初级微积分示例

$f (x) = 2 {(x - 2)}^{2} + 1$

解题步骤 1

考虑差商公式。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

解题步骤 2

求定义的补集。

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解题步骤 2.1

计算函数在 $x = x + h$ 处的值。

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解题步骤 2.1.1

使用表达式中的 $x + h$ 替换变量 $x$ 。

$f (x + h) = 2 {((x + h) - 2)}^{2} + 1$

解题步骤 2.1.2

化简结果。

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解题步骤 2.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.1.1

将 ${(x + h - 2)}^{2}$ 重写为 $(x + h - 2) (x + h - 2)$ 。

$f (x + h) = 2 ((x + h - 2) (x + h - 2)) + 1$

解题步骤 2.1.2.1.2

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(x + h - 2) (x + h - 2)$ 。

$f (x + h) = 2 (x \cdot x + x h + x \cdot - 2 + h x + h \cdot h + h \cdot - 2 - 2 x - 2 h - 2 \cdot - 2) + 1$

解题步骤 2.1.2.1.3

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.1.3.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f (x + h) = 2 (x^{2} + x h + x \cdot - 2 + h x + h \cdot h + h \cdot - 2 - 2 x - 2 h - 2 \cdot - 2) + 1$

解题步骤 2.1.2.1.3.2

将 $- 2$ 移到 $x$ 的左侧。

$f (x + h) = 2 (x^{2} + x h - 2 \cdot x + h x + h \cdot h + h \cdot - 2 - 2 x - 2 h - 2 \cdot - 2) + 1$

解题步骤 2.1.2.1.3.3

将 $h$ 乘以 $h$ 。

$f (x + h) = 2 (x^{2} + x h - 2 x + h x + h^{2} + h \cdot - 2 - 2 x - 2 h - 2 \cdot - 2) + 1$

解题步骤 2.1.2.1.3.4

将 $- 2$ 移到 $h$ 的左侧。

$f (x + h) = 2 (x^{2} + x h - 2 x + h x + h^{2} - 2 \cdot h - 2 x - 2 h - 2 \cdot - 2) + 1$

解题步骤 2.1.2.1.3.5

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$f (x + h) = 2 (x^{2} + x h - 2 x + h x + h^{2} - 2 h - 2 x - 2 h + 4) + 1$

解题步骤 2.1.2.1.4

将 $x h$ 和 $h x$ 相加。

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解题步骤 2.1.2.1.4.1

将 $x$ 和 $h$ 重新排序。

$f (x + h) = 2 (x^{2} + h x + h x - 2 x + h^{2} - 2 h - 2 x - 2 h + 4) + 1$

解题步骤 2.1.2.1.4.2

将 $h x$ 和 $h x$ 相加。

$f (x + h) = 2 (x^{2} + 2 h x - 2 x + h^{2} - 2 h - 2 x - 2 h + 4) + 1$

解题步骤 2.1.2.1.5

从 $- 2 x$ 中减去 $2 x$ 。

$f (x + h) = 2 (x^{2} + 2 h x + h^{2} - 2 h - 4 x - 2 h + 4) + 1$

解题步骤 2.1.2.1.6

从 $- 2 h$ 中减去 $2 h$ 。

$f (x + h) = 2 (x^{2} + 2 h x + h^{2} - 4 h - 4 x + 4) + 1$

解题步骤 2.1.2.1.7

运用分配律。

$f (x + h) = 2 x^{2} + 2 (2 h x) + 2 h^{2} + 2 (- 4 h) + 2 (- 4 x) + 2 \cdot 4 + 1$

解题步骤 2.1.2.1.8

化简。

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解题步骤 2.1.2.1.8.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f (x + h) = 2 x^{2} + 4 (h x) + 2 h^{2} + 2 (- 4 h) + 2 (- 4 x) + 2 \cdot 4 + 1$

解题步骤 2.1.2.1.8.2

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$f (x + h) = 2 x^{2} + 4 (h x) + 2 h^{2} - 8 h + 2 (- 4 x) + 2 \cdot 4 + 1$

解题步骤 2.1.2.1.8.3

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$f (x + h) = 2 x^{2} + 4 (h x) + 2 h^{2} - 8 h - 8 x + 2 \cdot 4 + 1$

解题步骤 2.1.2.1.8.4

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$f (x + h) = 2 x^{2} + 4 (h x) + 2 h^{2} - 8 h - 8 x + 8 + 1$

$f (x + h) = 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - 8 h - 8 x + 8 + 1$

解题步骤 2.1.2.2

将 $8$ 和 $1$ 相加。

$f (x + h) = 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - 8 h - 8 x + 9$

解题步骤 2.1.2.3

最终答案为 $2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - 8 h - 8 x + 9$ 。

$2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - 8 h - 8 x + 9$

解题步骤 2.2

重新排序。

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解题步骤 2.2.1

移动 $2 x^{2}$ 。

$4 h x + 2 h^{2} + 2 x^{2} - 8 h - 8 x + 9$

解题步骤 2.2.2

将 $4 h x$ 和 $2 h^{2}$ 重新排序。

$2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} - 8 h - 8 x + 9$

解题步骤 2.3

求定义的补集。

$f (x + h) = 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} - 8 h - 8 x + 9$

$f (x) = 2 x^{2} - 8 x + 9$

$f (x + h) = 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} - 8 h - 8 x + 9$

$f (x) = 2 x^{2} - 8 x + 9$

解题步骤 3

插入分量。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} - 8 h - 8 x + 9 - (2 x^{2} - 8 x + 9)}{h}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

运用分配律。

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} - 8 h - 8 x + 9 - (2 x^{2}) - (- 8 x) - 1 \cdot 9}{h}$

解题步骤 4.1.2

化简。

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解题步骤 4.1.2.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} - 8 h - 8 x + 9 - 2 x^{2} - (- 8 x) - 1 \cdot 9}{h}$

解题步骤 4.1.2.2

将 $- 8$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} - 8 h - 8 x + 9 - 2 x^{2} + 8 x - 1 \cdot 9}{h}$

解题步骤 4.1.2.3

将 $- 1$ 乘以 $9$ 。

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} - 8 h - 8 x + 9 - 2 x^{2} + 8 x - 9}{h}$

解题步骤 4.1.3

从 $2 x^{2}$ 中减去 $2 x^{2}$ 。

$\frac{2 h^{2} + 4 h x - 8 h - 8 x + 9 + 0 + 8 x - 9}{h}$

解题步骤 4.1.4

将 $2 h^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 h^{2} + 4 h x - 8 h - 8 x + 9 + 8 x - 9}{h}$

解题步骤 4.1.5

将 $- 8 x$ 和 $8 x$ 相加。

$\frac{2 h^{2} + 4 h x - 8 h + 0 + 9 - 9}{h}$

解题步骤 4.1.6

将 $2 h^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 h^{2} + 4 h x - 8 h + 9 - 9}{h}$

解题步骤 4.1.7

从 $9$ 中减去 $9$ 。

$\frac{2 h^{2} + 4 h x - 8 h + 0}{h}$

解题步骤 4.1.8

将 $2 h^{2} + 4 h x - 8 h$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 h^{2} + 4 h x - 8 h}{h}$

解题步骤 4.1.9

从 $2 h^{2} + 4 h x - 8 h$ 中分解出因数 $2 h$ 。

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解题步骤 4.1.9.1

从 $2 h^{2}$ 中分解出因数 $2 h$ 。

$\frac{2 h \cdot h + 4 h x - 8 h}{h}$

解题步骤 4.1.9.2

从 $4 h x$ 中分解出因数 $2 h$ 。

$\frac{2 h \cdot h + 2 h (2 x) - 8 h}{h}$

解题步骤 4.1.9.3

从 $- 8 h$ 中分解出因数 $2 h$ 。

$\frac{2 h \cdot h + 2 h (2 x) + 2 h \cdot - 4}{h}$

解题步骤 4.1.9.4

从 $2 h \cdot h + 2 h (2 x)$ 中分解出因数 $2 h$ 。

$\frac{2 h (h + 2 x) + 2 h \cdot - 4}{h}$

解题步骤 4.1.9.5

从 $2 h (h + 2 x) + 2 h \cdot - 4$ 中分解出因数 $2 h$ 。

$\frac{2 h (h + 2 x - 4)}{h}$

解题步骤 4.2

化简项。

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解题步骤 4.2.1

约去 $h$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 h (h + 2 x - 4)}{h}$

解题步骤 4.2.1.2

用 $2 (h + 2 x - 4)$ 除以 $1$ 。

$2 (h + 2 x - 4)$

解题步骤 4.2.2

运用分配律。

$2 h + 2 (2 x) + 2 \cdot - 4$

解题步骤 4.3

化简。

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解题步骤 4.3.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$2 h + 4 x + 2 \cdot - 4$

解题步骤 4.3.2

将 $2$ 乘以 $- 4$ 。

$2 h + 4 x - 8$

解题步骤 4.4

将 $2 h$ 和 $4 x$ 重新排序。

$4 x + 2 h - 8$

解题步骤 5

初级微积分 示例

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