初级微积分示例

$\frac{4 m^{2} - 25 n^{2}}{m^{3} + 8} \div \frac{2 m + 5 n}{m^{2} - 2 m + 4}$

解题步骤 1

将 $\frac{4 m^{2} - 25 n^{2}}{m^{3} + 8}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$m^{3} + 8 = 0$

解题步骤 2

求解 $m$ 。

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解题步骤 2.1

从等式两边同时减去 $8$ 。

$m^{3} = - 8$

解题步骤 2.2

在等式两边都加上 $8$ 。

$m^{3} + 8 = 0$

解题步骤 2.3

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.3.1

将 $8$ 重写为 $2^{3}$ 。

$m^{3} + 2^{3} = 0$

解题步骤 2.3.2

因为两项都是完全立方数，所以使用立方和公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = m$ 和 $b = 2$ 。

$(m + 2) (m^{2} - m \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

解题步骤 2.3.3

化简。

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解题步骤 2.3.3.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$(m + 2) (m^{2} - 2 m + 2^{2}) = 0$

解题步骤 2.3.3.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$(m + 2) (m^{2} - 2 m + 4) = 0$

解题步骤 2.4

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$m + 2 = 0$

$m^{2} - 2 m + 4 = 0$

解题步骤 2.5

将 $m + 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $m$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 $m + 2$ 设为等于 $0$ 。

$m + 2 = 0$

解题步骤 2.5.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$m = - 2$

解题步骤 2.6

将 $m^{2} - 2 m + 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $m$ 。

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解题步骤 2.6.1

将 $m^{2} - 2 m + 4$ 设为等于 $0$ 。

$m^{2} - 2 m + 4 = 0$

解题步骤 2.6.2

求解 $m$ 的 $m^{2} - 2 m + 4 = 0$ 。

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解题步骤 2.6.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 2.6.2.2

将 $a = 1$ 、 $b = - 2$ 和 $c = 4$ 的值代入二次公式中并求解 $m$ 。

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.6.2.3

化简。

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解题步骤 2.6.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 2.6.2.3.1.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$m = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.6.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ 。

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解题步骤 2.6.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$m = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.6.2.3.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$m = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.6.2.3.1.3

从 $4$ 中减去 $16$ 。

$m = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.6.2.3.1.4

将 $- 12$ 重写为 $- 1 (12)$ 。

$m = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.6.2.3.1.5

将 $\sqrt{- 1 (12)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ 。

$m = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.6.2.3.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$m = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.6.2.3.1.7

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 2.6.2.3.1.7.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$m = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.6.2.3.1.7.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$m = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.6.2.3.1.8

从根式下提出各项。

$m = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.6.2.3.1.9

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$m = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.6.2.3.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$m = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 2.6.2.3.3

化简 $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ 。

$m = 1 \pm i \sqrt{3}$

解题步骤 2.6.2.4

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 2.6.2.4.1

化简分子。

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解题步骤 2.6.2.4.1.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$m = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.6.2.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ 。

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解题步骤 2.6.2.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$m = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.6.2.4.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$m = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.6.2.4.1.3

从 $4$ 中减去 $16$ 。

$m = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.6.2.4.1.4

将 $- 12$ 重写为 $- 1 (12)$ 。

$m = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.6.2.4.1.5

将 $\sqrt{- 1 (12)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ 。

$m = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.6.2.4.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$m = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.6.2.4.1.7

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 2.6.2.4.1.7.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$m = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.6.2.4.1.7.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$m = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.6.2.4.1.8

从根式下提出各项。

$m = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.6.2.4.1.9

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$m = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.6.2.4.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$m = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 2.6.2.4.3

化简 $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ 。

$m = 1 \pm i \sqrt{3}$

解题步骤 2.6.2.4.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$m = 1 + i \sqrt{3}$

解题步骤 2.6.2.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 2.6.2.5.1

化简分子。

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解题步骤 2.6.2.5.1.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$m = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.6.2.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ 。

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解题步骤 2.6.2.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$m = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.6.2.5.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$m = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.6.2.5.1.3

从 $4$ 中减去 $16$ 。

$m = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.6.2.5.1.4

将 $- 12$ 重写为 $- 1 (12)$ 。

$m = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.6.2.5.1.5

将 $\sqrt{- 1 (12)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ 。

$m = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.6.2.5.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$m = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.6.2.5.1.7

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 2.6.2.5.1.7.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$m = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.6.2.5.1.7.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$m = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.6.2.5.1.8

从根式下提出各项。

$m = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.6.2.5.1.9

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$m = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.6.2.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$m = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 2.6.2.5.3

化简 $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ 。

$m = 1 \pm i \sqrt{3}$

解题步骤 2.6.2.5.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$m = 1 - i \sqrt{3}$

解题步骤 2.6.2.6

最终答案为两个解的组合。

$m = 1 + i \sqrt{3}, 1 - i \sqrt{3}$

解题步骤 2.7

最终解为使 $(m + 2) (m^{2} - 2 m + 4) = 0$ 成立的所有值。

$m = - 2, 1 + i \sqrt{3}, 1 - i \sqrt{3}$

解题步骤 3

将 $\frac{2 m + 5 n}{m^{2} - 2 m + 4}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$m^{2} - 2 m + 4 = 0$

解题步骤 4

求解 $m$ 。

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解题步骤 4.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 4.2

将 $a = 1$ 、 $b = - 2$ 和 $c = 4$ 的值代入二次公式中并求解 $m$ 。

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.3

化简。

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解题步骤 4.3.1

化简分子。

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解题步骤 4.3.1.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$m = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ 。

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解题步骤 4.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$m = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.3.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$m = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.3.1.3

从 $4$ 中减去 $16$ 。

$m = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.3.1.4

将 $- 12$ 重写为 $- 1 (12)$ 。

$m = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.3.1.5

将 $\sqrt{- 1 (12)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ 。

$m = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.3.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$m = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.3.1.7

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 4.3.1.7.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$m = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.3.1.7.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$m = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.3.1.8

从根式下提出各项。

$m = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.3.1.9

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$m = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.3.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$m = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 4.3.3

化简 $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ 。

$m = 1 \pm i \sqrt{3}$

解题步骤 4.4

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 4.4.1

化简分子。

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解题步骤 4.4.1.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$m = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ 。

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解题步骤 4.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$m = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.4.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$m = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.4.1.3

从 $4$ 中减去 $16$ 。

$m = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.4.1.4

将 $- 12$ 重写为 $- 1 (12)$ 。

$m = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.4.1.5

将 $\sqrt{- 1 (12)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ 。

$m = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.4.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$m = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.4.1.7

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 4.4.1.7.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$m = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.4.1.7.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$m = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.4.1.8

从根式下提出各项。

$m = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.4.1.9

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$m = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.4.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$m = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 4.4.3

化简 $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ 。

$m = 1 \pm i \sqrt{3}$

解题步骤 4.4.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$m = 1 + i \sqrt{3}$

解题步骤 4.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 4.5.1

化简分子。

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解题步骤 4.5.1.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$m = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ 。

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解题步骤 4.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$m = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.5.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$m = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.5.1.3

从 $4$ 中减去 $16$ 。

$m = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.5.1.4

将 $- 12$ 重写为 $- 1 (12)$ 。

$m = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.5.1.5

将 $\sqrt{- 1 (12)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ 。

$m = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.5.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$m = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.5.1.7

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 4.5.1.7.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$m = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.5.1.7.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$m = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.5.1.8

从根式下提出各项。

$m = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.5.1.9

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$m = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$m = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 4.5.3

化简 $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ 。

$m = 1 \pm i \sqrt{3}$

解题步骤 4.5.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$m = 1 - i \sqrt{3}$

解题步骤 4.6

最终答案为两个解的组合。

$m = 1 + i \sqrt{3}, 1 - i \sqrt{3}$

解题步骤 5

将 $\frac{4 m^{2} - 25 n^{2}}{m^{3} + 8} \div \frac{2 m + 5 n}{m^{2} - 2 m + 4}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$\frac{2 m + 5 n}{m^{2} - 2 m + 4} = 0$

解题步骤 6

求解 $m$ 。

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解题步骤 6.1

将分子设为等于零。

$2 m + 5 n = 0$

解题步骤 6.2

求解 $m$ 的方程。

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解题步骤 6.2.1

从等式两边同时减去 $5 n$ 。

$2 m = - 5 n$

解题步骤 6.2.2

将 $2 m = - 5 n$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 6.2.2.1

将 $2 m = - 5 n$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 m}{2} = \frac{- 5 n}{2}$

解题步骤 6.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 m}{2} = \frac{- 5 n}{2}$

解题步骤 6.2.2.2.1.2

用 $m$ 除以 $1$ 。

$m = \frac{- 5 n}{2}$

解题步骤 6.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 6.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$m = - \frac{5 n}{2}$

解题步骤 7

定义域为使表达式有定义的所有值 $m$ 。

集合符号：

${m | m \neq - 2, m \neq - \frac{5 n}{2}}$ ，对于任意整数 $n$

初级微积分 示例

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