初级微积分示例

$y = \frac{4 x^{2} - 16}{x - 2}$

解题步骤 1

求在何处表达式 $\frac{4 x^{2} - 16}{x - 2}$ 无定义。

$x = 2$

解题步骤 2

垂直渐近线出现在无穷不连续点的所在区域。

不存在垂直渐近线

解题步骤 3

思考一下有理函数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ ，其中 $n$ 是分子的幂， $m$ 是分母的幂。

1. 如果 $n < m$ ，那么 X 轴，即 $y = 0$ 为水平渐近线。

2. 如果 $n = m$ ，那么水平渐近线为直线 $y = \frac{a}{b}$ 。

3. 如果 $n > m$ ，那么水平渐近线不存在（存在一条斜渐近线）。

解题步骤 4

求 $n$ 和 $m$ 。

$n = 2$

$m = 1$

解题步骤 5

因为 $n > m$ ，所以没有水平渐近线。

不存在水平渐近线

解题步骤 6

使用多项式除法求斜渐近线。

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解题步骤 6.1

化简表达式。

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解题步骤 6.1.1

化简分子。

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解题步骤 6.1.1.1

从 $4 x^{2} - 16$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 6.1.1.1.1

从 $4 x^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (x^{2}) - 16}{x - 2}$

解题步骤 6.1.1.1.2

从 $- 16$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 x^{2} + 4 \cdot - 4}{x - 2}$

解题步骤 6.1.1.1.3

从 $4 x^{2} + 4 \cdot - 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (x^{2} - 4)}{x - 2}$

解题步骤 6.1.1.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{4 (x^{2} - 2^{2})}{x - 2}$

解题步骤 6.1.1.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 2$ 。

$\frac{4 (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

解题步骤 6.1.2

化简项。

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解题步骤 6.1.2.1

约去 $x - 2$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

解题步骤 6.1.2.1.2

用 $4 (x + 2)$ 除以 $1$ 。

$4 (x + 2)$

解题步骤 6.1.2.2

运用分配律。

$4 x + 4 \cdot 2$

解题步骤 6.1.2.3

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$4 x + 8$

解题步骤 6.2

斜渐近线是长除法结果的多项式部分。

$y = 4 x + 8$

解题步骤 7

这是所有渐近线的集合。

不存在垂直渐近线

不存在水平渐近线

斜渐近线： $y = 4 x + 8$

解题步骤 8

初级微积分 示例

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