初级微积分示例

$f (x) = \frac{x^{3} + x^{2} - 6 x}{4 x^{2} - 4 x - 8}$

解题步骤 1

求在何处表达式 $\frac{x^{3} + x^{2} - 6 x}{4 x^{2} - 4 x - 8}$ 无定义。

$x = - 1, x = 2$

解题步骤 2

由于从左侧，当 $x$ $\to$ $- 1$ 时， $\frac{x^{3} + x^{2} - 6 x}{4 x^{2} - 4 x - 8}$ $\to$ $\infty$ ，且从右侧，当 $x$ $\to$ $- 1$ 时， $\frac{x^{3} + x^{2} - 6 x}{4 x^{2} - 4 x - 8}$ $\to$ $- \infty$ ，因此 $x = - 1$ 是一条垂直渐近线。

$x = - 1$

解题步骤 3

思考一下有理函数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ ，其中 $n$ 是分子的幂， $m$ 是分母的幂。

1. 如果 $n < m$ ，那么 X 轴，即 $y = 0$ 为水平渐近线。

2. 如果 $n = m$ ，那么水平渐近线为直线 $y = \frac{a}{b}$ 。

3. 如果 $n > m$ ，那么水平渐近线不存在（存在一条斜渐近线）。

解题步骤 4

求 $n$ 和 $m$ 。

$n = 3$

$m = 2$

解题步骤 5

因为 $n > m$ ，所以没有水平渐近线。

不存在水平渐近线

解题步骤 6

使用多项式除法求斜渐近线。

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解题步骤 6.1

化简表达式。

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解题步骤 6.1.1

化简分子。

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解题步骤 6.1.1.1

从 $x^{3} + x^{2} - 6 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 6.1.1.1.1

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x \cdot x^{2} + x^{2} - 6 x}{4 x^{2} - 4 x - 8}$

解题步骤 6.1.1.1.2

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot x - 6 x}{4 x^{2} - 4 x - 8}$

解题步骤 6.1.1.1.3

从 $- 6 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot - 6}{4 x^{2} - 4 x - 8}$

解题步骤 6.1.1.1.4

从 $x \cdot x^{2} + x \cdot x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (x^{2} + x) + x \cdot - 6}{4 x^{2} - 4 x - 8}$

解题步骤 6.1.1.1.5

从 $x (x^{2} + x) + x \cdot - 6$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (x^{2} + x - 6)}{4 x^{2} - 4 x - 8}$

解题步骤 6.1.1.2

使用 AC 法来对 $x^{2} + x - 6$ 进行因式分解。

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解题步骤 6.1.1.2.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 6$ ，和为 $1$ 。

$- 2, 3$

解题步骤 6.1.1.2.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{x ((x - 2) (x + 3))}{4 x^{2} - 4 x - 8}$

$\frac{x (x - 2) (x + 3)}{4 x^{2} - 4 x - 8}$

解题步骤 6.1.2

化简分母。

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解题步骤 6.1.2.1

从 $4 x^{2} - 4 x - 8$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 6.1.2.1.1

从 $4 x^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{x (x - 2) (x + 3)}{4 (x^{2}) - 4 x - 8}$

解题步骤 6.1.2.1.2

从 $- 4 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{x (x - 2) (x + 3)}{4 (x^{2}) + 4 (- x) - 8}$

解题步骤 6.1.2.1.3

从 $- 8$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{x (x - 2) (x + 3)}{4 (x^{2}) + 4 (- x) + 4 (- 2)}$

解题步骤 6.1.2.1.4

从 $4 (x^{2}) + 4 (- x)$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{x (x - 2) (x + 3)}{4 (x^{2} - x) + 4 (- 2)}$

解题步骤 6.1.2.1.5

从 $4 (x^{2} - x) + 4 (- 2)$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{x (x - 2) (x + 3)}{4 (x^{2} - x - 2)}$

解题步骤 6.1.2.2

使用 AC 法来对 $x^{2} - x - 2$ 进行因式分解。

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解题步骤 6.1.2.2.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 2$ ，和为 $- 1$ 。

$- 2, 1$

解题步骤 6.1.2.2.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{x (x - 2) (x + 3)}{4 ((x - 2) (x + 1))}$

$\frac{x (x - 2) (x + 3)}{4 (x - 2) (x + 1)}$

解题步骤 6.1.3

约去 $x - 2$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.3.1

约去公因数。

$\frac{x (x - 2) (x + 3)}{4 (x - 2) (x + 1)}$

解题步骤 6.1.3.2

重写表达式。

$\frac{x (x + 3)}{4 (x + 1)}$

解题步骤 6.2

展开 $x (x + 3)$ 。

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解题步骤 6.2.1

运用分配律。

$\frac{x \cdot x + x \cdot 3}{4 (x + 1)}$

解题步骤 6.2.2

将 $x$ 和 $3$ 重新排序。

$\frac{x \cdot x + 3 x}{4 (x + 1)}$

解题步骤 6.2.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x \cdot x + 3 x}{4 (x + 1)}$

解题步骤 6.2.4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x \cdot x + 3 x}{4 (x + 1)}$

解题步骤 6.2.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x^{1 + 1} + 3 x}{4 (x + 1)}$

解题步骤 6.2.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{x^{2} + 3 x}{4 (x + 1)}$

解题步骤 6.3

展开 $4 (x + 1)$ 。

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解题步骤 6.3.1

运用分配律。

$\frac{x^{2} + 3 x}{4 x + 4 \cdot 1}$

解题步骤 6.3.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x^{2} + 3 x}{4 x + 4}$

解题步骤 6.4

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$4 x$

$4$

$x^{2}$

$3 x$

$0$

解题步骤 6.5

将被除数中的最高阶项 $x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $4 x$ 。

					$\frac{x}{4}$
	$4 x$	+	$4$		$x^{2}$	+	$3 x$	+	$0$

解题步骤 6.6

将新的商式项乘以除数。

				$\frac{x}{4}$
$4 x$	+	$4$		$x^{2}$	+	$3 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$x$

解题步骤 6.7

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{2} + x$ 中的所有符号

				$\frac{x}{4}$
$4 x$	+	$4$		$x^{2}$	+	$3 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$

解题步骤 6.8

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$\frac{x}{4}$
$4 x$	+	$4$		$x^{2}$	+	$3 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					+	$2 x$

解题步骤 6.9

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$\frac{x}{4}$
$4 x$	+	$4$		$x^{2}$	+	$3 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					+	$2 x$	+	$0$

解题步骤 6.10

将被除数中的最高阶项 $2 x$ 除以除数中的最高阶项 $4 x$ 。

				$\frac{x}{4}$	+	$\frac{1}{2}$
$4 x$	+	$4$		$x^{2}$	+	$3 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					+	$2 x$	+	$0$

解题步骤 6.11

将新的商式项乘以除数。

				$\frac{x}{4}$	+	$\frac{1}{2}$
$4 x$	+	$4$		$x^{2}$	+	$3 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					+	$2 x$	+	$0$
					+	$2 x$	+	$2$

解题步骤 6.12

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $2 x + 2$ 中的所有符号

				$\frac{x}{4}$	+	$\frac{1}{2}$
$4 x$	+	$4$		$x^{2}$	+	$3 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					+	$2 x$	+	$0$
					-	$2 x$	-	$2$

解题步骤 6.13

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$\frac{x}{4}$	+	$\frac{1}{2}$
$4 x$	+	$4$		$x^{2}$	+	$3 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					+	$2 x$	+	$0$
					-	$2 x$	-	$2$
							-	$2$

解题步骤 6.14

最终答案为商加上余数除以除数。

$\frac{x}{4} + \frac{1}{2} - \frac{2}{4 x + 4}$

解题步骤 6.15

将解分解成多项式部分和余项。

$\frac{x}{4} + \frac{1}{2} + \frac{- 2 x + 4}{4 x^{2} - 4 x - 8}$

解题步骤 6.16

斜渐近线是长除法结果的多项式部分。

$y = \frac{x}{4} + \frac{1}{2}$

解题步骤 7

这是所有渐近线的集合。

垂直渐近线： $x = - 1$

不存在水平渐近线

斜渐近线： $y = \frac{x}{4} + \frac{1}{2}$

解题步骤 8

初级微积分 示例

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