初级微积分示例

$f (x) = \frac{2 x - \sqrt{x - 4}}{\sqrt{x + 6} - x}$

解题步骤 1

将 $\sqrt{x - 4}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$x - 4 \geq 0$

解题步骤 2

在不等式两边同时加上 $4$ 。

$x \geq 4$

解题步骤 3

将 $\sqrt{x + 6}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$x + 6 \geq 0$

解题步骤 4

从不等式两边同时减去 $6$ 。

$x \geq - 6$

解题步骤 5

将 $\frac{2 x - \sqrt{x - 4}}{\sqrt{x + 6} - x}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$\sqrt{x + 6} - x = 0$

解题步骤 6

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.1

在等式两边都加上 $x$ 。

$\sqrt{x + 6} = x$

解题步骤 6.2

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{x + 6}}^{2} = x^{2}$

解题步骤 6.3

化简方程的两边。

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解题步骤 6.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x + 6}$ 重写成 ${(x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

解题步骤 6.3.2

化简左边。

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解题步骤 6.3.2.1

化简 ${({(x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 6.3.2.1.1

将 ${({(x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.3.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(x + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

解题步骤 6.3.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(x + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

解题步骤 6.3.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(x + 6)}^{1} = x^{2}$

解题步骤 6.3.2.1.2

化简。

$x + 6 = x^{2}$

解题步骤 6.4

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.4.1

从等式两边同时减去 $x^{2}$ 。

$x + 6 - x^{2} = 0$

解题步骤 6.4.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 6.4.2.1

从 $x + 6 - x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

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解题步骤 6.4.2.1.1

将表达式重新排序。

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解题步骤 6.4.2.1.1.1

移动 $6$ 。

$x - x^{2} + 6 = 0$

解题步骤 6.4.2.1.1.2

将 $x$ 和 $- x^{2}$ 重新排序。

$- x^{2} + x + 6 = 0$

解题步骤 6.4.2.1.2

从 $- x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (x^{2}) + x + 6 = 0$

解题步骤 6.4.2.1.3

从 $x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (x^{2}) - 1 (- x) + 6 = 0$

解题步骤 6.4.2.1.4

将 $6$ 重写为 $- 1 (- 6)$ 。

$- (x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 6 = 0$

解题步骤 6.4.2.1.5

从 $- (x^{2}) - 1 (- x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (x^{2} - x) - 1 \cdot - 6 = 0$

解题步骤 6.4.2.1.6

从 $- (x^{2} - x) - 1 (- 6)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (x^{2} - x - 6) = 0$

解题步骤 6.4.2.2

因数。

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解题步骤 6.4.2.2.1

使用 AC 法来对 $x^{2} - x - 6$ 进行因式分解。

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解题步骤 6.4.2.2.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 6$ ，和为 $- 1$ 。

$- 3, 2$

解题步骤 6.4.2.2.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$- ((x - 3) (x + 2)) = 0$

解题步骤 6.4.2.2.2

去掉多余的括号。

$- (x - 3) (x + 2) = 0$

解题步骤 6.4.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 3 = 0$

$x + 2 = 0$

解题步骤 6.4.4

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.4.4.1

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 。

$x - 3 = 0$

解题步骤 6.4.4.2

在等式两边都加上 $3$ 。

$x = 3$

解题步骤 6.4.5

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.4.5.1

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 。

$x + 2 = 0$

解题步骤 6.4.5.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$x = - 2$

解题步骤 6.4.6

最终解为使 $- (x - 3) (x + 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = 3, - 2$

解题步骤 6.5

排除不能使 $\sqrt{x + 6} - x = 0$ 成立的解。

$x = 3$

解题步骤 7

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$[4, \infty)$

集合符号：

${x | x \geq 4}$

解题步骤 8

初级微积分 示例

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