初级微积分示例

$f (x) = {(9 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 1

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$\sqrt{{(9 - x^{2})}^{3}}$

解题步骤 2

将 $\sqrt{{(9 - x^{2})}^{3}}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

${(9 - x^{2})}^{3} \geq 0$

解题步骤 3

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

取不等式两边的指定根来消去方程左边的指数。

$\sqrt[3]{{(9 - x^{2})}^{3}} \geq \sqrt[3]{0}$

解题步骤 3.2

化简方程。

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解题步骤 3.2.1

化简左边。

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解题步骤 3.2.1.1

从根式下提出各项。

$9 - x^{2} \geq \sqrt[3]{0}$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.1

化简 $\sqrt[3]{0}$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.1

将 $0$ 重写为 $0^{3}$ 。

$9 - x^{2} \geq \sqrt[3]{0^{3}}$

解题步骤 3.2.2.1.2

从根式下提出各项。

$9 - x^{2} \geq 0$

解题步骤 3.3

从不等式两边同时减去 $9$ 。

$- x^{2} \geq - 9$

解题步骤 3.4

将 $- x^{2} \geq - 9$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 3.4.1

将 $- x^{2} \geq - 9$ 中的每一项除以 $- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 9}{- 1}$

解题步骤 3.4.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 9}{- 1}$

解题步骤 3.4.2.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} \leq \frac{- 9}{- 1}$

解题步骤 3.4.3

化简右边。

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解题步骤 3.4.3.1

用 $- 9$ 除以 $- 1$ 。

$x^{2} \leq 9$

解题步骤 3.5

取不等式两边的指定根来消去方程左边的指数。

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{9}$

解题步骤 3.6

化简方程。

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解题步骤 3.6.1

化简左边。

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解题步骤 3.6.1.1

从根式下提出各项。

$| x | \leq \sqrt{9}$

解题步骤 3.6.2

化简右边。

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解题步骤 3.6.2.1

化简 $\sqrt{9}$ 。

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解题步骤 3.6.2.1.1

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$| x | \leq \sqrt{3^{2}}$

解题步骤 3.6.2.1.2

从根式下提出各项。

$| x | \leq | 3 |$

解题步骤 3.6.2.1.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $3$ 之间的距离为 $3$ 。

$| x | \leq 3$

解题步骤 3.7

将 $| x | \leq 3$ 书写为分段式。

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解题步骤 3.7.1

要求第一段的区间，需找到绝对值内为非负的地方。

$x \geq 0$

解题步骤 3.7.2

在 $x$ 为非负数的地方，去掉绝对值。

$x \leq 3$

解题步骤 3.7.3

要求第二段的区间，需找到绝对值内为负的地方。

$x < 0$

解题步骤 3.7.4

在 $x$ 为负的地方，去掉绝对值符号并乘以 $- 1$ 。

$- x \leq 3$

解题步骤 3.7.5

书写为分段式。

${\begin{cases} x \leq 3 & x \geq 0 \\ - x \leq 3 & x < 0 \end{cases}$

解题步骤 3.8

求 $x \leq 3$ 和 $x \geq 0$ 的交点。

$0 \leq x \leq 3$

解题步骤 3.9

当 $x < 0$ 时求解 $- x \leq 3$ 。

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解题步骤 3.9.1

将 $- x \leq 3$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 3.9.1.1

将 $- x \leq 3$ 中的每一项除以 $- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{3}{- 1}$

解题步骤 3.9.1.2

化简左边。

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解题步骤 3.9.1.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x}{1} \geq \frac{3}{- 1}$

解题步骤 3.9.1.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x \geq \frac{3}{- 1}$

解题步骤 3.9.1.3

化简右边。

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解题步骤 3.9.1.3.1

用 $3$ 除以 $- 1$ 。

$x \geq - 3$

解题步骤 3.9.2

求 $x \geq - 3$ 和 $x < 0$ 的交点。

$- 3 \leq x < 0$

解题步骤 3.10

求解的并集。

$- 3 \leq x \leq 3$

解题步骤 4

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$[- 3, 3]$

集合符号：

${x | - 3 \leq x \leq 3}$

解题步骤 5

初级微积分 示例

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