初级微积分示例

$f (x) = 10 \sqrt[3]{x} - 5$ ; find $f^{- 1} (x)$

解题步骤 1

将 $f (x) = 10 \sqrt[3]{x} - 5$ 写为等式。

$y = 10 \sqrt[3]{x} - 5$

解题步骤 2

交换变量。

$x = 10 \sqrt[3]{y} - 5$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $10 \sqrt[3]{y} - 5 = x$ 。

$10 \sqrt[3]{y} - 5 = x$

解题步骤 3.2

在等式两边都加上 $5$ 。

$10 \sqrt[3]{y} = x + 5$

解题步骤 3.3

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行立方。

${(10 \sqrt[3]{y})}^{3} = {(x + 5)}^{3}$

解题步骤 3.4

化简方程的两边。

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解题步骤 3.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{y}$ 重写成 $y^{\frac{1}{3}}$ 。

${(10 y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x + 5)}^{3}$

解题步骤 3.4.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.2.1

化简 ${(10 y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 。

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解题步骤 3.4.2.1.1

对 $10 y^{\frac{1}{3}}$ 运用乘积法则。

$10^{3} {(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x + 5)}^{3}$

解题步骤 3.4.2.1.2

对 $10$ 进行 $3$ 次方运算。

$1000 {(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x + 5)}^{3}$

解题步骤 3.4.2.1.3

将 ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.4.2.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$1000 y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x + 5)}^{3}$

解题步骤 3.4.2.1.3.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.1.3.2.1

约去公因数。

$1000 y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x + 5)}^{3}$

解题步骤 3.4.2.1.3.2.2

重写表达式。

$1000 y^{1} = {(x + 5)}^{3}$

解题步骤 3.4.2.1.4

化简。

$1000 y = {(x + 5)}^{3}$

解题步骤 3.4.3

化简右边。

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解题步骤 3.4.3.1

化简 ${(x + 5)}^{3}$ 。

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解题步骤 3.4.3.1.1

使用二项式定理。

$1000 y = x^{3} + 3 x^{2} \cdot 5 + 3 x \cdot 5^{2} + 5^{3}$

解题步骤 3.4.3.1.2

化简每一项。

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解题步骤 3.4.3.1.2.1

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$1000 y = x^{3} + 15 x^{2} + 3 x \cdot 5^{2} + 5^{3}$

解题步骤 3.4.3.1.2.2

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$1000 y = x^{3} + 15 x^{2} + 3 x \cdot 25 + 5^{3}$

解题步骤 3.4.3.1.2.3

将 $25$ 乘以 $3$ 。

$1000 y = x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 5^{3}$

解题步骤 3.4.3.1.2.4

对 $5$ 进行 $3$ 次方运算。

$1000 y = x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 125$

解题步骤 3.5

将 $1000 y = x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 125$ 中的每一项除以 $1000$ 并化简。

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解题步骤 3.5.1

将 $1000 y = x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 125$ 中的每一项都除以 $1000$ 。

$\frac{1000 y}{1000} = \frac{x^{3}}{1000} + \frac{15 x^{2}}{1000} + \frac{75 x}{1000} + \frac{125}{1000}$

解题步骤 3.5.2

化简左边。

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解题步骤 3.5.2.1

约去 $1000$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{1000 y}{1000} = \frac{x^{3}}{1000} + \frac{15 x^{2}}{1000} + \frac{75 x}{1000} + \frac{125}{1000}$

解题步骤 3.5.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{x^{3}}{1000} + \frac{15 x^{2}}{1000} + \frac{75 x}{1000} + \frac{125}{1000}$

解题步骤 3.5.3

化简右边。

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解题步骤 3.5.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.5.3.1.1

约去 $15$ 和 $1000$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.3.1.1.1

从 $15 x^{2}$ 中分解出因数 $5$ 。

$y = \frac{x^{3}}{1000} + \frac{5 (3 x^{2})}{1000} + \frac{75 x}{1000} + \frac{125}{1000}$

解题步骤 3.5.3.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 3.5.3.1.1.2.1

从 $1000$ 中分解出因数 $5$ 。

$y = \frac{x^{3}}{1000} + \frac{5 (3 x^{2})}{5 (200)} + \frac{75 x}{1000} + \frac{125}{1000}$

解题步骤 3.5.3.1.1.2.2

约去公因数。

$y = \frac{x^{3}}{1000} + \frac{5 (3 x^{2})}{5 \cdot 200} + \frac{75 x}{1000} + \frac{125}{1000}$

解题步骤 3.5.3.1.1.2.3

重写表达式。

$y = \frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{75 x}{1000} + \frac{125}{1000}$

解题步骤 3.5.3.1.2

约去 $75$ 和 $1000$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.3.1.2.1

从 $75 x$ 中分解出因数 $25$ 。

$y = \frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{25 (3 x)}{1000} + \frac{125}{1000}$

解题步骤 3.5.3.1.2.2

约去公因数。

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解题步骤 3.5.3.1.2.2.1

从 $1000$ 中分解出因数 $25$ 。

$y = \frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{25 (3 x)}{25 (40)} + \frac{125}{1000}$

解题步骤 3.5.3.1.2.2.2

约去公因数。

$y = \frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{25 (3 x)}{25 \cdot 40} + \frac{125}{1000}$

解题步骤 3.5.3.1.2.2.3

重写表达式。

$y = \frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{125}{1000}$

解题步骤 3.5.3.1.3

约去 $125$ 和 $1000$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.3.1.3.1

从 $125$ 中分解出因数 $125$ 。

$y = \frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{125 (1)}{1000}$

解题步骤 3.5.3.1.3.2

约去公因数。

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解题步骤 3.5.3.1.3.2.1

从 $1000$ 中分解出因数 $125$ 。

$y = \frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{125 \cdot 1}{125 \cdot 8}$

解题步骤 3.5.3.1.3.2.2

约去公因数。

$y = \frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{125 \cdot 1}{125 \cdot 8}$

解题步骤 3.5.3.1.3.2.3

重写表达式。

$y = \frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}$

解题步骤 4

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}$ 是否为 $f (x) = 10 \sqrt[3]{x} - 5$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5)$ 。

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(10 \sqrt[3]{x} - 5)}^{3}}{1000} + \frac{3 {(10 \sqrt[3]{x} - 5)}^{2}}{200} + \frac{3 (10 \sqrt[3]{x} - 5)}{40} + \frac{1}{8}$

解题步骤 5.2.3

化简项。

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解题步骤 5.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.3.1.1

化简分子。

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解题步骤 5.2.3.1.1.1

从 $10 \sqrt[3]{x} - 5$ 中分解出因数 $5$ 。

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解题步骤 5.2.3.1.1.1.1

从 $10 \sqrt[3]{x}$ 中分解出因数 $5$ 。

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(5 (2 \sqrt[3]{x}) - 5)}^{3}}{1000} + \frac{3 {(10 \sqrt[3]{x} - 5)}^{2}}{200} + \frac{3 (10 \sqrt[3]{x} - 5)}{40} + \frac{1}{8}$

解题步骤 5.2.3.1.1.1.2

从 $- 5$ 中分解出因数 $5$ 。

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(5 (2 \sqrt[3]{x}) + 5 (- 1))}^{3}}{1000} + \frac{3 {(10 \sqrt[3]{x} - 5)}^{2}}{200} + \frac{3 (10 \sqrt[3]{x} - 5)}{40} + \frac{1}{8}$

解题步骤 5.2.3.1.1.1.3

从 $5 (2 \sqrt[3]{x}) + 5 (- 1)$ 中分解出因数 $5$ 。

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(5 (2 \sqrt[3]{x} - 1))}^{3}}{1000} + \frac{3 {(10 \sqrt[3]{x} - 5)}^{2}}{200} + \frac{3 (10 \sqrt[3]{x} - 5)}{40} + \frac{1}{8}$

解题步骤 5.2.3.1.1.2

对 $5 (2 \sqrt[3]{x} - 1)$ 运用乘积法则。

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{5^{3} {(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3}}{1000} + \frac{3 {(10 \sqrt[3]{x} - 5)}^{2}}{200} + \frac{3 (10 \sqrt[3]{x} - 5)}{40} + \frac{1}{8}$

解题步骤 5.2.3.1.1.3

对 $5$ 进行 $3$ 次方运算。

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{125 {(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3}}{1000} + \frac{3 {(10 \sqrt[3]{x} - 5)}^{2}}{200} + \frac{3 (10 \sqrt[3]{x} - 5)}{40} + \frac{1}{8}$

解题步骤 5.2.3.1.2

约去 $125$ 和 $1000$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.1.2.1

从 $125 {(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3}$ 中分解出因数 $125$ 。

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{125 ({(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3})}{1000} + \frac{3 {(10 \sqrt[3]{x} - 5)}^{2}}{200} + \frac{3 (10 \sqrt[3]{x} - 5)}{40} + \frac{1}{8}$

解题步骤 5.2.3.1.2.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.3.1.2.2.1

从 $1000$ 中分解出因数 $125$ 。

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{125 {(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3}}{125 \cdot 8} + \frac{3 {(10 \sqrt[3]{x} - 5)}^{2}}{200} + \frac{3 (10 \sqrt[3]{x} - 5)}{40} + \frac{1}{8}$

解题步骤 5.2.3.1.2.2.2

约去公因数。

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{125 {(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3}}{125 \cdot 8} + \frac{3 {(10 \sqrt[3]{x} - 5)}^{2}}{200} + \frac{3 (10 \sqrt[3]{x} - 5)}{40} + \frac{1}{8}$

解题步骤 5.2.3.1.2.2.3

重写表达式。

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3}}{8} + \frac{3 {(10 \sqrt[3]{x} - 5)}^{2}}{200} + \frac{3 (10 \sqrt[3]{x} - 5)}{40} + \frac{1}{8}$

解题步骤 5.2.3.1.3

化简分子。

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解题步骤 5.2.3.1.3.1

从 $10 \sqrt[3]{x} - 5$ 中分解出因数 $5$ 。

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解题步骤 5.2.3.1.3.1.1

从 $10 \sqrt[3]{x}$ 中分解出因数 $5$ 。

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3}}{8} + \frac{3 {(5 (2 \sqrt[3]{x}) - 5)}^{2}}{200} + \frac{3 (10 \sqrt[3]{x} - 5)}{40} + \frac{1}{8}$

解题步骤 5.2.3.1.3.1.2

从 $- 5$ 中分解出因数 $5$ 。

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3}}{8} + \frac{3 {(5 (2 \sqrt[3]{x}) + 5 (- 1))}^{2}}{200} + \frac{3 (10 \sqrt[3]{x} - 5)}{40} + \frac{1}{8}$

解题步骤 5.2.3.1.3.1.3

从 $5 (2 \sqrt[3]{x}) + 5 (- 1)$ 中分解出因数 $5$ 。

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3}}{8} + \frac{3 {(5 (2 \sqrt[3]{x} - 1))}^{2}}{200} + \frac{3 (10 \sqrt[3]{x} - 5)}{40} + \frac{1}{8}$

解题步骤 5.2.3.1.3.2

对 $5 (2 \sqrt[3]{x} - 1)$ 运用乘积法则。

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3}}{8} + \frac{3 \cdot (5^{2} {(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{2})}{200} + \frac{3 (10 \sqrt[3]{x} - 5)}{40} + \frac{1}{8}$

解题步骤 5.2.3.1.3.3

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3}}{8} + \frac{3 \cdot (25 {(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{2})}{200} + \frac{3 (10 \sqrt[3]{x} - 5)}{40} + \frac{1}{8}$

解题步骤 5.2.3.1.3.4

将 $3$ 乘以 $25$ 。

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3}}{8} + \frac{75 {(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{2}}{200} + \frac{3 (10 \sqrt[3]{x} - 5)}{40} + \frac{1}{8}$

解题步骤 5.2.3.1.4

约去 $75$ 和 $200$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.1.4.1

从 $75 {(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{2}$ 中分解出因数 $25$ 。

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3}}{8} + \frac{25 (3 {(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{2})}{200} + \frac{3 (10 \sqrt[3]{x} - 5)}{40} + \frac{1}{8}$

解题步骤 5.2.3.1.4.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.3.1.4.2.1

从 $200$ 中分解出因数 $25$ 。

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3}}{8} + \frac{25 (3 {(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{2})}{25 (8)} + \frac{3 (10 \sqrt[3]{x} - 5)}{40} + \frac{1}{8}$

解题步骤 5.2.3.1.4.2.2

约去公因数。

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3}}{8} + \frac{25 (3 {(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{2})}{25 \cdot 8} + \frac{3 (10 \sqrt[3]{x} - 5)}{40} + \frac{1}{8}$

解题步骤 5.2.3.1.4.2.3

重写表达式。

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3}}{8} + \frac{3 {(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{2}}{8} + \frac{3 (10 \sqrt[3]{x} - 5)}{40} + \frac{1}{8}$

解题步骤 5.2.3.1.5

约去 $10 \sqrt[3]{x} - 5$ 和 $40$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.1.5.1

从 $3 (10 \sqrt[3]{x} - 5)$ 中分解出因数 $5$ 。

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3}}{8} + \frac{3 {(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{2}}{8} + \frac{5 (3 (2 \sqrt[3]{x} - 1))}{40} + \frac{1}{8}$

解题步骤 5.2.3.1.5.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.3.1.5.2.1

从 $40$ 中分解出因数 $5$ 。

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3}}{8} + \frac{3 {(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{2}}{8} + \frac{5 (3 (2 \sqrt[3]{x} - 1))}{5 (8)} + \frac{1}{8}$

解题步骤 5.2.3.1.5.2.2

约去公因数。

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3}}{8} + \frac{3 {(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{2}}{8} + \frac{5 (3 (2 \sqrt[3]{x} - 1))}{5 \cdot 8} + \frac{1}{8}$

解题步骤 5.2.3.1.5.2.3

重写表达式。

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3}}{8} + \frac{3 {(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{2}}{8} + \frac{3 (2 \sqrt[3]{x} - 1)}{8} + \frac{1}{8}$

解题步骤 5.2.3.2

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 3 {(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{2} + 3 (2 \sqrt[3]{x} - 1) + 1}{8}$

解题步骤 5.2.3.3

化简每一项。

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解题步骤 5.2.3.3.1

将 ${(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{2}$ 重写为 $(2 \sqrt[3]{x} - 1) (2 \sqrt[3]{x} - 1)$ 。

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 3 ((2 \sqrt[3]{x} - 1) (2 \sqrt[3]{x} - 1)) + 3 (2 \sqrt[3]{x} - 1) + 1}{8}$

解题步骤 5.2.3.3.2

使用 FOIL 方法展开 $(2 \sqrt[3]{x} - 1) (2 \sqrt[3]{x} - 1)$ 。

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解题步骤 5.2.3.3.2.1

运用分配律。

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 3 (2 \sqrt[3]{x} (2 \sqrt[3]{x} - 1) - 1 (2 \sqrt[3]{x} - 1)) + 3 (2 \sqrt[3]{x} - 1) + 1}{8}$

解题步骤 5.2.3.3.2.2

运用分配律。

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 3 (2 \sqrt[3]{x} (2 \sqrt[3]{x}) + 2 \sqrt[3]{x} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt[3]{x} - 1)) + 3 (2 \sqrt[3]{x} - 1) + 1}{8}$

解题步骤 5.2.3.3.2.3

运用分配律。

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 3 (2 \sqrt[3]{x} (2 \sqrt[3]{x}) + 2 \sqrt[3]{x} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt[3]{x}) - 1 \cdot - 1) + 3 (2 \sqrt[3]{x} - 1) + 1}{8}$

解题步骤 5.2.3.3.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.2.3.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.3.3.3.1.1

乘以 $2 \sqrt[3]{x} (2 \sqrt[3]{x})$ 。

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解题步骤 5.2.3.3.3.1.1.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 3 (4 \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x} + 2 \sqrt[3]{x} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt[3]{x}) - 1 \cdot - 1) + 3 (2 \sqrt[3]{x} - 1) + 1}{8}$

解题步骤 5.2.3.3.3.1.1.2

对 $\sqrt[3]{x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 3 (4 (\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x}) + 2 \sqrt[3]{x} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt[3]{x}) - 1 \cdot - 1) + 3 (2 \sqrt[3]{x} - 1) + 1}{8}$

解题步骤 5.2.3.3.3.1.1.3

对 $\sqrt[3]{x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 3 (4 (\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x}) + 2 \sqrt[3]{x} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt[3]{x}) - 1 \cdot - 1) + 3 (2 \sqrt[3]{x} - 1) + 1}{8}$

解题步骤 5.2.3.3.3.1.1.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 3 (4 {\sqrt[3]{x}}^{1 + 1} + 2 \sqrt[3]{x} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt[3]{x}) - 1 \cdot - 1) + 3 (2 \sqrt[3]{x} - 1) + 1}{8}$

解题步骤 5.2.3.3.3.1.1.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 3 (4 {\sqrt[3]{x}}^{2} + 2 \sqrt[3]{x} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt[3]{x}) - 1 \cdot - 1) + 3 (2 \sqrt[3]{x} - 1) + 1}{8}$

解题步骤 5.2.3.3.3.1.2

将 ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ 重写为 $\sqrt[3]{x^{2}}$ 。

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 3 (4 \sqrt[3]{x^{2}} + 2 \sqrt[3]{x} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt[3]{x}) - 1 \cdot - 1) + 3 (2 \sqrt[3]{x} - 1) + 1}{8}$

解题步骤 5.2.3.3.3.1.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 3 (4 \sqrt[3]{x^{2}} - 2 \sqrt[3]{x} - 1 (2 \sqrt[3]{x}) - 1 \cdot - 1) + 3 (2 \sqrt[3]{x} - 1) + 1}{8}$

解题步骤 5.2.3.3.3.1.4

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 3 (4 \sqrt[3]{x^{2}} - 2 \sqrt[3]{x} - 2 \sqrt[3]{x} - 1 \cdot - 1) + 3 (2 \sqrt[3]{x} - 1) + 1}{8}$

解题步骤 5.2.3.3.3.1.5

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 3 (4 \sqrt[3]{x^{2}} - 2 \sqrt[3]{x} - 2 \sqrt[3]{x} + 1) + 3 (2 \sqrt[3]{x} - 1) + 1}{8}$

解题步骤 5.2.3.3.3.2

从 $- 2 \sqrt[3]{x}$ 中减去 $2 \sqrt[3]{x}$ 。

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 3 (4 \sqrt[3]{x^{2}} - 4 \sqrt[3]{x} + 1) + 3 (2 \sqrt[3]{x} - 1) + 1}{8}$

解题步骤 5.2.3.3.4

运用分配律。

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 3 (4 \sqrt[3]{x^{2}}) + 3 (- 4 \sqrt[3]{x}) + 3 \cdot 1 + 3 (2 \sqrt[3]{x} - 1) + 1}{8}$

解题步骤 5.2.3.3.5

化简。

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解题步骤 5.2.3.3.5.1

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 3 (- 4 \sqrt[3]{x}) + 3 \cdot 1 + 3 (2 \sqrt[3]{x} - 1) + 1}{8}$

解题步骤 5.2.3.3.5.2

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} - 12 \sqrt[3]{x} + 3 \cdot 1 + 3 (2 \sqrt[3]{x} - 1) + 1}{8}$

解题步骤 5.2.3.3.5.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} - 12 \sqrt[3]{x} + 3 + 3 (2 \sqrt[3]{x} - 1) + 1}{8}$

解题步骤 5.2.3.3.6

运用分配律。

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} - 12 \sqrt[3]{x} + 3 + 3 (2 \sqrt[3]{x}) + 3 \cdot - 1 + 1}{8}$

解题步骤 5.2.3.3.7

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} - 12 \sqrt[3]{x} + 3 + 6 \sqrt[3]{x} + 3 \cdot - 1 + 1}{8}$

解题步骤 5.2.3.3.8

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} - 12 \sqrt[3]{x} + 3 + 6 \sqrt[3]{x} - 3 + 1}{8}$

解题步骤 5.2.3.4

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 5.2.3.4.1

合并 ${(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} - 12 \sqrt[3]{x} + 3 + 6 \sqrt[3]{x} - 3 + 1$ 中相反的项。

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解题步骤 5.2.3.4.1.1

从 $3$ 中减去 $3$ 。

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} - 12 \sqrt[3]{x} + 0 + 6 \sqrt[3]{x} + 1}{8}$

解题步骤 5.2.3.4.1.2

将 ${(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} - 12 \sqrt[3]{x}$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} - 12 \sqrt[3]{x} + 6 \sqrt[3]{x} + 1}{8}$

解题步骤 5.2.3.4.2

将 $- 12 \sqrt[3]{x}$ 和 $6 \sqrt[3]{x}$ 相加。

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} - 6 \sqrt[3]{x} + 1}{8}$

解题步骤 5.2.4

化简分子。

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解题步骤 5.2.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(2 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} - 6 \sqrt[3]{x} + 1}{8}$

解题步骤 5.2.4.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x^{2}}$ 重写成 $x^{\frac{2}{3}}$ 。

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(2 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3} + 12 x^{\frac{2}{3}} - 6 \sqrt[3]{x} + 1}{8}$

解题步骤 5.2.4.3

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(2 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3} + 12 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1}{8}$

解题步骤 5.2.4.4

使用二项式定理。

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(2 x^{\frac{1}{3}})}^{3} + 3 {(2 x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 1 + 3 (2 x^{\frac{1}{3}}) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + 12 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1}{8}$

解题步骤 5.2.4.5

化简每一项。

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解题步骤 5.2.4.5.1

对 $2 x^{\frac{1}{3}}$ 运用乘积法则。

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{2^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} + 3 {(2 x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 1 + 3 (2 x^{\frac{1}{3}}) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + 12 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1}{8}$

解题步骤 5.2.4.5.2

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} + 3 {(2 x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 1 + 3 (2 x^{\frac{1}{3}}) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + 12 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1}{8}$

解题步骤 5.2.4.5.3

将 ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.4.5.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 3 {(2 x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 1 + 3 (2 x^{\frac{1}{3}}) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + 12 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1}{8}$

解题步骤 5.2.4.5.3.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.4.5.3.2.1

约去公因数。

解题步骤 5.2.4.5.3.2.2

重写表达式。

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x + 3 {(2 x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 1 + 3 (2 x^{\frac{1}{3}}) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + 12 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1}{8}$

解题步骤 5.2.4.5.4

化简。

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x + 3 {(2 x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 1 + 3 (2 x^{\frac{1}{3}}) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + 12 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1}{8}$

解题步骤 5.2.4.5.5

对 $2 x^{\frac{1}{3}}$ 运用乘积法则。

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x + 3 (2^{2} {(x^{\frac{1}{3}})}^{2}) \cdot - 1 + 3 (2 x^{\frac{1}{3}}) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + 12 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1}{8}$

解题步骤 5.2.4.5.6

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x + 3 (4 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2}) \cdot - 1 + 3 (2 x^{\frac{1}{3}}) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + 12 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1}{8}$

解题步骤 5.2.4.5.7

将 ${(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.4.5.7.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x + 3 (4 x^{\frac{1}{3} \cdot 2}) \cdot - 1 + 3 (2 x^{\frac{1}{3}}) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + 12 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1}{8}$

解题步骤 5.2.4.5.7.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $2$ 。

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x + 3 (4 x^{\frac{2}{3}}) \cdot - 1 + 3 (2 x^{\frac{1}{3}}) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + 12 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1}{8}$

解题步骤 5.2.4.5.8

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x + 12 x^{\frac{2}{3}} \cdot - 1 + 3 (2 x^{\frac{1}{3}}) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + 12 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1}{8}$

解题步骤 5.2.4.5.9

将 $- 1$ 乘以 $12$ 。

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x - 12 x^{\frac{2}{3}} + 3 (2 x^{\frac{1}{3}}) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + 12 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1}{8}$

解题步骤 5.2.4.5.10

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x - 12 x^{\frac{2}{3}} + 6 x^{\frac{1}{3}} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + 12 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1}{8}$

解题步骤 5.2.4.5.11

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x - 12 x^{\frac{2}{3}} + 6 x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + {(- 1)}^{3} + 12 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1}{8}$

解题步骤 5.2.4.5.12

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x - 12 x^{\frac{2}{3}} + 6 x^{\frac{1}{3}} + {(- 1)}^{3} + 12 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1}{8}$

解题步骤 5.2.4.5.13

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x - 12 x^{\frac{2}{3}} + 6 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 12 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1}{8}$

解题步骤 5.2.4.6

将 $- 12 x^{\frac{2}{3}}$ 和 $12 x^{\frac{2}{3}}$ 相加。

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x + 6 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 0 - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1}{8}$

解题步骤 5.2.4.7

将 $8 x$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x + 6 x^{\frac{1}{3}} - 1 - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1}{8}$

解题步骤 5.2.4.8

从 $6 x^{\frac{1}{3}}$ 中减去 $6 x^{\frac{1}{3}}$ 。

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x + 0 - 1 + 1}{8}$

解题步骤 5.2.4.9

将 $8 x$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x - 1 + 1}{8}$

解题步骤 5.2.4.10

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x + 0}{8}$

解题步骤 5.2.4.11

将 $8 x$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x}{8}$

解题步骤 5.2.5

约去 $8$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.5.1

约去公因数。

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x}{8}$

解题步骤 5.2.5.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (10 \sqrt[3]{x} - 5) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8})$ 。

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}} - 5$

解题步骤 5.3.3

去掉圆括号。

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}} - 5$

解题步骤 5.3.4

化简每一项。

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解题步骤 5.3.4.1

要将 $\frac{3 x^{2}}{200}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} \cdot \frac{5}{5} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}} - 5$

解题步骤 5.3.4.2

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $1000$ 的形式。

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解题步骤 5.3.4.2.1

将 $\frac{3 x^{2}}{200}$ 乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2} \cdot 5}{200 \cdot 5} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}} - 5$

解题步骤 5.3.4.2.2

将 $200$ 乘以 $5$ 。

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2} \cdot 5}{1000} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}} - 5$

解题步骤 5.3.4.3

在公分母上合并分子。

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{x^{3} + 3 x^{2} \cdot 5}{1000} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}} - 5$

解题步骤 5.3.4.4

化简分子。

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解题步骤 5.3.4.4.1

从 $x^{3} + 3 x^{2} \cdot 5$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

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解题步骤 5.3.4.4.1.1

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{x^{2} x + 3 x^{2} \cdot 5}{1000} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}} - 5$

解题步骤 5.3.4.4.1.2

从 $3 x^{2} \cdot 5$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{x^{2} x + x^{2} (3 \cdot 5)}{1000} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}} - 5$

解题步骤 5.3.4.4.1.3

从 $x^{2} x + x^{2} (3 \cdot 5)$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{x^{2} (x + 3 \cdot 5)}{1000} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}} - 5$

解题步骤 5.3.4.4.2

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{x^{2} (x + 15)}{1000} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}} - 5$

解题步骤 5.3.4.5

要将 $\frac{3 x}{40}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{25}{25}$ 。

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{x^{2} (x + 15)}{1000} + \frac{3 x}{40} \cdot \frac{25}{25} + \frac{1}{8}} - 5$

解题步骤 5.3.4.6

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $1000$ 的形式。

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解题步骤 5.3.4.6.1

将 $\frac{3 x}{40}$ 乘以 $\frac{25}{25}$ 。

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{x^{2} (x + 15)}{1000} + \frac{3 x \cdot 25}{40 \cdot 25} + \frac{1}{8}} - 5$

解题步骤 5.3.4.6.2

将 $40$ 乘以 $25$ 。

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{x^{2} (x + 15)}{1000} + \frac{3 x \cdot 25}{1000} + \frac{1}{8}} - 5$

解题步骤 5.3.4.7

在公分母上合并分子。

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{x^{2} (x + 15) + 3 x \cdot 25}{1000} + \frac{1}{8}} - 5$

解题步骤 5.3.4.8

化简分子。

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解题步骤 5.3.4.8.1

从 $x^{2} (x + 15) + 3 x \cdot 25$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 5.3.4.8.1.1

从 $x^{2} (x + 15)$ 中分解出因数 $x$ 。

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{x (x (x + 15)) + 3 x \cdot 25}{1000} + \frac{1}{8}} - 5$

解题步骤 5.3.4.8.1.2

从 $3 x \cdot 25$ 中分解出因数 $x$ 。

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{x (x (x + 15)) + x (3 \cdot 25)}{1000} + \frac{1}{8}} - 5$

解题步骤 5.3.4.8.1.3

从 $x (x (x + 15)) + x (3 \cdot 25)$ 中分解出因数 $x$ 。

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{x (x (x + 15) + 3 \cdot 25)}{1000} + \frac{1}{8}} - 5$

解题步骤 5.3.4.8.2

运用分配律。

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{x (x \cdot x + x \cdot 15 + 3 \cdot 25)}{1000} + \frac{1}{8}} - 5$

解题步骤 5.3.4.8.3

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{x (x^{2} + x \cdot 15 + 3 \cdot 25)}{1000} + \frac{1}{8}} - 5$

解题步骤 5.3.4.8.4

将 $15$ 移到 $x$ 的左侧。

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{x (x^{2} + 15 \cdot x + 3 \cdot 25)}{1000} + \frac{1}{8}} - 5$

解题步骤 5.3.4.8.5

将 $3$ 乘以 $25$ 。

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{x (x^{2} + 15 x + 75)}{1000} + \frac{1}{8}} - 5$

解题步骤 5.3.4.9

要将 $\frac{1}{8}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{125}{125}$ 。

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{x (x^{2} + 15 x + 75)}{1000} + \frac{1}{8} \cdot \frac{125}{125}} - 5$

解题步骤 5.3.4.10

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $1000$ 的形式。

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解题步骤 5.3.4.10.1

将 $\frac{1}{8}$ 乘以 $\frac{125}{125}$ 。

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{x (x^{2} + 15 x + 75)}{1000} + \frac{125}{8 \cdot 125}} - 5$

解题步骤 5.3.4.10.2

将 $8$ 乘以 $125$ 。

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{x (x^{2} + 15 x + 75)}{1000} + \frac{125}{1000}} - 5$

解题步骤 5.3.4.11

在公分母上合并分子。

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{x (x^{2} + 15 x + 75) + 125}{1000}} - 5$

解题步骤 5.3.4.12

化简分子。

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解题步骤 5.3.4.12.1

运用分配律。

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{x \cdot x^{2} + x (15 x) + x \cdot 75 + 125}{1000}} - 5$

解题步骤 5.3.4.12.2

化简。

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解题步骤 5.3.4.12.2.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 5.3.4.12.2.1.1

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 5.3.4.12.2.1.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{x \cdot x^{2} + x (15 x) + x \cdot 75 + 125}{1000}} - 5$

解题步骤 5.3.4.12.2.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{x^{1 + 2} + x (15 x) + x \cdot 75 + 125}{1000}} - 5$

解题步骤 5.3.4.12.2.1.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{x^{3} + x (15 x) + x \cdot 75 + 125}{1000}} - 5$

解题步骤 5.3.4.12.2.2

使用乘法的交换性质重写。

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{x^{3} + 15 x \cdot x + x \cdot 75 + 125}{1000}} - 5$

解题步骤 5.3.4.12.2.3

将 $75$ 移到 $x$ 的左侧。

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{x^{3} + 15 x \cdot x + 75 \cdot x + 125}{1000}} - 5$

解题步骤 5.3.4.12.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.3.4.12.3.1

移动 $x$ 。

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{x^{3} + 15 (x \cdot x) + 75 \cdot x + 125}{1000}} - 5$

解题步骤 5.3.4.12.3.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{x^{3} + 15 x^{2} + 75 \cdot x + 125}{1000}} - 5$

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 125}{1000}} - 5$

解题步骤 5.3.4.12.4

以因式分解的形式重写 $x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 125$ 。

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解题步骤 5.3.4.12.4.1

重新组合项。

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{x^{3} + 125 + 15 x^{2} + 75 x}{1000}} - 5$

解题步骤 5.3.4.12.4.2

将 $125$ 重写为 $5^{3}$ 。

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{x^{3} + 5^{3} + 15 x^{2} + 75 x}{1000}} - 5$

解题步骤 5.3.4.12.4.3

因为两项都是完全立方数，所以使用立方和公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 5$ 。

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{(x + 5) (x^{2} - x \cdot 5 + 5^{2}) + 15 x^{2} + 75 x}{1000}} - 5$

解题步骤 5.3.4.12.4.4

化简。

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解题步骤 5.3.4.12.4.4.1

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{(x + 5) (x^{2} - 5 x + 5^{2}) + 15 x^{2} + 75 x}{1000}} - 5$

解题步骤 5.3.4.12.4.4.2

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{(x + 5) (x^{2} - 5 x + 25) + 15 x^{2} + 75 x}{1000}} - 5$

解题步骤 5.3.4.12.4.5

从 $15 x^{2} + 75 x$ 中分解出因数 $15 x$ 。

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解题步骤 5.3.4.12.4.5.1

从 $15 x^{2}$ 中分解出因数 $15 x$ 。

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{(x + 5) (x^{2} - 5 x + 25) + 15 x (x) + 75 x}{1000}} - 5$

解题步骤 5.3.4.12.4.5.2

从 $75 x$ 中分解出因数 $15 x$ 。

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{(x + 5) (x^{2} - 5 x + 25) + 15 x (x) + 15 x (5)}{1000}} - 5$

解题步骤 5.3.4.12.4.5.3

从 $15 x (x) + 15 x (5)$ 中分解出因数 $15 x$ 。

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{(x + 5) (x^{2} - 5 x + 25) + 15 x (x + 5)}{1000}} - 5$

解题步骤 5.3.4.12.4.6

从 $(x + 5) (x^{2} - 5 x + 25) + 15 x (x + 5)$ 中分解出因数 $x + 5$ 。

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解题步骤 5.3.4.12.4.6.1

从 $15 x (x + 5)$ 中分解出因数 $x + 5$ 。

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{(x + 5) (x^{2} - 5 x + 25) + (x + 5) (15 x)}{1000}} - 5$

解题步骤 5.3.4.12.4.6.2

从 $(x + 5) (x^{2} - 5 x + 25) + (x + 5) (15 x)$ 中分解出因数 $x + 5$ 。

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{(x + 5) (x^{2} - 5 x + 25 + 15 x)}{1000}} - 5$

解题步骤 5.3.4.12.4.7

将 $- 5 x$ 和 $15 x$ 相加。

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{(x + 5) (x^{2} + 10 x + 25)}{1000}} - 5$

解题步骤 5.3.4.12.4.8

使用完全平方法则进行因式分解。

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解题步骤 5.3.4.12.4.8.1

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{(x + 5) (x^{2} + 10 x + 5^{2})}{1000}} - 5$

解题步骤 5.3.4.12.4.8.2

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

解题步骤 5.3.4.12.4.8.3

重写多项式。

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{(x + 5) (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2})}{1000}} - 5$

解题步骤 5.3.4.12.4.8.4

使用完全平方三项式法则对 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 5$ 。

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{(x + 5) {(x + 5)}^{2}}{1000}} - 5$

解题步骤 5.3.4.13

通过指数相加将 $x + 5$ 乘以 ${(x + 5)}^{2}$ 。

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解题步骤 5.3.4.13.1

将 $x + 5$ 乘以 ${(x + 5)}^{2}$ 。

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解题步骤 5.3.4.13.1.1

对 $x + 5$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{(x + 5) {(x + 5)}^{2}}{1000}} - 5$

解题步骤 5.3.4.13.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{{(x + 5)}^{1 + 2}}{1000}} - 5$

解题步骤 5.3.4.13.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{{(x + 5)}^{3}}{1000}} - 5$

解题步骤 5.3.4.14

将 $1000$ 重写为 $10^{3}$ 。

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{\frac{{(x + 5)}^{3}}{10^{3}}} - 5$

解题步骤 5.3.4.15

将 $\frac{{(x + 5)}^{3}}{10^{3}}$ 重写为 ${(\frac{x + 5}{10})}^{3}$ 。

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 \sqrt[3]{{(\frac{x + 5}{10})}^{3}} - 5$

解题步骤 5.3.4.16

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 (\frac{x + 5}{10}) - 5$

解题步骤 5.3.4.17

约去 $10$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.4.17.1

约去公因数。

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = 10 (\frac{x + 5}{10}) - 5$

解题步骤 5.3.4.17.2

重写表达式。

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = x + 5 - 5$

解题步骤 5.3.5

合并 $x + 5 - 5$ 中相反的项。

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解题步骤 5.3.5.1

从 $5$ 中减去 $5$ 。

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = x + 0$

解题步骤 5.3.5.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f (\frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}$ 为 $f (x) = 10 \sqrt[3]{x} - 5$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{1000} + \frac{3 x^{2}}{200} + \frac{3 x}{40} + \frac{1}{8}$

初级微积分 示例

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