初级微积分示例

$f (x) = \frac{x^{3} - 6 x^{2} + 8 x}{x^{2} - 2 x - 15}$

解题步骤 1

求在何处表达式 $\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 8 x}{x^{2} - 2 x - 15}$ 无定义。

$x = - 3, x = 5$

解题步骤 2

由于从左侧，当 $x$ $\to$ $- 3$ 时， $\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 8 x}{x^{2} - 2 x - 15}$ $\to$ $- \infty$ ，且从右侧，当 $x$ $\to$ $- 3$ 时， $\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 8 x}{x^{2} - 2 x - 15}$ $\to$ $\infty$ ，因此 $x = - 3$ 是一条垂直渐近线。

$x = - 3$

解题步骤 3

由于从左侧，当 $x$ $\to$ $5$ 时， $\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 8 x}{x^{2} - 2 x - 15}$ $\to$ $- \infty$ ，且从右侧，当 $x$ $\to$ $5$ 时， $\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 8 x}{x^{2} - 2 x - 15}$ $\to$ $\infty$ ，因此 $x = 5$ 是一条垂直渐近线。

$x = 5$

解题步骤 4

列出所有垂直渐近线：

$x = - 3, 5$

解题步骤 5

思考一下有理函数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ ，其中 $n$ 是分子的幂， $m$ 是分母的幂。

1. 如果 $n < m$ ，那么 X 轴，即 $y = 0$ 为水平渐近线。

2. 如果 $n = m$ ，那么水平渐近线为直线 $y = \frac{a}{b}$ 。

3. 如果 $n > m$ ，那么水平渐近线不存在（存在一条斜渐近线）。

解题步骤 6

求 $n$ 和 $m$ 。

$n = 3$

$m = 2$

解题步骤 7

因为 $n > m$ ，所以没有水平渐近线。

不存在水平渐近线

解题步骤 8

使用多项式除法求斜渐近线。

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解题步骤 8.1

化简表达式。

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解题步骤 8.1.1

化简分子。

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解题步骤 8.1.1.1

从 $x^{3} - 6 x^{2} + 8 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 8.1.1.1.1

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x \cdot x^{2} - 6 x^{2} + 8 x}{x^{2} - 2 x - 15}$

解题步骤 8.1.1.1.2

从 $- 6 x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- 6 x) + 8 x}{x^{2} - 2 x - 15}$

解题步骤 8.1.1.1.3

从 $8 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- 6 x) + x \cdot 8}{x^{2} - 2 x - 15}$

解题步骤 8.1.1.1.4

从 $x \cdot x^{2} + x (- 6 x)$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (x^{2} - 6 x) + x \cdot 8}{x^{2} - 2 x - 15}$

解题步骤 8.1.1.1.5

从 $x (x^{2} - 6 x) + x \cdot 8$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (x^{2} - 6 x + 8)}{x^{2} - 2 x - 15}$

解题步骤 8.1.1.2

使用 AC 法来对 $x^{2} - 6 x + 8$ 进行因式分解。

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解题步骤 8.1.1.2.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $8$ ，和为 $- 6$ 。

$- 4, - 2$

解题步骤 8.1.1.2.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{x ((x - 4) (x - 2))}{x^{2} - 2 x - 15}$

$\frac{x (x - 4) (x - 2)}{x^{2} - 2 x - 15}$

解题步骤 8.1.2

使用 AC 法来对 $x^{2} - 2 x - 15$ 进行因式分解。

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解题步骤 8.1.2.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 15$ ，和为 $- 2$ 。

$- 5, 3$

解题步骤 8.1.2.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{x (x - 4) (x - 2)}{(x - 5) (x + 3)}$

解题步骤 8.2

展开 $x (x - 4) (x - 2)$ 。

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解题步骤 8.2.1

运用分配律。

$\frac{(x \cdot x + x \cdot - 4) (x - 2)}{(x - 5) (x + 3)}$

解题步骤 8.2.2

运用分配律。

$\frac{x \cdot x (x - 2) + x \cdot (- 4 (x - 2))}{(x - 5) (x + 3)}$

解题步骤 8.2.3

运用分配律。

$\frac{x \cdot x \cdot x + x \cdot x \cdot - 2 + x \cdot (- 4 (x - 2))}{(x - 5) (x + 3)}$

解题步骤 8.2.4

运用分配律。

$\frac{x \cdot x \cdot x + x \cdot x \cdot - 2 + x \cdot (- 4 x) + x \cdot - 4 \cdot - 2}{(x - 5) (x + 3)}$

解题步骤 8.2.5

移动 $x$ 。

$\frac{x \cdot x \cdot x + x \cdot (- 2 x) + x \cdot (- 4 x) + x \cdot - 4 \cdot - 2}{(x - 5) (x + 3)}$

解题步骤 8.2.6

将 $x$ 和 $- 2$ 重新排序。

$\frac{x \cdot x \cdot x - 2 \cdot (x \cdot x) + x \cdot (- 4 x) + x \cdot - 4 \cdot - 2}{(x - 5) (x + 3)}$

解题步骤 8.2.7

将 $x$ 和 $- 4$ 重新排序。

$\frac{x \cdot x \cdot x - 2 \cdot (x \cdot x) - 4 \cdot (x \cdot x) + x \cdot - 4 \cdot - 2}{(x - 5) (x + 3)}$

解题步骤 8.2.8

将 $x$ 和 $- 4$ 重新排序。

$\frac{x \cdot x \cdot x - 2 \cdot (x \cdot x) - 4 \cdot (x \cdot x) - 4 \cdot x \cdot - 2}{(x - 5) (x + 3)}$

解题步骤 8.2.9

移动 $x$ 。

$\frac{x \cdot x \cdot x - 2 \cdot (x \cdot x) - 4 \cdot (x \cdot x) - 4 \cdot (- 2 x)}{(x - 5) (x + 3)}$

解题步骤 8.2.10

将 $- 2$ 乘以 $x$ 。

$\frac{x \cdot x \cdot x - 2 x \cdot x - 4 \cdot (x \cdot x) - 4 \cdot (- 2 x)}{(x - 5) (x + 3)}$

解题步骤 8.2.11

将 $- 4$ 乘以 $x$ 。

$\frac{x \cdot x \cdot x - 2 x \cdot x - 4 x \cdot x - 4 \cdot (- 2 x)}{(x - 5) (x + 3)}$

解题步骤 8.2.12

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x \cdot x \cdot x - 2 x \cdot x - 4 x \cdot x - 4 \cdot (- 2 x)}{(x - 5) (x + 3)}$

解题步骤 8.2.13

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x \cdot x \cdot x - 2 x \cdot x - 4 x \cdot x - 4 \cdot (- 2 x)}{(x - 5) (x + 3)}$

解题步骤 8.2.14

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x^{1 + 1} x - 2 x \cdot x - 4 x \cdot x - 4 \cdot (- 2 x)}{(x - 5) (x + 3)}$

解题步骤 8.2.15

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{x^{2} x - 2 x \cdot x - 4 x \cdot x - 4 \cdot (- 2 x)}{(x - 5) (x + 3)}$

解题步骤 8.2.16

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x^{2} x - 2 x \cdot x - 4 x \cdot x - 4 \cdot (- 2 x)}{(x - 5) (x + 3)}$

解题步骤 8.2.17

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x^{2 + 1} - 2 x \cdot x - 4 x \cdot x - 4 \cdot (- 2 x)}{(x - 5) (x + 3)}$

解题步骤 8.2.18

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{x^{3} - 2 x \cdot x - 4 x \cdot x - 4 \cdot (- 2 x)}{(x - 5) (x + 3)}$

解题步骤 8.2.19

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x^{3} - 2 (x \cdot x) - 4 x \cdot x - 4 \cdot (- 2 x)}{(x - 5) (x + 3)}$

解题步骤 8.2.20

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x^{3} - 2 (x \cdot x) - 4 x \cdot x - 4 \cdot (- 2 x)}{(x - 5) (x + 3)}$

解题步骤 8.2.21

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x^{3} - 2 x^{1 + 1} - 4 x \cdot x - 4 \cdot (- 2 x)}{(x - 5) (x + 3)}$

解题步骤 8.2.22

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 4 x \cdot x - 4 \cdot (- 2 x)}{(x - 5) (x + 3)}$

解题步骤 8.2.23

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 4 (x \cdot x) - 4 \cdot (- 2 x)}{(x - 5) (x + 3)}$

解题步骤 8.2.24

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 4 (x \cdot x) - 4 \cdot (- 2 x)}{(x - 5) (x + 3)}$

解题步骤 8.2.25

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 4 x^{1 + 1} - 4 \cdot (- 2 x)}{(x - 5) (x + 3)}$

解题步骤 8.2.26

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 4 x^{2} - 4 \cdot (- 2 x)}{(x - 5) (x + 3)}$

解题步骤 8.2.27

将 $- 4$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 4 x^{2} + 8 x}{(x - 5) (x + 3)}$

解题步骤 8.2.28

从 $- 2 x^{2}$ 中减去 $4 x^{2}$ 。

$\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 8 x}{(x - 5) (x + 3)}$

解题步骤 8.3

展开 $(x - 5) (x + 3)$ 。

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解题步骤 8.3.1

运用分配律。

$\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 8 x}{x (x + 3) - 5 (x + 3)}$

解题步骤 8.3.2

运用分配律。

$\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 8 x}{x \cdot x + x \cdot 3 - 5 (x + 3)}$

解题步骤 8.3.3

运用分配律。

$\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 8 x}{x \cdot x + x \cdot 3 - 5 x - 5 \cdot 3}$

解题步骤 8.3.4

将 $x$ 和 $3$ 重新排序。

$\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 8 x}{x \cdot x + 3 x - 5 x - 5 \cdot 3}$

解题步骤 8.3.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 8 x}{x \cdot x + 3 x - 5 x - 5 \cdot 3}$

解题步骤 8.3.6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 8 x}{x \cdot x + 3 x - 5 x - 5 \cdot 3}$

解题步骤 8.3.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 8 x}{x^{1 + 1} + 3 x - 5 x - 5 \cdot 3}$

解题步骤 8.3.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 8 x}{x^{2} + 3 x - 5 x - 5 \cdot 3}$

解题步骤 8.3.9

将 $- 5$ 乘以 $3$ 。

$\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 8 x}{x^{2} + 3 x - 5 x - 15}$

解题步骤 8.3.10

从 $3 x$ 中减去 $5 x$ 。

$\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 8 x}{x^{2} - 2 x - 15}$

解题步骤 8.4

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x^{2}$

$2 x$

$15$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$8 x$

$0$

解题步骤 8.5

将被除数中的最高阶项 $x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x^{2}$ 。

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$15$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$8 x$

$0$

解题步骤 8.6

将新的商式项乘以除数。

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$15$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$8 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$15 x$

解题步骤 8.7

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{3} - 2 x^{2} - 15 x$ 中的所有符号

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$15$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$8 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$15 x$

解题步骤 8.8

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$15$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$8 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$15 x$

$4 x^{2}$

$23 x$

解题步骤 8.9

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$15$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$8 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$15 x$

$4 x^{2}$

$23 x$

$0$

解题步骤 8.10

将被除数中的最高阶项 $- 4 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x^{2}$ 。

$x$

$4$

$x^{2}$

$2 x$

$15$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$8 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$15 x$

$4 x^{2}$

$23 x$

$0$

解题步骤 8.11

将新的商式项乘以除数。

$x$

$4$

$x^{2}$

$2 x$

$15$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$8 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$15 x$

$4 x^{2}$

$23 x$

$0$

$4 x^{2}$

$8 x$

$60$

解题步骤 8.12

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 4 x^{2} + 8 x + 60$ 中的所有符号

$x$

$4$

$x^{2}$

$2 x$

$15$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$8 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$15 x$

$4 x^{2}$

$23 x$

$0$

$4 x^{2}$

$8 x$

$60$

解题步骤 8.13

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

						$x$	-	$4$
$x^{2}$	-	$2 x$	-	$15$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$8 x$	+	$0$
					-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$15 x$
							-	$4 x^{2}$	+	$23 x$	+	$0$
							+	$4 x^{2}$	-	$8 x$	-	$60$
									+	$15 x$	-	$60$

解题步骤 8.14

最终答案为商加上余数除以除数。

$x - 4 + \frac{15 x - 60}{x^{2} - 2 x - 15}$

解题步骤 8.15

斜渐近线是长除法结果的多项式部分。

$y = x - 4$

解题步骤 9

这是所有渐近线的集合。

垂直渐近线： $x = - 3, 5$

不存在水平渐近线

斜渐近线： $y = x - 4$

解题步骤 10

初级微积分 示例

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