初级微积分示例

$\frac{x^{2} + 5 x + 4}{x^{2} - 13 x + 40} \cdot \frac{x - 8}{x^{2} - 1}$

解题步骤 1

将 $\frac{x^{2} + 5 x + 4}{x^{2} - 13 x + 40}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x^{2} - 13 x + 40 = 0$

解题步骤 2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

使用 AC 法来对 $x^{2} - 13 x + 40$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $40$ ，和为 $- 13$ 。

$- 8, - 5$

解题步骤 2.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$(x - 8) (x - 5) = 0$

解题步骤 2.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 8 = 0$

$x - 5 = 0$

解题步骤 2.3

将 $x - 8$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.3.1

将 $x - 8$ 设为等于 $0$ 。

$x - 8 = 0$

解题步骤 2.3.2

在等式两边都加上 $8$ 。

$x = 8$

解题步骤 2.4

将 $x - 5$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 $x - 5$ 设为等于 $0$ 。

$x - 5 = 0$

解题步骤 2.4.2

在等式两边都加上 $5$ 。

$x = 5$

解题步骤 2.5

最终解为使 $(x - 8) (x - 5) = 0$ 成立的所有值。

$x = 8, 5$

解题步骤 3

将 $\frac{x - 8}{x^{2} - 1}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x^{2} - 1 = 0$

解题步骤 4

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$x^{2} = 1$

解题步骤 4.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{1}$

解题步骤 4.3

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$x = \pm 1$

解题步骤 4.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 4.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 1$

解题步骤 4.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 1$

解题步骤 4.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 1, - 1$

解题步骤 5

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, 5) \cup (5, 8) \cup (8, \infty)$

集合符号：

${x | x \neq 1, - 1, 5, 8}$

解题步骤 6

初级微积分 示例

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