2 x}}{h}$

解题步骤 4.6

以因式分解的形式重写 $4 e^{2 x + 2 h} - 4 e^{2 x}$ 。

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解题步骤 4.6.1

从 $4 e^{2 x + 2 h} - 4 e^{2 x}$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 4.6.1.1

从 $4 e^{2 x + 2 h}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 e^{2 x + 2 h} - 4 e^{2 x}}{h}$

解题步骤 4.6.1.2

从 $- 4 e^{2 x}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 e^{2 x + 2 h} + 4 (- e^{2 x})}{h}$

解题步骤 4.6.1.3

从 $4 e^{2 x + 2 h} + 4 (- e^{2 x})$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (e^{2 x + 2 h} - e^{2 x})}{h}$

解题步骤 4.6.2

将 $e^{2 x + 2 h}$ 重写为 ${(e^{x + h})}^{2}$ 。

$\frac{4 ({(e^{x + h})}^{2} - e^{2 x})}{h}$

解题步骤 4.6.3

将 $e^{2 x}$ 重写为 ${(e^{x})}^{2}$ 。

$\frac{4 ({(e^{x + h})}^{2} - {(e^{x})}^{2})}{h}$

解题步骤 4.6.4

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = e^{x + h}$ 和 $b = e^{x}$ 。

$\frac{4 (e^{x + h} + e^{x}) (e^{x + h} - e^{x})}{h}$

解题步骤 5

初级微积分 示例

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