初级微积分示例

$f (x) = \tan (2 x)$

解题步骤 1

考虑差商公式。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

解题步骤 2

求定义的补集。

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解题步骤 2.1

计算函数在 $x = x + h$ 处的值。

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解题步骤 2.1.1

使用表达式中的 $x + h$ 替换变量 $x$ 。

$f (x + h) = \tan (2 (x + h))$

解题步骤 2.1.2

化简结果。

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解题步骤 2.1.2.1

运用分配律。

$f (x + h) = \tan (2 x + 2 h)$

解题步骤 2.1.2.2

最终答案为 $\tan (2 x + 2 h)$ 。

$\tan (2 x + 2 h)$

解题步骤 2.2

求定义的补集。

$f (x + h) = \tan (2 x + 2 h)$

$f (x) = \tan (2 x)$

$f (x + h) = \tan (2 x + 2 h)$

$f (x) = \tan (2 x)$

解题步骤 3

插入分量。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\tan (2 x + 2 h) - (\tan (2 x))}{h}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

Use a sum or difference formula on the numerator.

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解题步骤 4.1.1

使用两正切的和公式对表达式进行化简。该公式是 $\tan (A + B) = \frac{\tan (A) + \tan (B)}{1 - \tan (A) \tan (B)}$ 。

$\frac{(\frac{\tan (2 x) + \tan (2 h)}{1 - \tan (2 x) \tan (2 h)}) - (\tan (2 x))}{h}$

解题步骤 4.1.2

化简。

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解题步骤 4.1.2.1

要将 $- \tan (2 x)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{1 - \tan (2 x) \tan (2 h)}{1 - \tan (2 x) \tan (2 h)}$ 。

$\frac{\frac{\tan (2 x) + \tan (2 h)}{1 - \tan (2 x) \tan (2 h)} - \tan (2 x) \cdot \frac{1 - \tan (2 x) \tan (2 h)}{1 - \tan (2 x) \tan (2 h)}}{h}$

解题步骤 4.1.2.2

化简项。

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解题步骤 4.1.2.2.1

组合 $- \tan (2 x)$ 和 $\frac{1 - \tan (2 x) \tan (2 h)}{1 - \tan (2 x) \tan (2 h)}$ 。

$\frac{\frac{\tan (2 x) + \tan (2 h)}{1 - \tan (2 x) \tan (2 h)} + \frac{- \tan (2 x) (1 - \tan (2 x) \tan (2 h))}{1 - \tan (2 x) \tan (2 h)}}{h}$

解题步骤 4.1.2.2.2

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{\tan (2 x) + \tan (2 h) - \tan (2 x) (1 - \tan (2 x) \tan (2 h))}{1 - \tan (2 x) \tan (2 h)}}{h}$

解题步骤 4.1.2.3

化简分子。

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解题步骤 4.1.2.3.1

运用分配律。

$\frac{\frac{\tan (2 x) + \tan (2 h) - \tan (2 x) \cdot 1 - \tan (2 x) (- \tan (2 x) \tan (2 h))}{1 - \tan (2 x) \tan (2 h)}}{h}$

解题步骤 4.1.2.3.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\frac{\tan (2 x) + \tan (2 h) - \tan (2 x) - \tan (2 x) (- \tan (2 x) \tan (2 h))}{1 - \tan (2 x) \tan (2 h)}}{h}$

解题步骤 4.1.2.3.3

乘以 $- \tan (2 x) (- \tan (2 x) \tan (2 h))$ 。

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解题步骤 4.1.2.3.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\frac{\tan (2 x) + \tan (2 h) - \tan (2 x) + 1 \tan (2 x) (\tan (2 x) \tan (2 h))}{1 - \tan (2 x) \tan (2 h)}}{h}$

解题步骤 4.1.2.3.3.2

将 $\tan (2 x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\frac{\tan (2 x) + \tan (2 h) - \tan (2 x) + \tan (2 x) (\tan (2 x) \tan (2 h))}{1 - \tan (2 x) \tan (2 h)}}{h}$

解题步骤 4.1.2.3.3.3

对 $\tan (2 x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{\tan (2 x) + \tan (2 h) - \tan (2 x) + \tan (2 x) \tan (2 x) \tan (2 h)}{1 - \tan (2 x) \tan (2 h)}}{h}$

解题步骤 4.1.2.3.3.4

对 $\tan (2 x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{\tan (2 x) + \tan (2 h) - \tan (2 x) + \tan (2 x) \tan (2 x) \tan (2 h)}{1 - \tan (2 x) \tan (2 h)}}{h}$

解题步骤 4.1.2.3.3.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{\tan (2 x) + \tan (2 h) - \tan (2 x) + {\tan (2 x)}^{1 + 1} \tan (2 h)}{1 - \tan (2 x) \tan (2 h)}}{h}$

解题步骤 4.1.2.3.3.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\frac{\tan (2 x) + \tan (2 h) - \tan (2 x) + \tan^{2} (2 x) \tan (2 h)}{1 - \tan (2 x) \tan (2 h)}}{h}$

解题步骤 4.1.2.3.4

从 $\tan (2 x)$ 中减去 $\tan (2 x)$ 。

$\frac{\frac{0 + \tan (2 h) + \tan^{2} (2 x) \tan (2 h)}{1 - \tan (2 x) \tan (2 h)}}{h}$

解题步骤 4.1.2.3.5

将 $0$ 和 $\tan (2 h)$ 相加。

$\frac{\frac{\tan (2 h) + \tan^{2} (2 x) \tan (2 h)}{1 - \tan (2 x) \tan (2 h)}}{h}$

解题步骤 4.1.2.3.6

从 $\tan (2 h) + \tan^{2} (2 x) \tan (2 h)$ 中分解出因数 $\tan (2 h)$ 。

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解题步骤 4.1.2.3.6.1

乘以 $1$ 。

$\frac{\frac{\tan (2 h) \cdot 1 + \tan^{2} (2 x) \tan (2 h)}{1 - \tan (2 x) \tan (2 h)}}{h}$

解题步骤 4.1.2.3.6.2

从 $\tan^{2} (2 x) \tan (2 h)$ 中分解出因数 $\tan (2 h)$ 。

$\frac{\frac{\tan (2 h) \cdot 1 + \tan (2 h) \tan^{2} (2 x)}{1 - \tan (2 x) \tan (2 h)}}{h}$

解题步骤 4.1.2.3.6.3

从 $\tan (2 h) \cdot 1 + \tan (2 h) \tan^{2} (2 x)$ 中分解出因数 $\tan (2 h)$ 。

$\frac{\frac{\tan (2 h) (1 + \tan^{2} (2 x))}{1 - \tan (2 x) \tan (2 h)}}{h}$

解题步骤 4.1.2.3.7

重新整理项。

$\frac{\frac{\tan (2 h) (\tan^{2} (2 x) + 1)}{1 - \tan (2 x) \tan (2 h)}}{h}$

解题步骤 4.1.2.3.8

使用勾股恒等式。

$\frac{\frac{\tan (2 h) \sec^{2} (2 x)}{1 - \tan (2 x) \tan (2 h)}}{h}$

解题步骤 4.2

化简。

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解题步骤 4.2.1

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{\tan (2 h) \sec^{2} (2 x)}{1 - \tan (2 x) \tan (2 h)} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 4.2.2

将 $\frac{\tan (2 h) \sec^{2} (2 x)}{1 - \tan (2 x) \tan (2 h)}$ 乘以 $\frac{1}{h}$ 。

$\frac{\tan (2 h) \sec^{2} (2 x)}{(1 - \tan (2 x) \tan (2 h)) h}$

解题步骤 4.2.3

将 $\frac{\tan (2 h) \sec^{2} (2 x)}{(1 - \tan (2 x) \tan (2 h)) h}$ 中的因式重新排序。

$\frac{\tan (2 h) \sec^{2} (2 x)}{h (1 - \tan (2 x) \tan (2 h))}$

解题步骤 5

初级微积分 示例

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