初级微积分示例

$f (x) = \frac{3 e^{2 x} + 2}{e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$

解题步骤 1

求在何处表达式 $\frac{3 e^{2 x} + 2}{e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$ 无定义。

$x = \ln (2), x = \ln (3)$

解题步骤 2

由于从左侧，当 $x$ $\to$ $\ln (2)$ 时， $\frac{3 e^{2 x} + 2}{e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$ $\to$ $\infty$ ，且从右侧，当 $x$ $\to$ $\ln (2)$ 时， $\frac{3 e^{2 x} + 2}{e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$ $\to$ $- \infty$ ，因此 $x = \ln (2)$ 是一条垂直渐近线。

$x = \ln (2)$

解题步骤 3

由于从左侧，当 $x$ $\to$ $\ln (3)$ 时， $\frac{3 e^{2 x} + 2}{e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$ $\to$ $- \infty$ ，且从右侧，当 $x$ $\to$ $\ln (3)$ 时， $\frac{3 e^{2 x} + 2}{e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$ $\to$ $\infty$ ，因此 $x = \ln (3)$ 是一条垂直渐近线。

$x = \ln (3)$

解题步骤 4

列出所有垂直渐近线：

$x = \ln (2), \ln (3)$

解题步骤 5

计算 $lim_{x \to - \infty} \frac{3 e^{2 x} + 2}{e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$ 以求水平渐近线。

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解题步骤 5.1

计算极限值。

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解题步骤 5.1.1

当 $x$ 趋于 $- \infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to - \infty} 3 e^{2 x} + 2}{lim_{x \to - \infty} e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$

解题步骤 5.1.2

当 $x$ 趋于 $- \infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to - \infty} 3 e^{2 x} + lim_{x \to - \infty} 2}{lim_{x \to - \infty} e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$

解题步骤 5.1.3

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{3 lim_{x \to - \infty} e^{2 x} + lim_{x \to - \infty} 2}{lim_{x \to - \infty} e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$

解题步骤 5.2

因为指数 $2 x$ 趋于 $- \infty$ ，所以数量 $e^{2 x}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{3 \cdot 0 + lim_{x \to - \infty} 2}{lim_{x \to - \infty} e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$

解题步骤 5.3

计算极限值。

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解题步骤 5.3.1

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- \infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{lim_{x \to - \infty} e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$

解题步骤 5.3.2

当 $x$ 趋于 $- \infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{lim_{x \to - \infty} e^{2 x} - lim_{x \to - \infty} 5 e^{x} + lim_{x \to - \infty} 6}$

解题步骤 5.4

因为指数 $2 x$ 趋于 $- \infty$ ，所以数量 $e^{2 x}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{0 - lim_{x \to - \infty} 5 e^{x} + lim_{x \to - \infty} 6}$

解题步骤 5.5

因为项 $5$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{0 - 5 lim_{x \to - \infty} e^{x} + lim_{x \to - \infty} 6}$

解题步骤 5.6

因为指数 $x$ 趋于 $- \infty$ ，所以数量 $e^{x}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{0 - 5 \cdot 0 + lim_{x \to - \infty} 6}$

解题步骤 5.7

计算极限值。

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解题步骤 5.7.1

计算 $6$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- \infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{0 - 5 \cdot 0 + 6}$

解题步骤 5.7.2

化简答案。

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解题步骤 5.7.2.1

约去 $3 \cdot 0 + 2$ 和 $0 - 5 \cdot 0 + 6$ 的公因数。

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解题步骤 5.7.2.1.1

将 $0$ 重写为 $- 1 (0)$ 。

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{- 1 (0) - 5 \cdot 0 + 6}$

解题步骤 5.7.2.1.2

从 $- 5 \cdot 0$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{- 1 (0) - (5 \cdot 0) + 6}$

解题步骤 5.7.2.1.3

从 $- 1 (0) - (5 \cdot 0)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{- 1 (0 + 5 \cdot 0) + 6}$

解题步骤 5.7.2.1.4

将 $6$ 重写为 $- 1 (- 6)$ 。

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{- 1 (0 + 5 \cdot 0) - 1 \cdot - 6}$

解题步骤 5.7.2.1.5

从 $- 1 (0 + 5 \cdot 0) - 1 \cdot - 6$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{- 1 (0 + 5 \cdot 0 - 6)}$

解题步骤 5.7.2.1.6

重新排序项。

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 6)}$

解题步骤 5.7.2.1.7

从 $3 \cdot 0$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (3 \cdot 0) + 2}{- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 6)}$

解题步骤 5.7.2.1.8

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (3 \cdot 0) + 2 (1)}{- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 6)}$

解题步骤 5.7.2.1.9

从 $2 (3 \cdot 0) + 2 (1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (3 \cdot 0 + 1)}{- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 6)}$

解题步骤 5.7.2.1.10

约去公因数。

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解题步骤 5.7.2.1.10.1

从 $- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 6)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (3 \cdot 0 + 1)}{2 (- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 3))}$

解题步骤 5.7.2.1.10.2

约去公因数。

$\frac{2 (3 \cdot 0 + 1)}{2 (- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 3))}$

解题步骤 5.7.2.1.10.3

重写表达式。

$\frac{3 \cdot 0 + 1}{- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 3)}$

解题步骤 5.7.2.2

化简分子。

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解题步骤 5.7.2.2.1

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0 + 1}{- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 3)}$

解题步骤 5.7.2.2.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 3)}$

解题步骤 5.7.2.3

化简分母。

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解题步骤 5.7.2.3.1

将 $0$ 乘以 $5$ 。

$\frac{1}{- 1 (0 + 0 - 3)}$

解题步骤 5.7.2.3.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{- 1 (0 - 3)}$

解题步骤 5.7.2.3.3

从 $0$ 中减去 $3$ 。

$\frac{1}{- 1 \cdot - 3}$

解题步骤 5.7.2.4

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{1}{3}$

解题步骤 6

列出水平渐近线：

$y = \frac{1}{3}$

解题步骤 7

因为分子的次数小于或等于分母的次数，所以不存在斜渐近线。

不存在斜渐近线

解题步骤 8

这是所有渐近线的集合。

垂直渐近线： $x = \ln (2), \ln (3)$

水平渐近线： $y = \frac{1}{3}$

不存在斜渐近线

解题步骤 9

初级微积分 示例

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