初级微积分示例

$f (x) = \csc (\frac{1}{2} x - \frac{π}{4})$

解题步骤 1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x$ 。

$y = \csc (\frac{x}{2} - \frac{π}{4})$

解题步骤 2

对于任意 $y = \csc (x)$ ，垂直渐近线均出现在 $x = n π$ ，其中 $n$ 为一个整数。使用 $y = c s c (x)$ 、 $(0, 2 π)$ 的基本周期，求 $y = \csc (\frac{x}{2} - \frac{π}{4})$ 的垂直渐近线。将余割函数的变量设为 $b x + c$ ，使得 $y = a \csc (b x + c) + d$ 等于 $0$ ，以求 $y = \csc (\frac{x}{2} - \frac{π}{4})$ 的垂直渐进线出现的坐标位置。

$\frac{x}{2} - \frac{π}{4} = 0$

解题步骤 3

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

在等式两边都加上 $\frac{π}{4}$ 。

$\frac{x}{2} = \frac{π}{4}$

解题步骤 3.2

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{4}$

解题步骤 3.3

化简方程的两边。

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解题步骤 3.3.1

化简左边。

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解题步骤 3.3.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.1.1

约去公因数。

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{4}$

解题步骤 3.3.1.1.2

重写表达式。

$x = 2 \frac{π}{4}$

解题步骤 3.3.2

化简右边。

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解题步骤 3.3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$x = 2 \frac{π}{2 (2)}$

解题步骤 3.3.2.1.2

约去公因数。

$x = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.3.2.1.3

重写表达式。

$x = \frac{π}{2}$

解题步骤 4

将余割函数 $\frac{x}{2} - \frac{π}{4}$ 的变量设为 $2 π$ 。

$\frac{x}{2} - \frac{π}{4} = 2 π$

解题步骤 5

求解 $x$ 。

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解题步骤 5.1

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.1.1

在等式两边都加上 $\frac{π}{4}$ 。

$\frac{x}{2} = 2 π + \frac{π}{4}$

解题步骤 5.1.2

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{x}{2} = 2 π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

解题步骤 5.1.3

组合 $2 π$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{x}{2} = \frac{2 π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

解题步骤 5.1.4

在公分母上合并分子。

$\frac{x}{2} = \frac{2 π \cdot 4 + π}{4}$

解题步骤 5.1.5

化简分子。

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解题步骤 5.1.5.1

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x}{2} = \frac{8 π + π}{4}$

解题步骤 5.1.5.2

将 $8 π$ 和 $π$ 相加。

$\frac{x}{2} = \frac{9 π}{4}$

解题步骤 5.2

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{9 π}{4}$

解题步骤 5.3

化简方程的两边。

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解题步骤 5.3.1

化简左边。

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解题步骤 5.3.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.1.1.1

约去公因数。

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{9 π}{4}$

解题步骤 5.3.1.1.2

重写表达式。

$x = 2 \frac{9 π}{4}$

解题步骤 5.3.2

化简右边。

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解题步骤 5.3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$x = 2 \frac{9 π}{2 (2)}$

解题步骤 5.3.2.1.2

约去公因数。

$x = 2 \frac{9 π}{2 \cdot 2}$

解题步骤 5.3.2.1.3

重写表达式。

$x = \frac{9 π}{2}$

解题步骤 6

$y = \csc (\frac{x}{2} - \frac{π}{4})$ 的基期将出现在 $(\frac{π}{2}, \frac{9 π}{2})$ ，其中 $\frac{π}{2}$ 和 $\frac{9 π}{2}$ 为垂直渐近线。

$(\frac{π}{2}, \frac{9 π}{2})$

解题步骤 7

求周期 $\frac{2 π}{| b |}$ 以求出垂直渐近线出现的位置。垂直渐近线每半个周期出现一次。

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解题步骤 7.1

$\frac{1}{2}$ 约为 $0.5$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

解题步骤 7.2

将分子乘以分母的倒数。

$2 π \cdot 2$

解题步骤 7.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 π$

解题步骤 8

$y = \csc (\frac{x}{2} - \frac{π}{4})$ 的垂直渐近线出现在 $\frac{π}{2}$ 、 $\frac{9 π}{2}$ 和每一个 $x = \frac{π}{2} + 2 π n$ 处，其中 $n$ 是一个整数。这是周期的二分一。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$

解题步骤 9

余割只有垂直渐近线。

不存在水平渐近线

不存在斜渐近线

垂直渐近线： $x = \frac{π}{2} + 2 π n$ ，其中 $n$ 是一个整数

解题步骤 10

初级微积分 示例

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