初级微积分示例

$\frac{1}{x + 1}$

解题步骤 1

将 $\frac{1}{x + 1}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{1}{x + 1}$

解题步骤 2

考虑差商公式。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

解题步骤 3

求定义的补集。

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解题步骤 3.1

计算函数在 $x = x + h$ 处的值。

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解题步骤 3.1.1

使用表达式中的 $x + h$ 替换变量 $x$ 。

$f (x + h) = \frac{1}{(x + h) + 1}$

解题步骤 3.1.2

化简结果。

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解题步骤 3.1.2.1

去掉圆括号。

$f (x + h) = \frac{1}{x + h + 1}$

解题步骤 3.1.2.2

最终答案为 $\frac{1}{x + h + 1}$ 。

$\frac{1}{x + h + 1}$

解题步骤 3.2

求定义的补集。

$f (x + h) = \frac{1}{x + h + 1}$

$f (x) = \frac{1}{x + 1}$

$f (x + h) = \frac{1}{x + h + 1}$

$f (x) = \frac{1}{x + 1}$

解题步骤 4

插入分量。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{1}{x + h + 1} - (\frac{1}{x + 1})}{h}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

化简分子。

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解题步骤 5.1.1

要将 $\frac{1}{x + h + 1}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x + 1}{x + 1}$ 。

$\frac{\frac{1}{x + h + 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{1}{x + 1}}{h}$

解题步骤 5.1.2

要将 $- \frac{1}{x + 1}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x + h + 1}{x + h + 1}$ 。

$\frac{\frac{1}{x + h + 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x + h + 1}{x + h + 1}}{h}$

解题步骤 5.1.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(x + h + 1) (x + 1)$ 的形式。

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解题步骤 5.1.3.1

将 $\frac{1}{x + h + 1}$ 乘以 $\frac{x + 1}{x + 1}$ 。

$\frac{\frac{x + 1}{(x + h + 1) (x + 1)} - \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x + h + 1}{x + h + 1}}{h}$

解题步骤 5.1.3.2

将 $\frac{1}{x + 1}$ 乘以 $\frac{x + h + 1}{x + h + 1}$ 。

$\frac{\frac{x + 1}{(x + h + 1) (x + 1)} - \frac{x + h + 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

解题步骤 5.1.3.3

重新排序 $(x + h + 1) (x + 1)$ 的因式。

$\frac{\frac{x + 1}{(x + 1) (x + h + 1)} - \frac{x + h + 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

解题步骤 5.1.4

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{x + 1 - (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

解题步骤 5.1.5

以因式分解的形式重写 $\frac{x + 1 - (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}$ 。

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解题步骤 5.1.5.1

运用分配律。

$\frac{\frac{x + 1 - x - h - 1 \cdot 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

解题步骤 5.1.5.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\frac{x + 1 - x - h - 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

解题步骤 5.1.5.3

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$\frac{\frac{0 + 1 - h - 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

解题步骤 5.1.5.4

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\frac{1 - h - 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

解题步骤 5.1.5.5

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{\frac{- h + 0}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

解题步骤 5.1.5.6

将 $- h$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\frac{- h}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

解题步骤 5.1.6

将负号移到分数的前面。

$\frac{- \frac{h}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

解题步骤 5.2

将分子乘以分母的倒数。

$- \frac{h}{(x + 1) (x + h + 1)} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 5.3

约去 $h$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.1

将 $- \frac{h}{(x + 1) (x + h + 1)}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- h}{(x + 1) (x + h + 1)} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 5.3.2

从 $- h$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h \cdot - 1}{(x + 1) (x + h + 1)} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 5.3.3

约去公因数。

$\frac{h \cdot - 1}{(x + 1) (x + h + 1)} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 5.3.4

重写表达式。

$\frac{- 1}{(x + 1) (x + h + 1)}$

解题步骤 5.4

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{(x + 1) (x + h + 1)}$

解题步骤 6

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