初级微积分示例

$f (x) = \frac{1}{8} x^{3} - x^{2}$

解题步骤 1

考虑差商公式。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

解题步骤 2

求定义的补集。

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解题步骤 2.1

计算函数在 $x = x + h$ 处的值。

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解题步骤 2.1.1

使用表达式中的 $x + h$ 替换变量 $x$ 。

$f (x + h) = \frac{1}{8} \cdot {(x + h)}^{3} - {(x + h)}^{2}$

解题步骤 2.1.2

化简结果。

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解题步骤 2.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.1.1

使用二项式定理。

$f (x + h) = \frac{1}{8} \cdot (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3}) - {(x + h)}^{2}$

解题步骤 2.1.2.1.2

运用分配律。

$f (x + h) = \frac{1}{8} x^{3} + \frac{1}{8} \cdot (3 x^{2} h) + \frac{1}{8} \cdot (3 x h^{2}) + \frac{1}{8} h^{3} - {(x + h)}^{2}$

解题步骤 2.1.2.1.3

化简。

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解题步骤 2.1.2.1.3.1

组合 $\frac{1}{8}$ 和 $x^{3}$ 。

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{1}{8} \cdot (3 x^{2} h) + \frac{1}{8} \cdot (3 x h^{2}) + \frac{1}{8} h^{3} - {(x + h)}^{2}$

解题步骤 2.1.2.1.3.2

乘以 $\frac{1}{8} (3 x^{2} h)$ 。

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解题步骤 2.1.2.1.3.2.1

组合 $3$ 和 $\frac{1}{8}$ 。

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3}{8} \cdot (x^{2} h) + \frac{1}{8} \cdot (3 x h^{2}) + \frac{1}{8} h^{3} - {(x + h)}^{2}$

解题步骤 2.1.2.1.3.2.2

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{3}{8}$ 。

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{x^{2} \cdot 3}{8} \cdot h + \frac{1}{8} \cdot (3 x h^{2}) + \frac{1}{8} h^{3} - {(x + h)}^{2}$

解题步骤 2.1.2.1.3.2.3

组合 $\frac{x^{2} \cdot 3}{8}$ 和 $h$ 。

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{x^{2} \cdot (3 h)}{8} + \frac{1}{8} \cdot (3 x h^{2}) + \frac{1}{8} h^{3} - {(x + h)}^{2}$

解题步骤 2.1.2.1.3.3

乘以 $\frac{1}{8} (3 x h^{2})$ 。

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解题步骤 2.1.2.1.3.3.1

组合 $3$ 和 $\frac{1}{8}$ 。

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{x^{2} \cdot (3 h)}{8} + \frac{3}{8} \cdot (x h^{2}) + \frac{1}{8} h^{3} - {(x + h)}^{2}$

解题步骤 2.1.2.1.3.3.2

组合 $x$ 和 $\frac{3}{8}$ 。

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{x^{2} \cdot (3 h)}{8} + \frac{x \cdot 3}{8} \cdot h^{2} + \frac{1}{8} h^{3} - {(x + h)}^{2}$

解题步骤 2.1.2.1.3.3.3

组合 $\frac{x \cdot 3}{8}$ 和 $h^{2}$ 。

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{x^{2} \cdot (3 h)}{8} + \frac{x \cdot (3 h^{2})}{8} + \frac{1}{8} h^{3} - {(x + h)}^{2}$

解题步骤 2.1.2.1.3.4

组合 $\frac{1}{8}$ 和 $h^{3}$ 。

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{x^{2} \cdot (3 h)}{8} + \frac{x \cdot (3 h^{2})}{8} + \frac{h^{3}}{8} - {(x + h)}^{2}$

解题步骤 2.1.2.1.4

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.1.4.1

将 $3$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 \cdot (x^{2} h)}{8} + \frac{x \cdot (3 h^{2})}{8} + \frac{h^{3}}{8} - {(x + h)}^{2}$

解题步骤 2.1.2.1.4.2

将 $3$ 移到 $x$ 的左侧。

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2} h}{8} + \frac{3 x h^{2}}{8} + \frac{h^{3}}{8} - {(x + h)}^{2}$

解题步骤 2.1.2.1.5

将 ${(x + h)}^{2}$ 重写为 $(x + h) (x + h)$ 。

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2} h}{8} + \frac{3 x h^{2}}{8} + \frac{h^{3}}{8} - ((x + h) (x + h))$

解题步骤 2.1.2.1.6

使用 FOIL 方法展开 $(x + h) (x + h)$ 。

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解题步骤 2.1.2.1.6.1

运用分配律。

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2} h}{8} + \frac{3 x h^{2}}{8} + \frac{h^{3}}{8} - (x (x + h) + h (x + h))$

解题步骤 2.1.2.1.6.2

运用分配律。

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2} h}{8} + \frac{3 x h^{2}}{8} + \frac{h^{3}}{8} - (x \cdot x + x h + h (x + h))$

解题步骤 2.1.2.1.6.3

运用分配律。

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2} h}{8} + \frac{3 x h^{2}}{8} + \frac{h^{3}}{8} - (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h)$

解题步骤 2.1.2.1.7

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.1.2.1.7.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.1.7.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2} h}{8} + \frac{3 x h^{2}}{8} + \frac{h^{3}}{8} - (x^{2} + x h + h x + h \cdot h)$

解题步骤 2.1.2.1.7.1.2

将 $h$ 乘以 $h$ 。

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2} h}{8} + \frac{3 x h^{2}}{8} + \frac{h^{3}}{8} - (x^{2} + x h + h x + h^{2})$

解题步骤 2.1.2.1.7.2

将 $x h$ 和 $h x$ 相加。

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解题步骤 2.1.2.1.7.2.1

将 $x$ 和 $h$ 重新排序。

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2} h}{8} + \frac{3 x h^{2}}{8} + \frac{h^{3}}{8} - (x^{2} + h x + h x + h^{2})$

解题步骤 2.1.2.1.7.2.2

将 $h x$ 和 $h x$ 相加。

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2} h}{8} + \frac{3 x h^{2}}{8} + \frac{h^{3}}{8} - (x^{2} + 2 h x + h^{2})$

解题步骤 2.1.2.1.8

运用分配律。

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2} h}{8} + \frac{3 x h^{2}}{8} + \frac{h^{3}}{8} - x^{2} - (2 h x) - h^{2}$

解题步骤 2.1.2.1.9

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2} h}{8} + \frac{3 x h^{2}}{8} + \frac{h^{3}}{8} - x^{2} - 2 h x - h^{2}$

解题步骤 2.1.2.2

最终答案为 $\frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2} h}{8} + \frac{3 x h^{2}}{8} + \frac{h^{3}}{8} - x^{2} - 2 h x - h^{2}$ 。

$\frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2} h}{8} + \frac{3 x h^{2}}{8} + \frac{h^{3}}{8} - x^{2} - 2 h x - h^{2}$

解题步骤 2.2

重新排序。

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解题步骤 2.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{3}}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} + \frac{3 x h^{2}}{8} + \frac{h^{3}}{8} - x^{2} - 2 h x - h^{2}$

解题步骤 2.2.2

移动 $x$ 。

$\frac{x^{3}}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} + \frac{3 h^{2} x}{8} + \frac{h^{3}}{8} - x^{2} - 2 h x - h^{2}$

解题步骤 2.2.3

移动 $- x^{2}$ 。

$\frac{x^{3}}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} + \frac{3 h^{2} x}{8} + \frac{h^{3}}{8} - 2 h x - h^{2} - x^{2}$

解题步骤 2.2.4

移动 $- 2 h x$ 。

$\frac{x^{3}}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} + \frac{3 h^{2} x}{8} + \frac{h^{3}}{8} - h^{2} - 2 h x - x^{2}$

解题步骤 2.2.5

移动 $\frac{x^{3}}{8}$ 。

$\frac{3 h x^{2}}{8} + \frac{3 h^{2} x}{8} + \frac{h^{3}}{8} + \frac{x^{3}}{8} - h^{2} - 2 h x - x^{2}$

解题步骤 2.2.6

移动 $\frac{3 h x^{2}}{8}$ 。

$\frac{3 h^{2} x}{8} + \frac{h^{3}}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} + \frac{x^{3}}{8} - h^{2} - 2 h x - x^{2}$

解题步骤 2.2.7

将 $\frac{3 h^{2} x}{8}$ 和 $\frac{h^{3}}{8}$ 重新排序。

$\frac{h^{3}}{8} + \frac{3 h^{2} x}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} + \frac{x^{3}}{8} - h^{2} - 2 h x - x^{2}$

解题步骤 2.3

求定义的补集。

$f (x + h) = \frac{h^{3}}{8} + \frac{3 h^{2} x}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} + \frac{x^{3}}{8} - h^{2} - 2 h x - x^{2}$

$f (x) = \frac{x^{3}}{8} - x^{2}$

$f (x + h) = \frac{h^{3}}{8} + \frac{3 h^{2} x}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} + \frac{x^{3}}{8} - h^{2} - 2 h x - x^{2}$

$f (x) = \frac{x^{3}}{8} - x^{2}$

解题步骤 3

插入分量。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{h^{3}}{8} + \frac{3 h^{2} x}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} + \frac{x^{3}}{8} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - (\frac{x^{3}}{8} - x^{2})}{h}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

运用分配律。

$\frac{\frac{h^{3}}{8} + \frac{3 h^{2} x}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} + \frac{x^{3}}{8} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - \frac{x^{3}}{8} - - x^{2}}{h}$

解题步骤 4.1.2

乘以 $- - x^{2}$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\frac{h^{3}}{8} + \frac{3 h^{2} x}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} + \frac{x^{3}}{8} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - \frac{x^{3}}{8} + 1 x^{2}}{h}$

解题步骤 4.1.2.2

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\frac{h^{3}}{8} + \frac{3 h^{2} x}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} + \frac{x^{3}}{8} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - \frac{x^{3}}{8} + x^{2}}{h}$

解题步骤 4.1.3

从 $\frac{x^{3}}{8}$ 中减去 $\frac{x^{3}}{8}$ 。

$\frac{\frac{h^{3}}{8} + \frac{3 h^{2} x}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} - h^{2} - 2 h x - x^{2} + 0 + x^{2}}{h}$

解题步骤 4.1.4

将 $\frac{h^{3}}{8}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\frac{h^{3}}{8} + \frac{3 h^{2} x}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} - h^{2} - 2 h x - x^{2} + x^{2}}{h}$

解题步骤 4.1.5

将 $- x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$\frac{\frac{h^{3}}{8} + \frac{3 h^{2} x}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} - h^{2} - 2 h x + 0}{h}$

解题步骤 4.1.6

将 $\frac{h^{3}}{8} + \frac{3 h^{2} x}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} - h^{2} - 2 h x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\frac{h^{3}}{8} + \frac{3 h^{2} x}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} - h^{2} - 2 h x}{h}$

解题步骤 4.1.7

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{h^{3} + 3 h^{2} x}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} - h^{2} - 2 h x}{h}$

解题步骤 4.1.8

从 $h^{3} + 3 h^{2} x$ 中分解出因数 $h^{2}$ 。

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解题步骤 4.1.8.1

从 $h^{3}$ 中分解出因数 $h^{2}$ 。

$\frac{\frac{h^{2} h + 3 h^{2} x}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} - h^{2} - 2 h x}{h}$

解题步骤 4.1.8.2

从 $3 h^{2} x$ 中分解出因数 $h^{2}$ 。

$\frac{\frac{h^{2} h + h^{2} (3 x)}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} - h^{2} - 2 h x}{h}$

解题步骤 4.1.8.3

从 $h^{2} h + h^{2} (3 x)$ 中分解出因数 $h^{2}$ 。

$\frac{\frac{h^{2} (h + 3 x)}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} - h^{2} - 2 h x}{h}$

解题步骤 4.1.9

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{h^{2} (h + 3 x) + 3 h x^{2}}{8} - h^{2} - 2 h x}{h}$

解题步骤 4.1.10

化简分子。

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解题步骤 4.1.10.1

从 $h^{2} (h + 3 x) + 3 h x^{2}$ 中分解出因数 $h$ 。

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解题步骤 4.1.10.1.1

从 $h^{2} (h + 3 x)$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{\frac{h (h (h + 3 x)) + 3 h x^{2}}{8} - h^{2} - 2 h x}{h}$

解题步骤 4.1.10.1.2

从 $3 h x^{2}$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{\frac{h (h (h + 3 x)) + h (3 x^{2})}{8} - h^{2} - 2 h x}{h}$

解题步骤 4.1.10.1.3

从 $h (h (h + 3 x)) + h (3 x^{2})$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{\frac{h (h (h + 3 x) + 3 x^{2})}{8} - h^{2} - 2 h x}{h}$

解题步骤 4.1.10.2

运用分配律。

$\frac{\frac{h (h (h) + h (3 x) + 3 x^{2})}{8} - h^{2} - 2 h x}{h}$

解题步骤 4.1.10.3

将 $h$ 乘以 $h$ 。

$\frac{\frac{h (h^{2} + h (3 x) + 3 x^{2})}{8} - h^{2} - 2 h x}{h}$

解题步骤 4.1.10.4

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{8} - h^{2} - 2 h x}{h}$

解题步骤 4.1.11

要将 $- h^{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{8}{8}$ 。

$\frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{8} - h^{2} \cdot \frac{8}{8} - 2 h x}{h}$

解题步骤 4.1.12

组合 $- h^{2}$ 和 $\frac{8}{8}$ 。

$\frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{8} + \frac{- h^{2} \cdot 8}{8} - 2 h x}{h}$

解题步骤 4.1.13

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) - h^{2} \cdot 8}{8} - 2 h x}{h}$

解题步骤 4.1.14

化简分子。

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解题步骤 4.1.14.1

从 $h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) - h^{2} \cdot 8$ 中分解出因数 $h$ 。

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解题步骤 4.1.14.1.1

从 $- h^{2} \cdot 8$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) + h (- h \cdot 8)}{8} - 2 h x}{h}$

解题步骤 4.1.14.1.2

从 $h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) + h (- h \cdot 8)$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - h \cdot 8)}{8} - 2 h x}{h}$

解题步骤 4.1.14.2

将 $8$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 8 h)}{8} - 2 h x}{h}$

解题步骤 4.1.15

要将 $- 2 h x$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{8}{8}$ 。

$\frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 8 h)}{8} - 2 h x \cdot \frac{8}{8}}{h}$

解题步骤 4.1.16

组合 $- 2 h x$ 和 $\frac{8}{8}$ 。

$\frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 8 h)}{8} + \frac{- 2 h x \cdot 8}{8}}{h}$

解题步骤 4.1.17

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 8 h) - 2 h x \cdot 8}{8}}{h}$

解题步骤 4.1.18

化简分子。

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解题步骤 4.1.18.1

从 $h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 8 h) - 2 h x \cdot 8$ 中分解出因数 $h$ 。

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解题步骤 4.1.18.1.1

从 $- 2 h x \cdot 8$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 8 h) + h (- 2 x \cdot 8)}{8}}{h}$

解题步骤 4.1.18.1.2

从 $h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 8 h) + h (- 2 x \cdot 8)$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 8 h - 2 x \cdot 8)}{8}}{h}$

解题步骤 4.1.18.2

将 $8$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 8 h - 16 x)}{8}}{h}$

解题步骤 4.2

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 8 h - 16 x)}{8} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 4.3

合并。

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 8 h - 16 x) \cdot 1}{8 h}$

解题步骤 4.4

约去 $h$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.1

约去公因数。

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 8 h - 16 x) \cdot 1}{8 h}$

解题步骤 4.4.2

重写表达式。

$\frac{(h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 8 h - 16 x) \cdot 1}{8}$

解题步骤 4.5

将 $h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 8 h - 16 x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 8 h - 16 x}{8}$

解题步骤 5

初级微积分 示例

初级微积分示例