初级微积分示例

$f (x) = \frac{K x}{(A + x)}$

解题步骤 1

考虑差商公式。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

解题步骤 2

求定义的补集。

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解题步骤 2.1

计算函数在 $x = x + h$ 处的值。

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解题步骤 2.1.1

使用表达式中的 $x + h$ 替换变量 $x$ 。

$f (x + h) = \frac{K (x + h)}{A + x + h}$

解题步骤 2.1.2

化简结果。

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解题步骤 2.1.2.1

去掉圆括号。

$f (x + h) = \frac{K (x + h)}{A + x + h}$

解题步骤 2.1.2.2

最终答案为 $\frac{K (x + h)}{A + x + h}$ 。

$\frac{K (x + h)}{A + x + h}$

解题步骤 2.2

求定义的补集。

$f (x + h) = \frac{K (x + h)}{A + x + h}$

$f (x) = \frac{K x}{A + x}$

$f (x + h) = \frac{K (x + h)}{A + x + h}$

$f (x) = \frac{K x}{A + x}$

解题步骤 3

插入分量。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{K (x + h)}{A + x + h} - (\frac{K x}{A + x})}{h}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

要将 $\frac{K (x + h)}{A + x + h}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{A + x}{A + x}$ 。

$\frac{\frac{K (x + h)}{A + x + h} \cdot \frac{A + x}{A + x} - \frac{K x}{A + x}}{h}$

解题步骤 4.1.2

要将 $- \frac{K x}{A + x}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{A + x + h}{A + x + h}$ 。

$\frac{\frac{K (x + h)}{A + x + h} \cdot \frac{A + x}{A + x} - \frac{K x}{A + x} \cdot \frac{A + x + h}{A + x + h}}{h}$

解题步骤 4.1.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(A + x + h) (A + x)$ 的形式。

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解题步骤 4.1.3.1

将 $\frac{K (x + h)}{A + x + h}$ 乘以 $\frac{A + x}{A + x}$ 。

$\frac{\frac{K (x + h) (A + x)}{(A + x + h) (A + x)} - \frac{K x}{A + x} \cdot \frac{A + x + h}{A + x + h}}{h}$

解题步骤 4.1.3.2

将 $\frac{K x}{A + x}$ 乘以 $\frac{A + x + h}{A + x + h}$ 。

$\frac{\frac{K (x + h) (A + x)}{(A + x + h) (A + x)} - \frac{K x (A + x + h)}{(A + x) (A + x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.3.3

重新排序 $(A + x + h) (A + x)$ 的因式。

$\frac{\frac{K (x + h) (A + x)}{(A + x) (A + x + h)} - \frac{K x (A + x + h)}{(A + x) (A + x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.4

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{K (x + h) (A + x) - K x (A + x + h)}{(A + x) (A + x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5

以因式分解的形式重写 $\frac{K (x + h) (A + x) - K x (A + x + h)}{(A + x) (A + x + h)}$ 。

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解题步骤 4.1.5.1

从 $K (x + h) (A + x) - K x (A + x + h)$ 中分解出因数 $K$ 。

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解题步骤 4.1.5.1.1

从 $K (x + h) (A + x)$ 中分解出因数 $K$ 。

$\frac{\frac{K ((x + h) (A + x)) - K x (A + x + h)}{(A + x) (A + x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.1.2

从 $- K x (A + x + h)$ 中分解出因数 $K$ 。

$\frac{\frac{K ((x + h) (A + x)) + K (- 1 x (A + x + h))}{(A + x) (A + x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.1.3

从 $K ((x + h) (A + x)) + K (- 1 x (A + x + h))$ 中分解出因数 $K$ 。

$\frac{\frac{K ((x + h) (A + x) - 1 x (A + x + h))}{(A + x) (A + x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.2

使用 FOIL 方法展开 $(x + h) (A + x)$ 。

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解题步骤 4.1.5.2.1

运用分配律。

$\frac{\frac{K (x (A + x) + h (A + x) - 1 x (A + x + h))}{(A + x) (A + x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.2.2

运用分配律。

$\frac{\frac{K (x A + x \cdot x + h (A + x) - 1 x (A + x + h))}{(A + x) (A + x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.2.3

运用分配律。

$\frac{\frac{K (x A + x \cdot x + h A + h x - 1 x (A + x + h))}{(A + x) (A + x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.3

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{\frac{K (x A + x^{2} + h A + h x - 1 x (A + x + h))}{(A + x) (A + x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.4

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$\frac{\frac{K (x A + x^{2} + h A + h x - x (A + x + h))}{(A + x) (A + x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.5

运用分配律。

$\frac{\frac{K (x A + x^{2} + h A + h x - x A - x \cdot x - x h)}{(A + x) (A + x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.6

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.1.5.6.1

移动 $x$ 。

$\frac{\frac{K (x A + x^{2} + h A + h x - x A - (x \cdot x) - x h)}{(A + x) (A + x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.6.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{\frac{K (x A + x^{2} + h A + h x - x A - x^{2} - x h)}{(A + x) (A + x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.7

从 $x A$ 中减去 $x A$ 。

$\frac{\frac{K (x^{2} + h A + h x + 0 - x^{2} - x h)}{(A + x) (A + x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.8

将 $x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\frac{K (x^{2} + h A + h x - x^{2} - x h)}{(A + x) (A + x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.9

从 $x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$\frac{\frac{K (h A + h x + 0 - x h)}{(A + x) (A + x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.10

将 $h A$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\frac{K (h A + h x - x h)}{(A + x) (A + x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.11

从 $h x$ 中减去 $x h$ 。

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解题步骤 4.1.5.11.1

将 $h$ 和 $x$ 重新排序。

$\frac{\frac{K (h A + x h - x h)}{(A + x) (A + x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.11.2

从 $x h$ 中减去 $x h$ 。

$\frac{\frac{K (h A + 0)}{(A + x) (A + x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.12

将 $h A$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\frac{K h A}{(A + x) (A + x + h)}}{h}$

解题步骤 4.2

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{K h A}{(A + x) (A + x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 4.3

约去 $h$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.1

从 $K h A$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (K A)}{(A + x) (A + x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 4.3.2

约去公因数。

$\frac{h (K A)}{(A + x) (A + x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 4.3.3

重写表达式。

$\frac{K A}{(A + x) (A + x + h)}$

解题步骤 5

初级微积分 示例

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