初级微积分示例

$\frac{3 (2 x + 5) (2 x - 5)}{3 (2 x + 5)}$

解题步骤 1

求在何处表达式 $\frac{3 (2 x + 5) (2 x - 5)}{3 (2 x + 5)}$ 无定义。

$x = - \frac{5}{2}$

解题步骤 2

垂直渐近线出现在无穷不连续点的所在区域。

不存在垂直渐近线

解题步骤 3

思考一下有理函数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ ，其中 $n$ 是分子的幂， $m$ 是分母的幂。

1. 如果 $n < m$ ，那么 X 轴，即 $y = 0$ 为水平渐近线。

2. 如果 $n = m$ ，那么水平渐近线为直线 $y = \frac{a}{b}$ 。

3. 如果 $n > m$ ，那么水平渐近线不存在（存在一条斜渐近线）。

解题步骤 4

求 $n$ 和 $m$ 。

$n = 2$

$m = 1$

解题步骤 5

因为 $n > m$ ，所以没有水平渐近线。

不存在水平渐近线

解题步骤 6

使用多项式除法求斜渐近线。

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解题步骤 6.1

化简表达式。

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解题步骤 6.1.1

约去 $12 x^{2} - 75$ 和 $6 x + 15$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.1.1

从 $12 x^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (4 x^{2}) - 75}{6 x + 15}$

解题步骤 6.1.1.2

从 $- 75$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (4 x^{2}) + 3 (- 25)}{6 x + 15}$

解题步骤 6.1.1.3

从 $3 (4 x^{2}) + 3 (- 25)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (4 x^{2} - 25)}{6 x + 15}$

解题步骤 6.1.1.4

约去公因数。

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解题步骤 6.1.1.4.1

从 $6 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (4 x^{2} - 25)}{3 (2 x) + 15}$

解题步骤 6.1.1.4.2

从 $15$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (4 x^{2} - 25)}{3 (2 x) + 3 (5)}$

解题步骤 6.1.1.4.3

从 $3 (2 x) + 3 (5)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (4 x^{2} - 25)}{3 (2 x + 5)}$

解题步骤 6.1.1.4.4

约去公因数。

$\frac{3 (4 x^{2} - 25)}{3 (2 x + 5)}$

解题步骤 6.1.1.4.5

重写表达式。

$\frac{4 x^{2} - 25}{2 x + 5}$

解题步骤 6.1.2

化简分子。

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解题步骤 6.1.2.1

将 $4 x^{2}$ 重写为 ${(2 x)}^{2}$ 。

$\frac{{(2 x)}^{2} - 25}{2 x + 5}$

解题步骤 6.1.2.2

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$\frac{{(2 x)}^{2} - 5^{2}}{2 x + 5}$

解题步骤 6.1.2.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 2 x$ 和 $b = 5$ 。

$\frac{(2 x + 5) (2 x - 5)}{2 x + 5}$

解题步骤 6.1.3

约去 $2 x + 5$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.3.1

约去公因数。

$\frac{(2 x + 5) (2 x - 5)}{2 x + 5}$

解题步骤 6.1.3.2

用 $2 x - 5$ 除以 $1$ 。

$2 x - 5$

解题步骤 6.2

斜渐近线是长除法结果的多项式部分。

$y = 2 x - 5$

解题步骤 7

这是所有渐近线的集合。

不存在垂直渐近线

不存在水平渐近线

斜渐近线： $y = 2 x - 5$

解题步骤 8

初级微积分 示例

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