初级微积分示例

$g (t) = 2 \cos^{2} (t)$ , $[0, \frac{π}{6}]$

解题步骤 1

将 $g (t) = 2 \cos^{2} (t)$ 写为等式。

$y = 2 \cos^{2} (t)$

解题步骤 2

运用平均变化率公式代入。

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解题步骤 2.1

函数的平均变化率可通过计算两点的 $y$ 的变化值除以两点的 $t$ 变化值来求得。

$\frac{f (\frac{π}{6}) - f (0)}{(\frac{π}{6}) - (0)}$

解题步骤 2.2

代入 $f (\frac{π}{6})$ 和 $f (0)$ 的方程 $y = 2 \cos^{2} (t)$ 中，用对应的 $t$ 值替换函数中的 $t$ 。

$\frac{(2 \cos^{2} (\frac{π}{6})) - (2 \cos^{2} (0))}{(\frac{π}{6}) - (0)}$

解题步骤 3

化简表达式。

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解题步骤 3.1

将分数的分子和分母乘以 $6$ 。

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解题步骤 3.1.1

将 $\frac{2 \cos^{2} (\frac{π}{6}) - 1 \cdot 2 \cos^{2} (0)}{\frac{π}{6} - (0)}$ 乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$\frac{6}{6} \cdot \frac{2 \cos^{2} (\frac{π}{6}) - 1 \cdot 2 \cos^{2} (0)}{\frac{π}{6} - (0)}$

解题步骤 3.1.2

合并。

$\frac{6 (2 \cos^{2} (\frac{π}{6}) - 1 \cdot 2 \cos^{2} (0))}{6 (\frac{π}{6} - (0))}$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$\frac{6 (2 \cos^{2} (\frac{π}{6})) + 6 (- 1 \cdot 2 \cos^{2} (0))}{6 \frac{π}{6} + 6 (- (0))}$

解题步骤 3.3

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1

约去公因数。

$\frac{6 (2 \cos^{2} (\frac{π}{6})) + 6 (- 1 \cdot 2 \cos^{2} (0))}{6 \frac{π}{6} + 6 (- (0))}$

解题步骤 3.3.2

重写表达式。

$\frac{6 (2 \cos^{2} (\frac{π}{6})) + 6 (- 1 \cdot 2 \cos^{2} (0))}{π + 6 (- (0))}$

解题步骤 3.4

化简分子。

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解题步骤 3.4.1

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$\frac{12 \cos^{2} (\frac{π}{6}) + 6 (- 1 \cdot 2 \cos^{2} (0))}{π + 6 (- (0))}$

解题步骤 3.4.2

$\cos (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\frac{12 {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + 6 (- 1 \cdot 2 \cos^{2} (0))}{π + 6 (- (0))}$

解题步骤 3.4.3

对 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{12 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + 6 (- 1 \cdot 2 \cos^{2} (0))}{π + 6 (- (0))}$

解题步骤 3.4.4

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 3.4.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{12 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + 6 (- 1 \cdot 2 \cos^{2} (0))}{π + 6 (- (0))}$

解题步骤 3.4.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{12 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + 6 (- 1 \cdot 2 \cos^{2} (0))}{π + 6 (- (0))}$

解题步骤 3.4.4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{12 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 6 (- 1 \cdot 2 \cos^{2} (0))}{π + 6 (- (0))}$

解题步骤 3.4.4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.4.4.1

约去公因数。

$\frac{12 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 6 (- 1 \cdot 2 \cos^{2} (0))}{π + 6 (- (0))}$

解题步骤 3.4.4.4.2

重写表达式。

$\frac{12 \frac{3^{1}}{2^{2}} + 6 (- 1 \cdot 2 \cos^{2} (0))}{π + 6 (- (0))}$

解题步骤 3.4.4.5

计算指数。

$\frac{12 \frac{3}{2^{2}} + 6 (- 1 \cdot 2 \cos^{2} (0))}{π + 6 (- (0))}$

解题步骤 3.4.5

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{12 (\frac{3}{4}) + 6 (- 1 \cdot 2 \cos^{2} (0))}{π + 6 (- (0))}$

解题步骤 3.4.6

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.6.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (3) \frac{3}{4} + 6 (- 1 \cdot 2 \cos^{2} (0))}{π + 6 (- (0))}$

解题步骤 3.4.6.2

约去公因数。

$\frac{4 \cdot 3 \frac{3}{4} + 6 (- 1 \cdot 2 \cos^{2} (0))}{π + 6 (- (0))}$

解题步骤 3.4.6.3

重写表达式。

$\frac{3 \cdot 3 + 6 (- 1 \cdot 2 \cos^{2} (0))}{π + 6 (- (0))}$

解题步骤 3.4.7

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{9 + 6 (- 1 \cdot 2 \cos^{2} (0))}{π + 6 (- (0))}$

解题步骤 3.4.8

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{9 + 6 (- 2 \cos^{2} (0))}{π + 6 (- (0))}$

解题步骤 3.4.9

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{9 + 6 (- 2 \cdot 1^{2})}{π + 6 (- (0))}$

解题步骤 3.4.10

一的任意次幂都为一。

$\frac{9 + 6 (- 2 \cdot 1)}{π + 6 (- (0))}$

解题步骤 3.4.11

乘以 $6 (- 2 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 3.4.11.1

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{9 + 6 \cdot - 2}{π + 6 (- (0))}$

解题步骤 3.4.11.2

将 $6$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{9 - 12}{π + 6 (- (0))}$

解题步骤 3.4.12

从 $9$ 中减去 $12$ 。

$\frac{- 3}{π + 6 (- (0))}$

解题步骤 3.5

化简分母。

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解题步骤 3.5.1

乘以 $6 (- (0))$ 。

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解题步骤 3.5.1.1

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{- 3}{π + 6 \cdot 0}$

解题步骤 3.5.1.2

将 $6$ 乘以 $0$ 。

$\frac{- 3}{π + 0}$

解题步骤 3.5.2

将 $π$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- 3}{π}$

解题步骤 3.6

将负号移到分数的前面。

$- \frac{3}{π}$

初级微积分 示例

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