初级微积分示例

$f (x) = x^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 1

考虑差商公式。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

解题步骤 2

求定义的补集。

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解题步骤 2.1

计算函数在 $x = x + h$ 处的值。

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解题步骤 2.1.1

使用表达式中的 $x + h$ 替换变量 $x$ 。

$f (x + h) = {(x + h)}^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 2.1.2

最终答案为 ${(x + h)}^{\frac{3}{2}}$ 。

${(x + h)}^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 2.2

求定义的补集。

$f (x + h) = {(x + h)}^{\frac{3}{2}}$

$f (x) = x^{\frac{3}{2}}$

$f (x + h) = {(x + h)}^{\frac{3}{2}}$

$f (x) = x^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 3

插入分量。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{{(x + h)}^{\frac{3}{2}} - (x^{\frac{3}{2}})}{h}$

解题步骤 4

化简分子。

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解题步骤 4.1

将 ${(x + h)}^{\frac{3}{2}}$ 重写为 ${({(x + h)}^{\frac{1}{2}})}^{3}$ 。

$\frac{{({(x + h)}^{\frac{1}{2}})}^{3} - x^{\frac{3}{2}}}{h}$

解题步骤 4.2

将 $x^{\frac{3}{2}}$ 重写为 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{3}$ 。

$\frac{{({(x + h)}^{\frac{1}{2}})}^{3} - {(x^{\frac{1}{2}})}^{3}}{h}$

解题步骤 4.3

因为两项都是完全立方数，所以使用立方差公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = {(x + h)}^{\frac{1}{2}}$ 和 $b = x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{({(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}) ({({(x + h)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(x + h)}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + {(x^{\frac{1}{2}})}^{2})}{h}$

解题步骤 4.4

化简。

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解题步骤 4.4.1

将 ${({(x + h)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.4.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{({(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}) ({(x + h)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(x + h)}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + {(x^{\frac{1}{2}})}^{2})}{h}$

解题步骤 4.4.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.1.2.1

约去公因数。

$\frac{({(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}) ({(x + h)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(x + h)}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + {(x^{\frac{1}{2}})}^{2})}{h}$

解题步骤 4.4.1.2.2

重写表达式。

$\frac{({(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}) ({(x + h)}^{1} + {(x + h)}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + {(x^{\frac{1}{2}})}^{2})}{h}$

解题步骤 4.4.2

化简。

$\frac{({(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}) (x + h + {(x + h)}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + {(x^{\frac{1}{2}})}^{2})}{h}$

解题步骤 4.4.3

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.4.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{({(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}) (x + h + {(x + h)}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{h}$

解题步骤 4.4.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.3.2.1

约去公因数。

$\frac{({(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}) (x + h + {(x + h)}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{h}$

解题步骤 4.4.3.2.2

重写表达式。

$\frac{({(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}) (x + h + {(x + h)}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x^{1})}{h}$

解题步骤 4.4.4

化简。

$\frac{({(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}) (x + h + {(x + h)}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x)}{h}$

解题步骤 4.4.5

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{({(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}) (2 x + h + {(x + h)}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{h}$

解题步骤 5

初级微积分 示例

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