初级微积分示例

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} - 15 x + 5}{x^{2} - 2 x - 8}$

解题步骤 1

使用多项式长除法进行相除。

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解题步骤 1.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x^{2}$

$2 x$

$8$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$15 x$

$5$

解题步骤 1.2

将被除数中的最高阶项 $2 x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x^{2}$ 。

							$2 x$
	$x^{2}$	-	$2 x$	-	$8$		$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	+	$5$

解题步骤 1.3

将新的商式项乘以除数。

						$2 x$
$x^{2}$	-	$2 x$	-	$8$		$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	+	$5$
					+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$16 x$

解题步骤 1.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $2 x^{3} - 4 x^{2} - 16 x$ 中的所有符号

$2 x$

$x^{2}$

$2 x$

$8$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$15 x$

$5$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

解题步骤 1.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$2 x$

$x^{2}$

$2 x$

$8$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$15 x$

$5$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

$x$

解题步骤 1.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中

$2 x$

$x^{2}$

$2 x$

$8$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$15 x$

$5$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

$x$

$5$

解题步骤 1.7

最终答案为商加上余数除以除数。

$2 x + \frac{x + 5}{x^{2} - 2 x - 8}$

解题步骤 2

分解分数并乘以公分母。

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解题步骤 2.1

使用 AC 法来对 $x^{2} - 2 x - 8$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 8$ ，和为 $- 2$ 。

$- 4, 2$

解题步骤 2.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{x + 5}{(x - 4) (x + 2)}$

解题步骤 2.2

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $A$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{x - 4}$

解题步骤 2.3

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $B$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{x - 4} + \frac{B}{x + 2}$

解题步骤 2.4

将方程中的每个分数乘以原表达式中的分母。在本例中，分母为 $(x - 4) (x + 2)$ 。

$\frac{(x + 5) (x - 4) (x + 2)}{(x - 4) (x + 2)} = \frac{(A) (x - 4) (x + 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x + 2)}{x + 2}$

解题步骤 2.5

约去 $x - 4$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.1

约去公因数。

$\frac{(x + 5) (x - 4) (x + 2)}{(x - 4) (x + 2)} = \frac{(A) (x - 4) (x + 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x + 2)}{x + 2}$

解题步骤 2.5.2

重写表达式。

$\frac{(x + 5) (x + 2)}{x + 2} = \frac{(A) (x - 4) (x + 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x + 2)}{x + 2}$

解题步骤 2.6

约去 $x + 2$ 的公因数。

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解题步骤 2.6.1

约去公因数。

$\frac{(x + 5) (x + 2)}{x + 2} = \frac{(A) (x - 4) (x + 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x + 2)}{x + 2}$

解题步骤 2.6.2

用 $x + 5$ 除以 $1$ 。

$x + 5 = \frac{(A) (x - 4) (x + 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x + 2)}{x + 2}$

解题步骤 2.7

化简每一项。

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解题步骤 2.7.1

约去 $x - 4$ 的公因数。

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解题步骤 2.7.1.1

约去公因数。

$x + 5 = \frac{A (x - 4) (x + 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x + 2)}{x + 2}$

解题步骤 2.7.1.2

用 $(A) (x + 2)$ 除以 $1$ 。

$x + 5 = (A) (x + 2) + \frac{(B) (x - 4) (x + 2)}{x + 2}$

解题步骤 2.7.2

运用分配律。

$x + 5 = A x + A \cdot 2 + \frac{(B) (x - 4) (x + 2)}{x + 2}$

解题步骤 2.7.3

将 $2$ 移到 $A$ 的左侧。

$x + 5 = A x + 2 \cdot A + \frac{(B) (x - 4) (x + 2)}{x + 2}$

解题步骤 2.7.4

约去 $x + 2$ 的公因数。

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解题步骤 2.7.4.1

约去公因数。

$x + 5 = A x + 2 A + \frac{(B) (x - 4) (x + 2)}{x + 2}$

解题步骤 2.7.4.2

用 $(B) (x - 4)$ 除以 $1$ 。

$x + 5 = A x + 2 A + (B) (x - 4)$

解题步骤 2.7.5

运用分配律。

$x + 5 = A x + 2 A + B x + B \cdot - 4$

解题步骤 2.7.6

将 $- 4$ 移到 $B$ 的左侧。

$x + 5 = A x + 2 A + B x - 4 B$

解题步骤 2.8

移动 $2 A$ 。

$x + 5 = A x + B x + 2 A - 4 B$

解题步骤 3

为部分分式变量创建方程, 并使用它们建立方程组。

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解题步骤 3.1

使方程两边 $x$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$1 = A + B$

解题步骤 3.2

使方程两边不含 $x$ 的各项系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$5 = 2 A - 4 B$

解题步骤 3.3

建立方程组以求部分分式的系数。

$1 = A + B$

$5 = 2 A - 4 B$

$1 = A + B$

$5 = 2 A - 4 B$

解题步骤 4

求解方程组。

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解题步骤 4.1

在 $1 = A + B$ 中求解 $A$ 。

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解题步骤 4.1.1

将方程重写为 $A + B = 1$ 。

$A + B = 1$

$5 = 2 A - 4 B$

解题步骤 4.1.2

从等式两边同时减去 $B$ 。

$A = 1 - B$

$5 = 2 A - 4 B$

$A = 1 - B$

$5 = 2 A - 4 B$

解题步骤 4.2

将每个方程中所有出现的 $A$ 替换成 $1 - B$ 。

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解题步骤 4.2.1

使用 $1 - B$ 替换 $5 = 2 A - 4 B$ 中所有出现的 $A$ .

$5 = 2 (1 - B) - 4 B$

$A = 1 - B$

解题步骤 4.2.2

化简右边。

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解题步骤 4.2.2.1

化简 $2 (1 - B) - 4 B$ 。

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解题步骤 4.2.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.2.1.1.1

运用分配律。

$5 = 2 \cdot 1 + 2 (- B) - 4 B$

$A = 1 - B$

解题步骤 4.2.2.1.1.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$5 = 2 + 2 (- B) - 4 B$

$A = 1 - B$

解题步骤 4.2.2.1.1.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$5 = 2 - 2 B - 4 B$

$A = 1 - B$

$5 = 2 - 2 B - 4 B$

$A = 1 - B$

解题步骤 4.2.2.1.2

从 $- 2 B$ 中减去 $4 B$ 。

$5 = 2 - 6 B$

$A = 1 - B$

$5 = 2 - 6 B$

$A = 1 - B$

$5 = 2 - 6 B$

$A = 1 - B$

$5 = 2 - 6 B$

$A = 1 - B$

解题步骤 4.3

在 $5 = 2 - 6 B$ 中求解 $B$ 。

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解题步骤 4.3.1

将方程重写为 $2 - 6 B = 5$ 。

$2 - 6 B = 5$

$A = 1 - B$

解题步骤 4.3.2

将所有不包含 $B$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 4.3.2.1

从等式两边同时减去 $2$ 。

$- 6 B = 5 - 2$

$A = 1 - B$

解题步骤 4.3.2.2

从 $5$ 中减去 $2$ 。

$- 6 B = 3$

$A = 1 - B$

$- 6 B = 3$

$A = 1 - B$

解题步骤 4.3.3

将 $- 6 B = 3$ 中的每一项除以 $- 6$ 并化简。

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解题步骤 4.3.3.1

将 $- 6 B = 3$ 中的每一项都除以 $- 6$ 。

$\frac{- 6 B}{- 6} = \frac{3}{- 6}$

$A = 1 - B$

解题步骤 4.3.3.2

化简左边。

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解题步骤 4.3.3.2.1

约去 $- 6$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 6 B}{- 6} = \frac{3}{- 6}$

$A = 1 - B$

解题步骤 4.3.3.2.1.2

用 $B$ 除以 $1$ 。

$B = \frac{3}{- 6}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{3}{- 6}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{3}{- 6}$

$A = 1 - B$

解题步骤 4.3.3.3

化简右边。

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解题步骤 4.3.3.3.1

约去 $3$ 和 $- 6$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.3.3.1.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$B = \frac{3 (1)}{- 6}$

$A = 1 - B$

解题步骤 4.3.3.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 4.3.3.3.1.2.1

从 $- 6$ 中分解出因数 $3$ 。

$B = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot - 2}$

$A = 1 - B$

解题步骤 4.3.3.3.1.2.2

约去公因数。

$B = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot - 2}$

$A = 1 - B$

解题步骤 4.3.3.3.1.2.3

重写表达式。

$B = \frac{1}{- 2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{- 2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{- 2}$

$A = 1 - B$

解题步骤 4.3.3.3.2

将负号移到分数的前面。

$B = - \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = - \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = - \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = - \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

解题步骤 4.4

将每个方程中所有出现的 $B$ 替换成 $- \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 4.4.1

使用 $- \frac{1}{2}$ 替换 $A = 1 - B$ 中所有出现的 $B$ .

$A = 1 - (- \frac{1}{2})$

$B = - \frac{1}{2}$

解题步骤 4.4.2

化简右边。

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解题步骤 4.4.2.1

化简 $1 - (- \frac{1}{2})$ 。

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解题步骤 4.4.2.1.1

乘以 $- (- \frac{1}{2})$ 。

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解题步骤 4.4.2.1.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$A = 1 + 1 (\frac{1}{2})$

$B = - \frac{1}{2}$

解题步骤 4.4.2.1.1.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$A = 1 + \frac{1}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

$A = 1 + \frac{1}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

解题步骤 4.4.2.1.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$A = \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

解题步骤 4.4.2.1.3

在公分母上合并分子。

$A = \frac{2 + 1}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

解题步骤 4.4.2.1.4

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$A = \frac{3}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

$A = \frac{3}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

$A = \frac{3}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

$A = \frac{3}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

解题步骤 4.5

列出所有解。

$A = \frac{3}{2}, B = - \frac{1}{2}$

解题步骤 5

将 $2 x + \frac{A}{x - 4} + \frac{B}{x + 2}$ 中的每个部分分式的系数替换为求得的 $A$ 和 $B$ 的值。

$2 x + \frac{\frac{3}{2}}{x - 4} + \frac{- \frac{1}{2}}{x + 2}$

初级微积分 示例

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