初级微积分示例

$f (x) = \cot (x)$ , $[\frac{3 π}{4}, \frac{5 π}{4}]$

解题步骤 1

将 $f (x) = \cot (x)$ 写为等式。

$y = \cot (x)$

解题步骤 2

运用平均变化率公式代入。

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解题步骤 2.1

函数的平均变化率可通过计算两点的 $y$ 的变化值除以两点的 $x$ 变化值来求得。

$\frac{f (\frac{5 π}{4}) - f (\frac{3 π}{4})}{(\frac{5 π}{4}) - (\frac{3 π}{4})}$

解题步骤 2.2

代入 $f (\frac{5 π}{4})$ 和 $f (\frac{3 π}{4})$ 的方程 $y = \cot (x)$ 中，用对应的 $x$ 值替换函数中的 $x$ 。

$\frac{(\cot (\frac{5 π}{4})) - (\cot (\frac{3 π}{4}))}{(\frac{5 π}{4}) - (\frac{3 π}{4})}$

解题步骤 3

化简表达式。

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解题步骤 3.1

将分数的分子和分母乘以 $4$ 。

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解题步骤 3.1.1

将 $\frac{\cot (\frac{5 π}{4}) - \cot (\frac{3 π}{4})}{\frac{5 π}{4} - \frac{3 π}{4}}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{4}{4} \cdot \frac{\cot (\frac{5 π}{4}) - \cot (\frac{3 π}{4})}{\frac{5 π}{4} - \frac{3 π}{4}}$

解题步骤 3.1.2

合并。

$\frac{4 (\cot (\frac{5 π}{4}) - \cot (\frac{3 π}{4}))}{4 (\frac{5 π}{4} - \frac{3 π}{4})}$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$\frac{4 \cot (\frac{5 π}{4}) + 4 (- \cot (\frac{3 π}{4}))}{4 \frac{5 π}{4} + 4 (- \frac{3 π}{4})}$

解题步骤 3.3

通过相约进行化简。

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解题步骤 3.3.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.1

约去公因数。

$\frac{4 \cot (\frac{5 π}{4}) + 4 (- \cot (\frac{3 π}{4}))}{4 \frac{5 π}{4} + 4 (- \frac{3 π}{4})}$

解题步骤 3.3.1.2

重写表达式。

$\frac{4 \cot (\frac{5 π}{4}) + 4 (- \cot (\frac{3 π}{4}))}{5 π + 4 (- \frac{3 π}{4})}$

解题步骤 3.3.2

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1

将 $- \frac{3 π}{4}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{4 \cot (\frac{5 π}{4}) + 4 (- \cot (\frac{3 π}{4}))}{5 π + 4 \frac{- 3 π}{4}}$

解题步骤 3.3.2.2

约去公因数。

$\frac{4 \cot (\frac{5 π}{4}) + 4 (- \cot (\frac{3 π}{4}))}{5 π + 4 \frac{- 3 π}{4}}$

解题步骤 3.3.2.3

重写表达式。

$\frac{4 \cot (\frac{5 π}{4}) + 4 (- \cot (\frac{3 π}{4}))}{5 π - 3 π}$

解题步骤 3.4

化简分子。

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解题步骤 3.4.1

从 $4 \cot (\frac{5 π}{4}) + 4 (- \cot (\frac{3 π}{4}))$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (\cot (\frac{5 π}{4}) - \cot (\frac{3 π}{4}))}{5 π - 3 π}$

解题步骤 3.4.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$\frac{4 (\cot (\frac{π}{4}) - \cot (\frac{3 π}{4}))}{5 π - 3 π}$

解题步骤 3.4.3

$\cot (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{4 (1 - \cot (\frac{3 π}{4}))}{5 π - 3 π}$

解题步骤 3.4.4

通过在第一象限中求出具有同样三角函数值的角来应用参考角。将表达式变为负，因为余切在第二象限为负。

$\frac{4 (1 - - \cot (\frac{π}{4}))}{5 π - 3 π}$

解题步骤 3.4.5

$\cot (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{4 (1 - (- 1 \cdot 1))}{5 π - 3 π}$

解题步骤 3.4.6

乘以 $- (- 1 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 3.4.6.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4 (1 - - 1)}{5 π - 3 π}$

解题步骤 3.4.6.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{4 (1 + 1)}{5 π - 3 π}$

解题步骤 3.4.7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{4 \cdot 2}{5 π - 3 π}$

解题步骤 3.5

化简项。

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解题步骤 3.5.1

从 $5 π$ 中减去 $3 π$ 。

$\frac{4 \cdot 2}{2 π}$

解题步骤 3.5.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{8}{2 π}$

解题步骤 3.5.3

约去 $8$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.3.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 4}{2 π}$

解题步骤 3.5.3.2

约去公因数。

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解题步骤 3.5.3.2.1

从 $2 π$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 4}{2 (π)}$

解题步骤 3.5.3.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 4}{2 π}$

解题步骤 3.5.3.2.3

重写表达式。

$\frac{4}{π}$

初级微积分 示例

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