初级微积分示例

$g (x) = - x^{2} + 24 x - 109$ , $s i \cdot 8 \leq x \leq 14$ ?

解题步骤 1

将 $g (x) = - x^{2} + 24 x - 109$ 写为等式。

$y = - x^{2} + 24 x - 109$

解题步骤 2

运用平均变化率公式代入。

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解题步骤 2.1

函数的平均变化率可通过计算两点的 $y$ 的变化值除以两点的 $x$ 变化值来求得。

$\frac{f (14) - f (8 s i)}{(14) - (8 s i)}$

解题步骤 2.2

代入 $f (14)$ 和 $f (8 s i)$ 的方程 $y = - x^{2} + 24 x - 109$ 中，用对应的 $x$ 值替换函数中的 $x$ 。

$\frac{(- {(14)}^{2} + 24 (14) - 109) - (- {(8 s i)}^{2} + 24 (8 s i) - 109)}{(14) - (8 s i)}$

解题步骤 3

化简表达式。

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解题步骤 3.1

化简分子。

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解题步骤 3.1.1

对 $14$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{- 1 \cdot 196 + 24 (14) - 109 - (- {(8 s i)}^{2} + 24 \cdot 8 s i - 109)}{14 - 1 \cdot 8 s i}$

解题步骤 3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $196$ 。

$\frac{- 196 + 24 (14) - 109 - (- {(8 s i)}^{2} + 24 \cdot 8 s i - 109)}{14 - 1 \cdot 8 s i}$

解题步骤 3.1.3

将 $24$ 乘以 $14$ 。

$\frac{- 196 + 336 - 109 - (- {(8 s i)}^{2} + 24 \cdot 8 s i - 109)}{14 - 1 \cdot 8 s i}$

解题步骤 3.1.4

化简每一项。

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解题步骤 3.1.4.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 3.1.4.1.1

对 $8 s i$ 运用乘积法则。

$\frac{- 196 + 336 - 109 - (- ({(8 s)}^{2} i^{2}) + 24 \cdot 8 s i - 109)}{14 - 1 \cdot 8 s i}$

解题步骤 3.1.4.1.2

对 $8 s$ 运用乘积法则。

$\frac{- 196 + 336 - 109 - (- (8^{2} s^{2} i^{2}) + 24 \cdot 8 s i - 109)}{14 - 1 \cdot 8 s i}$

解题步骤 3.1.4.2

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{- 196 + 336 - 109 - (- (64 s^{2} i^{2}) + 24 \cdot 8 s i - 109)}{14 - 1 \cdot 8 s i}$

解题步骤 3.1.4.3

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$\frac{- 196 + 336 - 109 - (- (64 s^{2} \cdot - 1) + 24 \cdot 8 s i - 109)}{14 - 1 \cdot 8 s i}$

解题步骤 3.1.4.4

将 $- 1$ 乘以 $64$ 。

$\frac{- 196 + 336 - 109 - (- (- 64 s^{2}) + 24 \cdot 8 s i - 109)}{14 - 1 \cdot 8 s i}$

解题步骤 3.1.4.5

将 $- 64$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 196 + 336 - 109 - (64 s^{2} + 24 \cdot 8 s i - 109)}{14 - 1 \cdot 8 s i}$

解题步骤 3.1.4.6

将 $24$ 乘以 $8$ 。

$\frac{- 196 + 336 - 109 - (64 s^{2} + 192 s i - 109)}{14 - 1 \cdot 8 s i}$

解题步骤 3.1.5

运用分配律。

$\frac{- 196 + 336 - 109 - (64 s^{2}) - (192 s i) - - 109}{14 - 1 \cdot 8 s i}$

解题步骤 3.1.6

化简。

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解题步骤 3.1.6.1

将 $64$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 196 + 336 - 109 - 64 s^{2} - (192 s i) - - 109}{14 - 1 \cdot 8 s i}$

解题步骤 3.1.6.2

将 $192$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 196 + 336 - 109 - 64 s^{2} - 192 (s i) - - 109}{14 - 1 \cdot 8 s i}$

解题步骤 3.1.6.3

将 $- 1$ 乘以 $- 109$ 。

$\frac{- 196 + 336 - 109 - 64 s^{2} - 192 (s i) + 109}{14 - 1 \cdot 8 s i}$

解题步骤 3.1.7

将 $- 196$ 和 $336$ 相加。

$\frac{140 - 109 - 64 s^{2} - 192 s i + 109}{14 - 1 \cdot 8 s i}$

解题步骤 3.1.8

从 $140$ 中减去 $109$ 。

$\frac{31 - 64 s^{2} - 192 s i + 109}{14 - 1 \cdot 8 s i}$

解题步骤 3.1.9

将 $31$ 和 $109$ 相加。

$\frac{- 64 s^{2} - 192 s i + 140}{14 - 1 \cdot 8 s i}$

解题步骤 3.1.10

从 $- 64 s^{2} - 192 s i + 140$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 3.1.10.1

从 $- 64 s^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (- 16 s^{2}) - 192 s i + 140}{14 - 1 \cdot 8 s i}$

解题步骤 3.1.10.2

从 $- 192 s i$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (- 16 s^{2}) + 4 (- 48 s i) + 140}{14 - 1 \cdot 8 s i}$

解题步骤 3.1.10.3

从 $140$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (- 16 s^{2}) + 4 (- 48 s i) + 4 (35)}{14 - 1 \cdot 8 s i}$

解题步骤 3.1.10.4

从 $4 (- 16 s^{2}) + 4 (- 48 s i)$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (- 16 s^{2} - 48 s i) + 4 (35)}{14 - 1 \cdot 8 s i}$

解题步骤 3.1.10.5

从 $4 (- 16 s^{2} - 48 s i) + 4 (35)$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (- 16 s^{2} - 48 s i + 35)}{14 - 1 \cdot 8 s i}$

解题步骤 3.2

化简分母。

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解题步骤 3.2.1

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$\frac{4 (- 16 s^{2} - 48 s i + 35)}{14 - 8 s i}$

解题步骤 3.2.2

从 $14 - 8 s i$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 3.2.2.1

从 $14$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{4 (- 16 s^{2} - 48 s i + 35)}{2 (7) - 8 s i}$

解题步骤 3.2.2.2

从 $- 8 s i$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{4 (- 16 s^{2} - 48 s i + 35)}{2 (7) + 2 (- 4 s i)}$

解题步骤 3.2.2.3

从 $2 (7) + 2 (- 4 s i)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{4 (- 16 s^{2} - 48 s i + 35)}{2 (7 - 4 s i)}$

解题步骤 3.3

化简项。

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解题步骤 3.3.1

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.1

从 $4 (- 16 s^{2} - 48 s i + 35)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (2 (- 16 s^{2} - 48 s i + 35))}{2 (7 - 4 s i)}$

解题步骤 3.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 3.3.1.2.1

约去公因数。

$\frac{2 (2 (- 16 s^{2} - 48 s i + 35))}{2 (7 - 4 s i)}$

解题步骤 3.3.1.2.2

重写表达式。

$\frac{2 (- 16 s^{2} - 48 s i + 35)}{7 - 4 s i}$

解题步骤 3.3.2

从 $- 16 s^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 (- (16 s^{2}) - 48 s i + 35)}{7 - 4 s i}$

解题步骤 3.3.3

从 $- 48 s i$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 (- (16 s^{2}) - (48 s i) + 35)}{7 - 4 s i}$

解题步骤 3.3.4

从 $- (16 s^{2}) - (48 s i)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 (- (16 s^{2} + 48 s i) + 35)}{7 - 4 s i}$

解题步骤 3.3.5

将 $35$ 重写为 $- 1 (- 35)$ 。

$\frac{2 (- (16 s^{2} + 48 s i) - 1 (- 35))}{7 - 4 s i}$

解题步骤 3.3.6

从 $- (16 s^{2} + 48 s i) - 1 (- 35)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 (- (16 s^{2} + 48 s i - 35))}{7 - 4 s i}$

解题步骤 3.3.7

化简表达式。

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解题步骤 3.3.7.1

将 $- (16 s^{2} + 48 s i - 35)$ 重写为 $- 1 (16 s^{2} + 48 s i - 35)$ 。

$\frac{2 (- 1 (16 s^{2} + 48 s i - 35))}{7 - 4 s i}$

解题步骤 3.3.7.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2 (16 s^{2} + 48 s i - 35)}{7 - 4 s i}$

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