初级微积分示例

$f (x) = 10 x^{\frac{1}{3}} - 6$ ; find $f^{- 1} (x)$

解题步骤 1

求 $f^{- 1} (x)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

将 $f (x) = 10 x^{\frac{1}{3}} - 6$ 写为等式。

$y = 10 x^{\frac{1}{3}} - 6$

解题步骤 1.2

交换变量。

$x = 10 y^{\frac{1}{3}} - 6$

解题步骤 1.3

求解 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.1

将方程重写为 $10 y^{\frac{1}{3}} - 6 = x$ 。

$10 y^{\frac{1}{3}} - 6 = x$

解题步骤 1.3.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.2.1

在等式两边都加上 $6$ 。

$10 y^{\frac{1}{3}} - x = 6$

解题步骤 1.3.2.2

在等式两边都加上 $x$ 。

$10 y^{\frac{1}{3}} = 6 + x$

解题步骤 1.3.3

将方程两边同时进行 $3$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${(10 y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(6 + x)}^{3}$

解题步骤 1.3.4

化简指数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.4.1

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.4.1.1

化简 ${(10 y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.4.1.1.1

对 $10 y^{\frac{1}{3}}$ 运用乘积法则。

$10^{3} {(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(6 + x)}^{3}$

解题步骤 1.3.4.1.1.2

对 $10$ 进行 $3$ 次方运算。

$1000 {(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(6 + x)}^{3}$

解题步骤 1.3.4.1.1.3

将 ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.4.1.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$1000 y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(6 + x)}^{3}$

解题步骤 1.3.4.1.1.3.2

约去 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.4.1.1.3.2.1

约去公因数。

$1000 y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(6 + x)}^{3}$

解题步骤 1.3.4.1.1.3.2.2

重写表达式。

$1000 y^{1} = {(6 + x)}^{3}$

解题步骤 1.3.4.1.1.4

化简。

$1000 y = {(6 + x)}^{3}$

解题步骤 1.3.4.2

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.4.2.1

化简 ${(6 + x)}^{3}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.4.2.1.1

使用二项式定理。

$1000 y = 6^{3} + 3 \cdot 6^{2} x + 3 \cdot 6 x^{2} + x^{3}$

解题步骤 1.3.4.2.1.2

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.4.2.1.2.1

对 $6$ 进行 $3$ 次方运算。

$1000 y = 216 + 3 \cdot 6^{2} x + 3 \cdot 6 x^{2} + x^{3}$

解题步骤 1.3.4.2.1.2.2

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$1000 y = 216 + 3 \cdot 36 x + 3 \cdot 6 x^{2} + x^{3}$

解题步骤 1.3.4.2.1.2.3

将 $3$ 乘以 $36$ 。

$1000 y = 216 + 108 x + 3 \cdot 6 x^{2} + x^{3}$

解题步骤 1.3.4.2.1.2.4

将 $3$ 乘以 $6$ 。

$1000 y = 216 + 108 x + 18 x^{2} + x^{3}$

解题步骤 1.3.5

将 $1000 y = 216 + 108 x + 18 x^{2} + x^{3}$ 中的每一项除以 $1000$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.5.1

将 $1000 y = 216 + 108 x + 18 x^{2} + x^{3}$ 中的每一项都除以 $1000$ 。

$\frac{1000 y}{1000} = \frac{216}{1000} + \frac{108 x}{1000} + \frac{18 x^{2}}{1000} + \frac{x^{3}}{1000}$

解题步骤 1.3.5.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.5.2.1

约去 $1000$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{1000 y}{1000} = \frac{216}{1000} + \frac{108 x}{1000} + \frac{18 x^{2}}{1000} + \frac{x^{3}}{1000}$

解题步骤 1.3.5.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{216}{1000} + \frac{108 x}{1000} + \frac{18 x^{2}}{1000} + \frac{x^{3}}{1000}$

解题步骤 1.3.5.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.5.3.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.5.3.1.1

约去 $216$ 和 $1000$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.5.3.1.1.1

从 $216$ 中分解出因数 $8$ 。

$y = \frac{8 (27)}{1000} + \frac{108 x}{1000} + \frac{18 x^{2}}{1000} + \frac{x^{3}}{1000}$

解题步骤 1.3.5.3.1.1.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.5.3.1.1.2.1

从 $1000$ 中分解出因数 $8$ 。

$y = \frac{8 \cdot 27}{8 \cdot 125} + \frac{108 x}{1000} + \frac{18 x^{2}}{1000} + \frac{x^{3}}{1000}$

解题步骤 1.3.5.3.1.1.2.2

约去公因数。

$y = \frac{8 \cdot 27}{8 \cdot 125} + \frac{108 x}{1000} + \frac{18 x^{2}}{1000} + \frac{x^{3}}{1000}$

解题步骤 1.3.5.3.1.1.2.3

重写表达式。

$y = \frac{27}{125} + \frac{108 x}{1000} + \frac{18 x^{2}}{1000} + \frac{x^{3}}{1000}$

解题步骤 1.3.5.3.1.2

约去 $108$ 和 $1000$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.5.3.1.2.1

从 $108 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{27}{125} + \frac{4 (27 x)}{1000} + \frac{18 x^{2}}{1000} + \frac{x^{3}}{1000}$

解题步骤 1.3.5.3.1.2.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.5.3.1.2.2.1

从 $1000$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{27}{125} + \frac{4 (27 x)}{4 (250)} + \frac{18 x^{2}}{1000} + \frac{x^{3}}{1000}$

解题步骤 1.3.5.3.1.2.2.2

约去公因数。

$y = \frac{27}{125} + \frac{4 (27 x)}{4 \cdot 250} + \frac{18 x^{2}}{1000} + \frac{x^{3}}{1000}$

解题步骤 1.3.5.3.1.2.2.3

重写表达式。

$y = \frac{27}{125} + \frac{27 x}{250} + \frac{18 x^{2}}{1000} + \frac{x^{3}}{1000}$

解题步骤 1.3.5.3.1.3

约去 $18$ 和 $1000$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.5.3.1.3.1

从 $18 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \frac{27}{125} + \frac{27 x}{250} + \frac{2 (9 x^{2})}{1000} + \frac{x^{3}}{1000}$

解题步骤 1.3.5.3.1.3.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.5.3.1.3.2.1

从 $1000$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \frac{27}{125} + \frac{27 x}{250} + \frac{2 (9 x^{2})}{2 (500)} + \frac{x^{3}}{1000}$

解题步骤 1.3.5.3.1.3.2.2

约去公因数。

$y = \frac{27}{125} + \frac{27 x}{250} + \frac{2 (9 x^{2})}{2 \cdot 500} + \frac{x^{3}}{1000}$

解题步骤 1.3.5.3.1.3.2.3

重写表达式。

$y = \frac{27}{125} + \frac{27 x}{250} + \frac{9 x^{2}}{500} + \frac{x^{3}}{1000}$

解题步骤 1.4

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = \frac{27}{125} + \frac{27 x}{250} + \frac{9 x^{2}}{500} + \frac{x^{3}}{1000}$

解题步骤 1.5

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{27}{125} + \frac{27 x}{250} + \frac{9 x^{2}}{500} + \frac{x^{3}}{1000}$ 是否为 $f (x) = 10 x^{\frac{1}{3}} - 6$ 的反函数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 1.5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 1.5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6)$ 。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27}{125} + \frac{27 (10 x^{\frac{1}{3}} - 6)}{250} + \frac{9 {(10 x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{2}}{500} + \frac{{(10 x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{3}}{1000}$

解题步骤 1.5.2.3

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.2.3.1

从 $27 (10 x^{\frac{1}{3}} - 6)$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27}{125} + \frac{2 (27 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3))}{250} + \frac{9 {(10 x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{2}}{500} + \frac{{(10 x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{3}}{1000}$

解题步骤 1.5.2.3.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.2.3.2.1

从 $250$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27}{125} + \frac{2 (27 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3))}{2 (125)} + \frac{9 {(10 x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{2}}{500} + \frac{{(10 x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{3}}{1000}$

解题步骤 1.5.2.3.2.2

约去公因数。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27}{125} + \frac{2 (27 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3))}{2 \cdot 125} + \frac{9 {(10 x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{2}}{500} + \frac{{(10 x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{3}}{1000}$

解题步骤 1.5.2.3.2.3

重写表达式。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27}{125} + \frac{27 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}{125} + \frac{9 {(10 x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{2}}{500} + \frac{{(10 x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{3}}{1000}$

解题步骤 1.5.2.3.3

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.2.3.3.1

从 $10 x^{\frac{1}{3}} - 6$ 中分解出因数 $2$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.2.3.3.1.1

从 $10 x^{\frac{1}{3}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27}{125} + \frac{27 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}{125} + \frac{9 {(2 (5 x^{\frac{1}{3}}) - 6)}^{2}}{500} + \frac{{(10 x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{3}}{1000}$

解题步骤 1.5.2.3.3.1.2

从 $- 6$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27}{125} + \frac{27 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}{125} + \frac{9 {(2 (5 x^{\frac{1}{3}}) + 2 (- 3))}^{2}}{500} + \frac{{(10 x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{3}}{1000}$

解题步骤 1.5.2.3.3.1.3

从 $2 (5 x^{\frac{1}{3}}) + 2 (- 3)$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27}{125} + \frac{27 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}{125} + \frac{9 {(2 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3))}^{2}}{500} + \frac{{(10 x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{3}}{1000}$

解题步骤 1.5.2.3.3.2

对 $2 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)$ 运用乘积法则。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27}{125} + \frac{27 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}{125} + \frac{9 \cdot (2^{2} {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2})}{500} + \frac{{(10 x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{3}}{1000}$

解题步骤 1.5.2.3.3.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27}{125} + \frac{27 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}{125} + \frac{9 \cdot (4 {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2})}{500} + \frac{{(10 x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{3}}{1000}$

解题步骤 1.5.2.3.3.4

将 $9$ 乘以 $4$ 。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27}{125} + \frac{27 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}{125} + \frac{36 {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2}}{500} + \frac{{(10 x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{3}}{1000}$

解题步骤 1.5.2.3.4

从 $36 {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27}{125} + \frac{27 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}{125} + \frac{4 (9 {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2})}{500} + \frac{{(10 x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{3}}{1000}$

解题步骤 1.5.2.3.5

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.2.3.5.1

从 $500$ 中分解出因数 $4$ 。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27}{125} + \frac{27 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}{125} + \frac{4 (9 {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2})}{4 (125)} + \frac{{(10 x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{3}}{1000}$

解题步骤 1.5.2.3.5.2

约去公因数。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27}{125} + \frac{27 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}{125} + \frac{4 (9 {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2})}{4 \cdot 125} + \frac{{(10 x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{3}}{1000}$

解题步骤 1.5.2.3.5.3

重写表达式。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27}{125} + \frac{27 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}{125} + \frac{9 {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2}}{125} + \frac{{(10 x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{3}}{1000}$

解题步骤 1.5.2.3.6

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.2.3.6.1

从 $10 x^{\frac{1}{3}} - 6$ 中分解出因数 $2$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.2.3.6.1.1

从 $10 x^{\frac{1}{3}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27}{125} + \frac{27 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}{125} + \frac{9 {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2}}{125} + \frac{{(2 (5 x^{\frac{1}{3}}) - 6)}^{3}}{1000}$

解题步骤 1.5.2.3.6.1.2

从 $- 6$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27}{125} + \frac{27 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}{125} + \frac{9 {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2}}{125} + \frac{{(2 (5 x^{\frac{1}{3}}) + 2 (- 3))}^{3}}{1000}$

解题步骤 1.5.2.3.6.1.3

从 $2 (5 x^{\frac{1}{3}}) + 2 (- 3)$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27}{125} + \frac{27 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}{125} + \frac{9 {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2}}{125} + \frac{{(2 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3))}^{3}}{1000}$

解题步骤 1.5.2.3.6.2

对 $2 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)$ 运用乘积法则。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27}{125} + \frac{27 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}{125} + \frac{9 {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2}}{125} + \frac{2^{3} {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{1000}$

解题步骤 1.5.2.3.6.3

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27}{125} + \frac{27 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}{125} + \frac{9 {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2}}{125} + \frac{8 {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{1000}$

解题步骤 1.5.2.3.7

从 $8 {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}$ 中分解出因数 $8$ 。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27}{125} + \frac{27 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}{125} + \frac{9 {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2}}{125} + \frac{8 ({(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3})}{1000}$

解题步骤 1.5.2.3.8

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.2.3.8.1

从 $1000$ 中分解出因数 $8$ 。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27}{125} + \frac{27 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}{125} + \frac{9 {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2}}{125} + \frac{8 {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{8 \cdot 125}$

解题步骤 1.5.2.3.8.2

约去公因数。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27}{125} + \frac{27 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}{125} + \frac{9 {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2}}{125} + \frac{8 {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{8 \cdot 125}$

解题步骤 1.5.2.3.8.3

重写表达式。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27}{125} + \frac{27 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}{125} + \frac{9 {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2}}{125} + \frac{{(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{125}$

解题步骤 1.5.2.4

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 27 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3) + 9 {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2} + {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{125}$

解题步骤 1.5.2.5

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.2.5.1

运用分配律。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 27 (5 x^{\frac{1}{3}}) + 27 \cdot - 3 + 9 {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2} + {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{125}$

解题步骤 1.5.2.5.2

将 $5$ 乘以 $27$ 。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} + 27 \cdot - 3 + 9 {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2} + {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{125}$

解题步骤 1.5.2.5.3

将 $27$ 乘以 $- 3$ 。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 9 {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2} + {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{125}$

解题步骤 1.5.2.5.4

将 ${(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2}$ 重写为 $(5 x^{\frac{1}{3}} - 3) (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)$ 。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 9 ((5 x^{\frac{1}{3}} - 3) (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)) + {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{125}$

解题步骤 1.5.2.5.5

使用 FOIL 方法展开 $(5 x^{\frac{1}{3}} - 3) (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.2.5.5.1

运用分配律。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 9 (5 x^{\frac{1}{3}} (5 x^{\frac{1}{3}} - 3) - 3 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)) + {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{125}$

解题步骤 1.5.2.5.5.2

运用分配律。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 9 (5 x^{\frac{1}{3}} (5 x^{\frac{1}{3}}) + 5 x^{\frac{1}{3}} \cdot - 3 - 3 (5 x^{\frac{1}{3}} - 3)) + {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{125}$

解题步骤 1.5.2.5.5.3

运用分配律。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 9 (5 x^{\frac{1}{3}} (5 x^{\frac{1}{3}}) + 5 x^{\frac{1}{3}} \cdot - 3 - 3 (5 x^{\frac{1}{3}}) - 3 \cdot - 3) + {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{125}$

解题步骤 1.5.2.5.6

化简并合并同类项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.2.5.6.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.2.5.6.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 9 (5 \cdot (5 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}) + 5 x^{\frac{1}{3}} \cdot - 3 - 3 (5 x^{\frac{1}{3}}) - 3 \cdot - 3) + {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{125}$

解题步骤 1.5.2.5.6.1.2

通过指数相加将 $x^{\frac{1}{3}}$ 乘以 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.2.5.6.1.2.1

移动 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 9 (5 \cdot (5 (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}})) + 5 x^{\frac{1}{3}} \cdot - 3 - 3 (5 x^{\frac{1}{3}}) - 3 \cdot - 3) + {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{125}$

解题步骤 1.5.2.5.6.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 9 (5 \cdot (5 x^{\frac{1}{3} + \frac{1}{3}}) + 5 x^{\frac{1}{3}} \cdot - 3 - 3 (5 x^{\frac{1}{3}}) - 3 \cdot - 3) + {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{125}$

解题步骤 1.5.2.5.6.1.2.3

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 9 (5 \cdot (5 x^{\frac{1 + 1}{3}}) + 5 x^{\frac{1}{3}} \cdot - 3 - 3 (5 x^{\frac{1}{3}}) - 3 \cdot - 3) + {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{125}$

解题步骤 1.5.2.5.6.1.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 9 (5 \cdot (5 x^{\frac{2}{3}}) + 5 x^{\frac{1}{3}} \cdot - 3 - 3 (5 x^{\frac{1}{3}}) - 3 \cdot - 3) + {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{125}$

解题步骤 1.5.2.5.6.1.3

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 9 (25 x^{\frac{2}{3}} + 5 x^{\frac{1}{3}} \cdot - 3 - 3 (5 x^{\frac{1}{3}}) - 3 \cdot - 3) + {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{125}$

解题步骤 1.5.2.5.6.1.4

将 $- 3$ 乘以 $5$ 。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 9 (25 x^{\frac{2}{3}} - 15 x^{\frac{1}{3}} - 3 (5 x^{\frac{1}{3}}) - 3 \cdot - 3) + {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{125}$

解题步骤 1.5.2.5.6.1.5

将 $5$ 乘以 $- 3$ 。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 9 (25 x^{\frac{2}{3}} - 15 x^{\frac{1}{3}} - 15 x^{\frac{1}{3}} - 3 \cdot - 3) + {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{125}$

解题步骤 1.5.2.5.6.1.6

将 $- 3$ 乘以 $- 3$ 。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 9 (25 x^{\frac{2}{3}} - 15 x^{\frac{1}{3}} - 15 x^{\frac{1}{3}} + 9) + {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{125}$

解题步骤 1.5.2.5.6.2

从 $- 15 x^{\frac{1}{3}}$ 中减去 $15 x^{\frac{1}{3}}$ 。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 9 (25 x^{\frac{2}{3}} - 30 x^{\frac{1}{3}} + 9) + {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{125}$

解题步骤 1.5.2.5.7

运用分配律。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 9 (25 x^{\frac{2}{3}}) + 9 (- 30 x^{\frac{1}{3}}) + 9 \cdot 9 + {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{125}$

解题步骤 1.5.2.5.8

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.2.5.8.1

将 $25$ 乘以 $9$ 。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 225 x^{\frac{2}{3}} + 9 (- 30 x^{\frac{1}{3}}) + 9 \cdot 9 + {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{125}$

解题步骤 1.5.2.5.8.2

将 $- 30$ 乘以 $9$ 。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 225 x^{\frac{2}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 9 \cdot 9 + {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{125}$

解题步骤 1.5.2.5.8.3

将 $9$ 乘以 $9$ 。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 225 x^{\frac{2}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 81 + {(5 x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3}}{125}$

解题步骤 1.5.2.5.9

使用二项式定理。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 225 x^{\frac{2}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 81 + {(5 x^{\frac{1}{3}})}^{3} + 3 {(5 x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 3 + 3 (5 x^{\frac{1}{3}}) {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}}{125}$

解题步骤 1.5.2.5.10

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.2.5.10.1

对 $5 x^{\frac{1}{3}}$ 运用乘积法则。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 225 x^{\frac{2}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 81 + 5^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} + 3 {(5 x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 3 + 3 (5 x^{\frac{1}{3}}) {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}}{125}$

解题步骤 1.5.2.5.10.2

对 $5$ 进行 $3$ 次方运算。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 225 x^{\frac{2}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 81 + 125 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} + 3 {(5 x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 3 + 3 (5 x^{\frac{1}{3}}) {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}}{125}$

解题步骤 1.5.2.5.10.3

将 ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.2.5.10.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 225 x^{\frac{2}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 81 + 125 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 3 {(5 x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 3 + 3 (5 x^{\frac{1}{3}}) {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}}{125}$

解题步骤 1.5.2.5.10.3.2

约去 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.2.5.10.3.2.1

约去公因数。

解题步骤 1.5.2.5.10.3.2.2

重写表达式。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 225 x^{\frac{2}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 81 + 125 x + 3 {(5 x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 3 + 3 (5 x^{\frac{1}{3}}) {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}}{125}$

解题步骤 1.5.2.5.10.4

化简。

解题步骤 1.5.2.5.10.5

对 $5 x^{\frac{1}{3}}$ 运用乘积法则。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 225 x^{\frac{2}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 81 + 125 x + 3 (5^{2} {(x^{\frac{1}{3}})}^{2}) \cdot - 3 + 3 (5 x^{\frac{1}{3}}) {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}}{125}$

解题步骤 1.5.2.5.10.6

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 225 x^{\frac{2}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 81 + 125 x + 3 (25 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2}) \cdot - 3 + 3 (5 x^{\frac{1}{3}}) {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}}{125}$

解题步骤 1.5.2.5.10.7

将 ${(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.2.5.10.7.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 225 x^{\frac{2}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 81 + 125 x + 3 (25 x^{\frac{1}{3} \cdot 2}) \cdot - 3 + 3 (5 x^{\frac{1}{3}}) {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}}{125}$

解题步骤 1.5.2.5.10.7.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $2$ 。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 225 x^{\frac{2}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 81 + 125 x + 3 (25 x^{\frac{2}{3}}) \cdot - 3 + 3 (5 x^{\frac{1}{3}}) {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}}{125}$

解题步骤 1.5.2.5.10.8

将 $25$ 乘以 $3$ 。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 225 x^{\frac{2}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 81 + 125 x + 75 x^{\frac{2}{3}} \cdot - 3 + 3 (5 x^{\frac{1}{3}}) {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}}{125}$

解题步骤 1.5.2.5.10.9

将 $- 3$ 乘以 $75$ 。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 225 x^{\frac{2}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 81 + 125 x - 225 x^{\frac{2}{3}} + 3 (5 x^{\frac{1}{3}}) {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}}{125}$

解题步骤 1.5.2.5.10.10

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 225 x^{\frac{2}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 81 + 125 x - 225 x^{\frac{2}{3}} + 15 x^{\frac{1}{3}} {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}}{125}$

解题步骤 1.5.2.5.10.11

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 225 x^{\frac{2}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 81 + 125 x - 225 x^{\frac{2}{3}} + 15 x^{\frac{1}{3}} \cdot 9 + {(- 3)}^{3}}{125}$

解题步骤 1.5.2.5.10.12

将 $9$ 乘以 $15$ 。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 225 x^{\frac{2}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 81 + 125 x - 225 x^{\frac{2}{3}} + 135 x^{\frac{1}{3}} + {(- 3)}^{3}}{125}$

解题步骤 1.5.2.5.10.13

对 $- 3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 225 x^{\frac{2}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 81 + 125 x - 225 x^{\frac{2}{3}} + 135 x^{\frac{1}{3}} - 27}{125}$

解题步骤 1.5.2.6

化简项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.2.6.1

合并 $27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 225 x^{\frac{2}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 81 + 125 x - 225 x^{\frac{2}{3}} + 135 x^{\frac{1}{3}} - 27$ 中相反的项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.2.6.1.1

将 $- 81$ 和 $81$ 相加。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} + 225 x^{\frac{2}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 0 + 125 x - 225 x^{\frac{2}{3}} + 135 x^{\frac{1}{3}} - 27}{125}$

解题步骤 1.5.2.6.1.2

将 $27 + 135 x^{\frac{1}{3}} + 225 x^{\frac{2}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}}$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} + 225 x^{\frac{2}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 125 x - 225 x^{\frac{2}{3}} + 135 x^{\frac{1}{3}} - 27}{125}$

解题步骤 1.5.2.6.1.3

从 $225 x^{\frac{2}{3}}$ 中减去 $225 x^{\frac{2}{3}}$ 。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 125 x + 0 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 27}{125}$

解题步骤 1.5.2.6.1.4

将 $27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 125 x$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{27 + 135 x^{\frac{1}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 125 x + 135 x^{\frac{1}{3}} - 27}{125}$

解题步骤 1.5.2.6.1.5

从 $27$ 中减去 $27$ 。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{135 x^{\frac{1}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 125 x + 135 x^{\frac{1}{3}} + 0}{125}$

解题步骤 1.5.2.6.1.6

将 $135 x^{\frac{1}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 125 x + 135 x^{\frac{1}{3}}$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{135 x^{\frac{1}{3}} - 270 x^{\frac{1}{3}} + 125 x + 135 x^{\frac{1}{3}}}{125}$

解题步骤 1.5.2.6.2

从 $135 x^{\frac{1}{3}}$ 中减去 $270 x^{\frac{1}{3}}$ 。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{- 135 x^{\frac{1}{3}} + 125 x + 135 x^{\frac{1}{3}}}{125}$

解题步骤 1.5.2.6.3

合并 $- 135 x^{\frac{1}{3}} + 125 x + 135 x^{\frac{1}{3}}$ 中相反的项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.2.6.3.1

将 $- 135 x^{\frac{1}{3}}$ 和 $135 x^{\frac{1}{3}}$ 相加。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{125 x + 0}{125}$

解题步骤 1.5.2.6.3.2

将 $125 x$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{125 x}{125}$

解题步骤 1.5.2.6.4

约去 $125$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.2.6.4.1

约去公因数。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = \frac{125 x}{125}$

解题步骤 1.5.2.6.4.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}} - 6) = x$

解题步骤 1.5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 1.5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\frac{27}{125} + \frac{27 x}{250} + \frac{9 x^{2}}{500} + \frac{x^{3}}{1000})$ 。

$f (\frac{27}{125} + \frac{27 x}{250} + \frac{9 x^{2}}{500} + \frac{x^{3}}{1000}) = 10 {(\frac{27}{125} + \frac{27 x}{250} + \frac{9 x^{2}}{500} + \frac{x^{3}}{1000})}^{\frac{1}{3}} - 6$

解题步骤 1.5.3.3

移动 $\frac{27}{125}$ 。

$f (\frac{27}{125} + \frac{27 x}{250} + \frac{9 x^{2}}{500} + \frac{x^{3}}{1000}) = 10 {(\frac{27 x}{250} + \frac{9 x^{2}}{500} + \frac{x^{3}}{1000} + \frac{27}{125})}^{\frac{1}{3}} - 6$

解题步骤 1.5.3.4

移动 $\frac{27 x}{250}$ 。

$f (\frac{27}{125} + \frac{27 x}{250} + \frac{9 x^{2}}{500} + \frac{x^{3}}{1000}) = 10 {(\frac{9 x^{2}}{500} + \frac{x^{3}}{1000} + \frac{27 x}{250} + \frac{27}{125})}^{\frac{1}{3}} - 6$

解题步骤 1.5.3.5

将 $\frac{9 x^{2}}{500}$ 和 $\frac{x^{3}}{1000}$ 重新排序。

$f (\frac{27}{125} + \frac{27 x}{250} + \frac{9 x^{2}}{500} + \frac{x^{3}}{1000}) = 10 {(\frac{x^{3}}{1000} + \frac{9 x^{2}}{500} + \frac{27 x}{250} + \frac{27}{125})}^{\frac{1}{3}} - 6$

解题步骤 1.5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{27}{125} + \frac{27 x}{250} + \frac{9 x^{2}}{500} + \frac{x^{3}}{1000}$ 为 $f (x) = 10 x^{\frac{1}{3}} - 6$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{27}{125} + \frac{27 x}{250} + \frac{9 x^{2}}{500} + \frac{x^{3}}{1000}$

解题步骤 2

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

移动 $\frac{27}{125}$ 。

$\frac{27 x}{250} + \frac{9 x^{2}}{500} + \frac{x^{3}}{1000} + \frac{27}{125}$

解题步骤 2.2

移动 $\frac{27 x}{250}$ 。

$\frac{9 x^{2}}{500} + \frac{x^{3}}{1000} + \frac{27 x}{250} + \frac{27}{125}$

解题步骤 2.3

将 $\frac{9 x^{2}}{500}$ 和 $\frac{x^{3}}{1000}$ 重新排序。

$\frac{x^{3}}{1000} + \frac{9 x^{2}}{500} + \frac{27 x}{250} + \frac{27}{125}$

初级微积分 示例

初级微积分示例