初级微积分示例

$f (x) = - 3 x^{3} - x^{2} + 3 x$

解题步骤 1

考虑差商公式。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

解题步骤 2

求定义的补集。

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解题步骤 2.1

计算函数在 $x = x + h$ 处的值。

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解题步骤 2.1.1

使用表达式中的 $x + h$ 替换变量 $x$ 。

$f (x + h) = - 3 {(x + h)}^{3} - {(x + h)}^{2} + 3 (x + h)$

解题步骤 2.1.2

化简结果。

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解题步骤 2.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.1.1

使用二项式定理。

$f (x + h) = - 3 (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3}) - {(x + h)}^{2} + 3 (x + h)$

解题步骤 2.1.2.1.2

运用分配律。

$f (x + h) = - 3 x^{3} - 3 (3 x^{2} h) - 3 (3 x h^{2}) - 3 h^{3} - {(x + h)}^{2} + 3 (x + h)$

解题步骤 2.1.2.1.3

化简。

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解题步骤 2.1.2.1.3.1

将 $3$ 乘以 $- 3$ 。

$f (x + h) = - 3 x^{3} - 9 (x^{2} h) - 3 (3 x h^{2}) - 3 h^{3} - {(x + h)}^{2} + 3 (x + h)$

解题步骤 2.1.2.1.3.2

将 $3$ 乘以 $- 3$ 。

$f (x + h) = - 3 x^{3} - 9 (x^{2} h) - 9 (x h^{2}) - 3 h^{3} - {(x + h)}^{2} + 3 (x + h)$

解题步骤 2.1.2.1.4

去掉圆括号。

$f (x + h) = - 3 x^{3} - 9 x^{2} h - 9 x h^{2} - 3 h^{3} - {(x + h)}^{2} + 3 (x + h)$

解题步骤 2.1.2.1.5

将 ${(x + h)}^{2}$ 重写为 $(x + h) (x + h)$ 。

$f (x + h) = - 3 x^{3} - 9 x^{2} h - 9 x h^{2} - 3 h^{3} - ((x + h) (x + h)) + 3 (x + h)$

解题步骤 2.1.2.1.6

使用 FOIL 方法展开 $(x + h) (x + h)$ 。

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解题步骤 2.1.2.1.6.1

运用分配律。

$f (x + h) = - 3 x^{3} - 9 x^{2} h - 9 x h^{2} - 3 h^{3} - (x (x + h) + h (x + h)) + 3 (x + h)$

解题步骤 2.1.2.1.6.2

运用分配律。

$f (x + h) = - 3 x^{3} - 9 x^{2} h - 9 x h^{2} - 3 h^{3} - (x \cdot x + x h + h (x + h)) + 3 (x + h)$

解题步骤 2.1.2.1.6.3

运用分配律。

$f (x + h) = - 3 x^{3} - 9 x^{2} h - 9 x h^{2} - 3 h^{3} - (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + 3 (x + h)$

解题步骤 2.1.2.1.7

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.1.2.1.7.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.1.7.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f (x + h) = - 3 x^{3} - 9 x^{2} h - 9 x h^{2} - 3 h^{3} - (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + 3 (x + h)$

解题步骤 2.1.2.1.7.1.2

将 $h$ 乘以 $h$ 。

$f (x + h) = - 3 x^{3} - 9 x^{2} h - 9 x h^{2} - 3 h^{3} - (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + 3 (x + h)$

解题步骤 2.1.2.1.7.2

将 $x h$ 和 $h x$ 相加。

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解题步骤 2.1.2.1.7.2.1

将 $x$ 和 $h$ 重新排序。

$f (x + h) = - 3 x^{3} - 9 x^{2} h - 9 x h^{2} - 3 h^{3} - (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + 3 (x + h)$

解题步骤 2.1.2.1.7.2.2

将 $h x$ 和 $h x$ 相加。

$f (x + h) = - 3 x^{3} - 9 x^{2} h - 9 x h^{2} - 3 h^{3} - (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + 3 (x + h)$

解题步骤 2.1.2.1.8

运用分配律。

$f (x + h) = - 3 x^{3} - 9 x^{2} h - 9 x h^{2} - 3 h^{3} - x^{2} - (2 h x) - h^{2} + 3 (x + h)$

解题步骤 2.1.2.1.9

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f (x + h) = - 3 x^{3} - 9 x^{2} h - 9 x h^{2} - 3 h^{3} - x^{2} - 2 (h x) - h^{2} + 3 (x + h)$

解题步骤 2.1.2.1.10

运用分配律。

$f (x + h) = - 3 x^{3} - 9 x^{2} h - 9 x h^{2} - 3 h^{3} - x^{2} - 2 h x - h^{2} + 3 x + 3 h$

解题步骤 2.1.2.2

最终答案为 $- 3 x^{3} - 9 x^{2} h - 9 x h^{2} - 3 h^{3} - x^{2} - 2 h x - h^{2} + 3 x + 3 h$ 。

$- 3 x^{3} - 9 x^{2} h - 9 x h^{2} - 3 h^{3} - x^{2} - 2 h x - h^{2} + 3 x + 3 h$

解题步骤 2.2

重新排序。

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解题步骤 2.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$- 3 x^{3} - 9 h x^{2} - 9 x h^{2} - 3 h^{3} - x^{2} - 2 h x - h^{2} + 3 x + 3 h$

解题步骤 2.2.2

移动 $x$ 。

$- 3 x^{3} - 9 h x^{2} - 9 h^{2} x - 3 h^{3} - x^{2} - 2 h x - h^{2} + 3 x + 3 h$

解题步骤 2.2.3

移动 $3 x$ 。

$- 3 x^{3} - 9 h x^{2} - 9 h^{2} x - 3 h^{3} - x^{2} - 2 h x - h^{2} + 3 h + 3 x$

解题步骤 2.2.4

移动 $- x^{2}$ 。

$- 3 x^{3} - 9 h x^{2} - 9 h^{2} x - 3 h^{3} - 2 h x - h^{2} - x^{2} + 3 h + 3 x$

解题步骤 2.2.5

移动 $- 2 h x$ 。

$- 3 x^{3} - 9 h x^{2} - 9 h^{2} x - 3 h^{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} + 3 h + 3 x$

解题步骤 2.2.6

移动 $- 3 x^{3}$ 。

$- 9 h x^{2} - 9 h^{2} x - 3 h^{3} - 3 x^{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} + 3 h + 3 x$

解题步骤 2.2.7

移动 $- 9 h x^{2}$ 。

$- 9 h^{2} x - 3 h^{3} - 9 h x^{2} - 3 x^{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} + 3 h + 3 x$

解题步骤 2.2.8

将 $- 9 h^{2} x$ 和 $- 3 h^{3}$ 重新排序。

$- 3 h^{3} - 9 h^{2} x - 9 h x^{2} - 3 x^{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} + 3 h + 3 x$

解题步骤 2.3

求定义的补集。

$f (x + h) = - 3 h^{3} - 9 h^{2} x - 9 h x^{2} - 3 x^{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} + 3 h + 3 x$

$f (x) = - 3 x^{3} - x^{2} + 3 x$

$f (x + h) = - 3 h^{3} - 9 h^{2} x - 9 h x^{2} - 3 x^{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} + 3 h + 3 x$

$f (x) = - 3 x^{3} - x^{2} + 3 x$

解题步骤 3

插入分量。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{- 3 h^{3} - 9 h^{2} x - 9 h x^{2} - 3 x^{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} + 3 h + 3 x - (- 3 x^{3} - x^{2} + 3 x)}{h}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

运用分配律。

$\frac{- 3 h^{3} - 9 h^{2} x - 9 h x^{2} - 3 x^{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} + 3 h + 3 x - (- 3 x^{3}) - - x^{2} - (3 x)}{h}$

解题步骤 4.1.2

化简。

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解题步骤 4.1.2.1

将 $- 3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 3 h^{3} - 9 h^{2} x - 9 h x^{2} - 3 x^{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} + 3 h + 3 x + 3 x^{3} - - x^{2} - (3 x)}{h}$

解题步骤 4.1.2.2

乘以 $- - x^{2}$ 。

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解题步骤 4.1.2.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 3 h^{3} - 9 h^{2} x - 9 h x^{2} - 3 x^{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} + 3 h + 3 x + 3 x^{3} + 1 x^{2} - (3 x)}{h}$

解题步骤 4.1.2.2.2

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 3 h^{3} - 9 h^{2} x - 9 h x^{2} - 3 x^{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} + 3 h + 3 x + 3 x^{3} + x^{2} - (3 x)}{h}$

解题步骤 4.1.2.3

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 3 h^{3} - 9 h^{2} x - 9 h x^{2} - 3 x^{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} + 3 h + 3 x + 3 x^{3} + x^{2} - 3 x}{h}$

解题步骤 4.1.3

将 $- 3 x^{3}$ 和 $3 x^{3}$ 相加。

$\frac{- 3 h^{3} - 9 h^{2} x - 9 h x^{2} - h^{2} - 2 h x - x^{2} + 3 h + 3 x + 0 + x^{2} - 3 x}{h}$

解题步骤 4.1.4

将 $- 3 h^{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- 3 h^{3} - 9 h^{2} x - 9 h x^{2} - h^{2} - 2 h x - x^{2} + 3 h + 3 x + x^{2} - 3 x}{h}$

解题步骤 4.1.5

将 $- x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$\frac{- 3 h^{3} - 9 h^{2} x - 9 h x^{2} - h^{2} - 2 h x + 3 h + 3 x + 0 - 3 x}{h}$

解题步骤 4.1.6

将 $- 3 h^{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- 3 h^{3} - 9 h^{2} x - 9 h x^{2} - h^{2} - 2 h x + 3 h + 3 x - 3 x}{h}$

解题步骤 4.1.7

从 $3 x$ 中减去 $3 x$ 。

$\frac{- 3 h^{3} - 9 h^{2} x - 9 h x^{2} - h^{2} - 2 h x + 3 h + 0}{h}$

解题步骤 4.1.8

将 $- 3 h^{3} - 9 h^{2} x - 9 h x^{2} - h^{2} - 2 h x + 3 h$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- 3 h^{3} - 9 h^{2} x - 9 h x^{2} - h^{2} - 2 h x + 3 h}{h}$

解题步骤 4.1.9

从 $- 3 h^{3} - 9 h^{2} x - 9 h x^{2} - h^{2} - 2 h x + 3 h$ 中分解出因数 $h$ 。

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解题步骤 4.1.9.1

从 $- 3 h^{3}$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (- 3 h^{2}) - 9 h^{2} x - 9 h x^{2} - h^{2} - 2 h x + 3 h}{h}$

解题步骤 4.1.9.2

从 $- 9 h^{2} x$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (- 3 h^{2}) + h (- 9 h x) - 9 h x^{2} - h^{2} - 2 h x + 3 h}{h}$

解题步骤 4.1.9.3

从 $- 9 h x^{2}$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (- 3 h^{2}) + h (- 9 h x) + h (- 9 x^{2}) - h^{2} - 2 h x + 3 h}{h}$

解题步骤 4.1.9.4

从 $- h^{2}$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (- 3 h^{2}) + h (- 9 h x) + h (- 9 x^{2}) + h (- h) - 2 h x + 3 h}{h}$

解题步骤 4.1.9.5

从 $- 2 h x$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (- 3 h^{2}) + h (- 9 h x) + h (- 9 x^{2}) + h (- h) + h (- 2 x) + 3 h}{h}$

解题步骤 4.1.9.6

从 $3 h$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (- 3 h^{2}) + h (- 9 h x) + h (- 9 x^{2}) + h (- h) + h (- 2 x) + h \cdot 3}{h}$

解题步骤 4.1.9.7

从 $h (- 3 h^{2}) + h (- 9 h x)$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (- 3 h^{2} - 9 h x) + h (- 9 x^{2}) + h (- h) + h (- 2 x) + h \cdot 3}{h}$

解题步骤 4.1.9.8

从 $h (- 3 h^{2} - 9 h x) + h (- 9 x^{2})$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (- 3 h^{2} - 9 h x - 9 x^{2}) + h (- h) + h (- 2 x) + h \cdot 3}{h}$

解题步骤 4.1.9.9

从 $h (- 3 h^{2} - 9 h x - 9 x^{2}) + h (- h)$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (- 3 h^{2} - 9 h x - 9 x^{2} - h) + h (- 2 x) + h \cdot 3}{h}$

解题步骤 4.1.9.10

从 $h (- 3 h^{2} - 9 h x - 9 x^{2} - h) + h (- 2 x)$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (- 3 h^{2} - 9 h x - 9 x^{2} - h - 2 x) + h \cdot 3}{h}$

解题步骤 4.1.9.11

从 $h (- 3 h^{2} - 9 h x - 9 x^{2} - h - 2 x) + h \cdot 3$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (- 3 h^{2} - 9 h x - 9 x^{2} - h - 2 x + 3)}{h}$

解题步骤 4.2

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 4.2.1

约去 $h$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{h (- 3 h^{2} - 9 h x - 9 x^{2} - h - 2 x + 3)}{h}$

解题步骤 4.2.1.2

用 $- 3 h^{2} - 9 h x - 9 x^{2} - h - 2 x + 3$ 除以 $1$ 。

$- 3 h^{2} - 9 h x - 9 x^{2} - h - 2 x + 3$

解题步骤 4.2.2

化简表达式。

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解题步骤 4.2.2.1

移动 $h$ 。

$- 3 h^{2} - 9 x h - 9 x^{2} - h - 2 x + 3$

解题步骤 4.2.2.2

移动 $- h$ 。

$- 3 h^{2} - 9 x h - 9 x^{2} - 2 x - h + 3$

解题步骤 4.2.2.3

移动 $- 3 h^{2}$ 。

$- 9 x h - 9 x^{2} - 3 h^{2} - 2 x - h + 3$

解题步骤 4.2.2.4

将 $- 9 x h$ 和 $- 9 x^{2}$ 重新排序。

$- 9 x^{2} - 9 x h - 3 h^{2} - 2 x - h + 3$

解题步骤 5

初级微积分 示例

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