初级微积分示例

$f (x) = 3 \sqrt[3]{x} - 5$ ; find $f^{- 1} (x)$

解题步骤 1

将 $f (x) = 3 \sqrt[3]{x} - 5$ 写为等式。

$y = 3 \sqrt[3]{x} - 5$

解题步骤 2

交换变量。

$x = 3 \sqrt[3]{y} - 5$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $3 \sqrt[3]{y} - 5 = x$ 。

$3 \sqrt[3]{y} - 5 = x$

解题步骤 3.2

在等式两边都加上 $5$ 。

$3 \sqrt[3]{y} = x + 5$

解题步骤 3.3

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行立方。

${(3 \sqrt[3]{y})}^{3} = {(x + 5)}^{3}$

解题步骤 3.4

化简方程的两边。

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解题步骤 3.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{y}$ 重写成 $y^{\frac{1}{3}}$ 。

${(3 y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x + 5)}^{3}$

解题步骤 3.4.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.2.1

化简 ${(3 y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 。

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解题步骤 3.4.2.1.1

对 $3 y^{\frac{1}{3}}$ 运用乘积法则。

$3^{3} {(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x + 5)}^{3}$

解题步骤 3.4.2.1.2

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$27 {(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x + 5)}^{3}$

解题步骤 3.4.2.1.3

将 ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.4.2.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$27 y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x + 5)}^{3}$

解题步骤 3.4.2.1.3.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.1.3.2.1

约去公因数。

$27 y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x + 5)}^{3}$

解题步骤 3.4.2.1.3.2.2

重写表达式。

$27 y^{1} = {(x + 5)}^{3}$

解题步骤 3.4.2.1.4

化简。

$27 y = {(x + 5)}^{3}$

解题步骤 3.4.3

化简右边。

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解题步骤 3.4.3.1

化简 ${(x + 5)}^{3}$ 。

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解题步骤 3.4.3.1.1

使用二项式定理。

$27 y = x^{3} + 3 x^{2} \cdot 5 + 3 x \cdot 5^{2} + 5^{3}$

解题步骤 3.4.3.1.2

化简每一项。

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解题步骤 3.4.3.1.2.1

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$27 y = x^{3} + 15 x^{2} + 3 x \cdot 5^{2} + 5^{3}$

解题步骤 3.4.3.1.2.2

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$27 y = x^{3} + 15 x^{2} + 3 x \cdot 25 + 5^{3}$

解题步骤 3.4.3.1.2.3

将 $25$ 乘以 $3$ 。

$27 y = x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 5^{3}$

解题步骤 3.4.3.1.2.4

对 $5$ 进行 $3$ 次方运算。

$27 y = x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 125$

解题步骤 3.5

将 $27 y = x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 125$ 中的每一项除以 $27$ 并化简。

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解题步骤 3.5.1

将 $27 y = x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 125$ 中的每一项都除以 $27$ 。

$\frac{27 y}{27} = \frac{x^{3}}{27} + \frac{15 x^{2}}{27} + \frac{75 x}{27} + \frac{125}{27}$

解题步骤 3.5.2

化简左边。

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解题步骤 3.5.2.1

约去 $27$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{27 y}{27} = \frac{x^{3}}{27} + \frac{15 x^{2}}{27} + \frac{75 x}{27} + \frac{125}{27}$

解题步骤 3.5.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{15 x^{2}}{27} + \frac{75 x}{27} + \frac{125}{27}$

解题步骤 3.5.3

化简右边。

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解题步骤 3.5.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.5.3.1.1

约去 $15$ 和 $27$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.3.1.1.1

从 $15 x^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{3 (5 x^{2})}{27} + \frac{75 x}{27} + \frac{125}{27}$

解题步骤 3.5.3.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 3.5.3.1.1.2.1

从 $27$ 中分解出因数 $3$ 。

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{3 (5 x^{2})}{3 (9)} + \frac{75 x}{27} + \frac{125}{27}$

解题步骤 3.5.3.1.1.2.2

约去公因数。

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{3 (5 x^{2})}{3 \cdot 9} + \frac{75 x}{27} + \frac{125}{27}$

解题步骤 3.5.3.1.1.2.3

重写表达式。

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{75 x}{27} + \frac{125}{27}$

解题步骤 3.5.3.1.2

约去 $75$ 和 $27$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.3.1.2.1

从 $75 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{3 (25 x)}{27} + \frac{125}{27}$

解题步骤 3.5.3.1.2.2

约去公因数。

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解题步骤 3.5.3.1.2.2.1

从 $27$ 中分解出因数 $3$ 。

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{3 (25 x)}{3 (9)} + \frac{125}{27}$

解题步骤 3.5.3.1.2.2.2

约去公因数。

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{3 (25 x)}{3 \cdot 9} + \frac{125}{27}$

解题步骤 3.5.3.1.2.2.3

重写表达式。

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}$

解题步骤 4

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}$ 是否为 $f (x) = 3 \sqrt[3]{x} - 5$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5)$ 。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(3 \sqrt[3]{x} - 5)}^{3}}{27} + \frac{5 {(3 \sqrt[3]{x} - 5)}^{2}}{9} + \frac{25 (3 \sqrt[3]{x} - 5)}{9} + \frac{125}{27}$

解题步骤 5.2.3

化简项。

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解题步骤 5.2.3.1

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(3 \sqrt[3]{x} - 5)}^{3}}{27} + \frac{125}{27} + \frac{5 {(3 \sqrt[3]{x} - 5)}^{2} + 25 (3 \sqrt[3]{x} - 5)}{9}$

解题步骤 5.2.3.2

化简每一项。

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解题步骤 5.2.3.2.1

将 ${(3 \sqrt[3]{x} - 5)}^{2}$ 重写为 $(3 \sqrt[3]{x} - 5) (3 \sqrt[3]{x} - 5)$ 。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(3 \sqrt[3]{x} - 5)}^{3}}{27} + \frac{125}{27} + \frac{5 ((3 \sqrt[3]{x} - 5) (3 \sqrt[3]{x} - 5)) + 25 (3 \sqrt[3]{x} - 5)}{9}$

解题步骤 5.2.3.2.2

使用 FOIL 方法展开 $(3 \sqrt[3]{x} - 5) (3 \sqrt[3]{x} - 5)$ 。

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解题步骤 5.2.3.2.2.1

运用分配律。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(3 \sqrt[3]{x} - 5)}^{3}}{27} + \frac{125}{27} + \frac{5 (3 \sqrt[3]{x} (3 \sqrt[3]{x} - 5) - 5 (3 \sqrt[3]{x} - 5)) + 25 (3 \sqrt[3]{x} - 5)}{9}$

解题步骤 5.2.3.2.2.2

运用分配律。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(3 \sqrt[3]{x} - 5)}^{3}}{27} + \frac{125}{27} + \frac{5 (3 \sqrt[3]{x} (3 \sqrt[3]{x}) + 3 \sqrt[3]{x} \cdot - 5 - 5 (3 \sqrt[3]{x} - 5)) + 25 (3 \sqrt[3]{x} - 5)}{9}$

解题步骤 5.2.3.2.2.3

运用分配律。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(3 \sqrt[3]{x} - 5)}^{3}}{27} + \frac{125}{27} + \frac{5 (3 \sqrt[3]{x} (3 \sqrt[3]{x}) + 3 \sqrt[3]{x} \cdot - 5 - 5 (3 \sqrt[3]{x}) - 5 \cdot - 5) + 25 (3 \sqrt[3]{x} - 5)}{9}$

解题步骤 5.2.3.2.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.2.3.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.3.2.3.1.1

乘以 $3 \sqrt[3]{x} (3 \sqrt[3]{x})$ 。

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解题步骤 5.2.3.2.3.1.1.1

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(3 \sqrt[3]{x} - 5)}^{3}}{27} + \frac{125}{27} + \frac{5 (9 \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x} + 3 \sqrt[3]{x} \cdot - 5 - 5 (3 \sqrt[3]{x}) - 5 \cdot - 5) + 25 (3 \sqrt[3]{x} - 5)}{9}$

解题步骤 5.2.3.2.3.1.1.2

对 $\sqrt[3]{x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(3 \sqrt[3]{x} - 5)}^{3}}{27} + \frac{125}{27} + \frac{5 (9 (\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x}) + 3 \sqrt[3]{x} \cdot - 5 - 5 (3 \sqrt[3]{x}) - 5 \cdot - 5) + 25 (3 \sqrt[3]{x} - 5)}{9}$

解题步骤 5.2.3.2.3.1.1.3

对 $\sqrt[3]{x}$ 进行 $1$ 次方运算。

解题步骤 5.2.3.2.3.1.1.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(3 \sqrt[3]{x} - 5)}^{3}}{27} + \frac{125}{27} + \frac{5 (9 {\sqrt[3]{x}}^{1 + 1} + 3 \sqrt[3]{x} \cdot - 5 - 5 (3 \sqrt[3]{x}) - 5 \cdot - 5) + 25 (3 \sqrt[3]{x} - 5)}{9}$

解题步骤 5.2.3.2.3.1.1.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(3 \sqrt[3]{x} - 5)}^{3}}{27} + \frac{125}{27} + \frac{5 (9 {\sqrt[3]{x}}^{2} + 3 \sqrt[3]{x} \cdot - 5 - 5 (3 \sqrt[3]{x}) - 5 \cdot - 5) + 25 (3 \sqrt[3]{x} - 5)}{9}$

解题步骤 5.2.3.2.3.1.2

将 ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ 重写为 $\sqrt[3]{x^{2}}$ 。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(3 \sqrt[3]{x} - 5)}^{3}}{27} + \frac{125}{27} + \frac{5 (9 \sqrt[3]{x^{2}} + 3 \sqrt[3]{x} \cdot - 5 - 5 (3 \sqrt[3]{x}) - 5 \cdot - 5) + 25 (3 \sqrt[3]{x} - 5)}{9}$

解题步骤 5.2.3.2.3.1.3

将 $- 5$ 乘以 $3$ 。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(3 \sqrt[3]{x} - 5)}^{3}}{27} + \frac{125}{27} + \frac{5 (9 \sqrt[3]{x^{2}} - 15 \sqrt[3]{x} - 5 (3 \sqrt[3]{x}) - 5 \cdot - 5) + 25 (3 \sqrt[3]{x} - 5)}{9}$

解题步骤 5.2.3.2.3.1.4

将 $3$ 乘以 $- 5$ 。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(3 \sqrt[3]{x} - 5)}^{3}}{27} + \frac{125}{27} + \frac{5 (9 \sqrt[3]{x^{2}} - 15 \sqrt[3]{x} - 15 \sqrt[3]{x} - 5 \cdot - 5) + 25 (3 \sqrt[3]{x} - 5)}{9}$

解题步骤 5.2.3.2.3.1.5

将 $- 5$ 乘以 $- 5$ 。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(3 \sqrt[3]{x} - 5)}^{3}}{27} + \frac{125}{27} + \frac{5 (9 \sqrt[3]{x^{2}} - 15 \sqrt[3]{x} - 15 \sqrt[3]{x} + 25) + 25 (3 \sqrt[3]{x} - 5)}{9}$

解题步骤 5.2.3.2.3.2

从 $- 15 \sqrt[3]{x}$ 中减去 $15 \sqrt[3]{x}$ 。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(3 \sqrt[3]{x} - 5)}^{3}}{27} + \frac{125}{27} + \frac{5 (9 \sqrt[3]{x^{2}} - 30 \sqrt[3]{x} + 25) + 25 (3 \sqrt[3]{x} - 5)}{9}$

解题步骤 5.2.3.2.4

运用分配律。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(3 \sqrt[3]{x} - 5)}^{3}}{27} + \frac{125}{27} + \frac{5 (9 \sqrt[3]{x^{2}}) + 5 (- 30 \sqrt[3]{x}) + 5 \cdot 25 + 25 (3 \sqrt[3]{x} - 5)}{9}$

解题步骤 5.2.3.2.5

化简。

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解题步骤 5.2.3.2.5.1

将 $9$ 乘以 $5$ 。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(3 \sqrt[3]{x} - 5)}^{3}}{27} + \frac{125}{27} + \frac{45 \sqrt[3]{x^{2}} + 5 (- 30 \sqrt[3]{x}) + 5 \cdot 25 + 25 (3 \sqrt[3]{x} - 5)}{9}$

解题步骤 5.2.3.2.5.2

将 $- 30$ 乘以 $5$ 。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(3 \sqrt[3]{x} - 5)}^{3}}{27} + \frac{125}{27} + \frac{45 \sqrt[3]{x^{2}} - 150 \sqrt[3]{x} + 5 \cdot 25 + 25 (3 \sqrt[3]{x} - 5)}{9}$

解题步骤 5.2.3.2.5.3

将 $5$ 乘以 $25$ 。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(3 \sqrt[3]{x} - 5)}^{3}}{27} + \frac{125}{27} + \frac{45 \sqrt[3]{x^{2}} - 150 \sqrt[3]{x} + 125 + 25 (3 \sqrt[3]{x} - 5)}{9}$

解题步骤 5.2.3.2.6

运用分配律。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(3 \sqrt[3]{x} - 5)}^{3}}{27} + \frac{125}{27} + \frac{45 \sqrt[3]{x^{2}} - 150 \sqrt[3]{x} + 125 + 25 (3 \sqrt[3]{x}) + 25 \cdot - 5}{9}$

解题步骤 5.2.3.2.7

将 $3$ 乘以 $25$ 。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(3 \sqrt[3]{x} - 5)}^{3}}{27} + \frac{125}{27} + \frac{45 \sqrt[3]{x^{2}} - 150 \sqrt[3]{x} + 125 + 75 \sqrt[3]{x} + 25 \cdot - 5}{9}$

解题步骤 5.2.3.2.8

将 $25$ 乘以 $- 5$ 。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(3 \sqrt[3]{x} - 5)}^{3}}{27} + \frac{125}{27} + \frac{45 \sqrt[3]{x^{2}} - 150 \sqrt[3]{x} + 125 + 75 \sqrt[3]{x} - 125}{9}$

解题步骤 5.2.3.3

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 5.2.3.3.1

合并 $45 \sqrt[3]{x^{2}} - 150 \sqrt[3]{x} + 125 + 75 \sqrt[3]{x} - 125$ 中相反的项。

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解题步骤 5.2.3.3.1.1

从 $125$ 中减去 $125$ 。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(3 \sqrt[3]{x} - 5)}^{3}}{27} + \frac{125}{27} + \frac{45 \sqrt[3]{x^{2}} - 150 \sqrt[3]{x} + 0 + 75 \sqrt[3]{x}}{9}$

解题步骤 5.2.3.3.1.2

将 $45 \sqrt[3]{x^{2}} - 150 \sqrt[3]{x}$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(3 \sqrt[3]{x} - 5)}^{3}}{27} + \frac{125}{27} + \frac{45 \sqrt[3]{x^{2}} - 150 \sqrt[3]{x} + 75 \sqrt[3]{x}}{9}$

解题步骤 5.2.3.3.2

将 $- 150 \sqrt[3]{x}$ 和 $75 \sqrt[3]{x}$ 相加。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(3 \sqrt[3]{x} - 5)}^{3}}{27} + \frac{125}{27} + \frac{45 \sqrt[3]{x^{2}} - 75 \sqrt[3]{x}}{9}$

解题步骤 5.2.3.4

化简每一项。

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解题步骤 5.2.3.4.1

约去 $45 \sqrt[3]{x^{2}} - 75 \sqrt[3]{x}$ 和 $9$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.4.1.1

从 $45 \sqrt[3]{x^{2}}$ 中分解出因数 $3$ 。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(3 \sqrt[3]{x} - 5)}^{3}}{27} + \frac{125}{27} + \frac{3 (15 \sqrt[3]{x^{2}}) - 75 \sqrt[3]{x}}{9}$

解题步骤 5.2.3.4.1.2

从 $- 75 \sqrt[3]{x}$ 中分解出因数 $3$ 。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(3 \sqrt[3]{x} - 5)}^{3}}{27} + \frac{125}{27} + \frac{3 (15 \sqrt[3]{x^{2}}) + 3 (- 25 \sqrt[3]{x})}{9}$

解题步骤 5.2.3.4.1.3

从 $3 (15 \sqrt[3]{x^{2}}) + 3 (- 25 \sqrt[3]{x})$ 中分解出因数 $3$ 。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(3 \sqrt[3]{x} - 5)}^{3}}{27} + \frac{125}{27} + \frac{3 (15 \sqrt[3]{x^{2}} - 25 \sqrt[3]{x})}{9}$

解题步骤 5.2.3.4.1.4

约去公因数。

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解题步骤 5.2.3.4.1.4.1

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(3 \sqrt[3]{x} - 5)}^{3}}{27} + \frac{125}{27} + \frac{3 (15 \sqrt[3]{x^{2}} - 25 \sqrt[3]{x})}{3 (3)}$

解题步骤 5.2.3.4.1.4.2

约去公因数。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(3 \sqrt[3]{x} - 5)}^{3}}{27} + \frac{125}{27} + \frac{3 (15 \sqrt[3]{x^{2}} - 25 \sqrt[3]{x})}{3 \cdot 3}$

解题步骤 5.2.3.4.1.4.3

重写表达式。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(3 \sqrt[3]{x} - 5)}^{3}}{27} + \frac{125}{27} + \frac{15 \sqrt[3]{x^{2}} - 25 \sqrt[3]{x}}{3}$

解题步骤 5.2.3.4.2

化简分子。

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解题步骤 5.2.3.4.2.1

从 $15 \sqrt[3]{x^{2}} - 25 \sqrt[3]{x}$ 中分解出因数 $5$ 。

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解题步骤 5.2.3.4.2.1.1

从 $15 \sqrt[3]{x^{2}}$ 中分解出因数 $5$ 。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(3 \sqrt[3]{x} - 5)}^{3}}{27} + \frac{125}{27} + \frac{5 (3 \sqrt[3]{x^{2}}) - 25 \sqrt[3]{x}}{3}$

解题步骤 5.2.3.4.2.1.2

从 $- 25 \sqrt[3]{x}$ 中分解出因数 $5$ 。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(3 \sqrt[3]{x} - 5)}^{3}}{27} + \frac{125}{27} + \frac{5 (3 \sqrt[3]{x^{2}}) + 5 (- 5 \sqrt[3]{x})}{3}$

解题步骤 5.2.3.4.2.1.3

从 $5 (3 \sqrt[3]{x^{2}}) + 5 (- 5 \sqrt[3]{x})$ 中分解出因数 $5$ 。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(3 \sqrt[3]{x} - 5)}^{3}}{27} + \frac{125}{27} + \frac{5 (3 \sqrt[3]{x^{2}} - 5 \sqrt[3]{x})}{3}$

解题步骤 5.2.3.4.2.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x^{2}}$ 重写成 $x^{\frac{2}{3}}$ 。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(3 \sqrt[3]{x} - 5)}^{3}}{27} + \frac{125}{27} + \frac{5 (3 x^{\frac{2}{3}} - 5 \sqrt[3]{x})}{3}$

解题步骤 5.2.3.4.2.3

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(3 \sqrt[3]{x} - 5)}^{3}}{27} + \frac{125}{27} + \frac{5 (3 x^{\frac{2}{3}} - 5 x^{\frac{1}{3}})}{3}$

解题步骤 5.2.3.4.2.4

从 $3 x^{\frac{2}{3}} - 5 x^{\frac{1}{3}}$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

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解题步骤 5.2.3.4.2.4.1

从 $3 x^{\frac{2}{3}}$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(3 \sqrt[3]{x} - 5)}^{3}}{27} + \frac{125}{27} + \frac{5 (x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}}) - 5 x^{\frac{1}{3}})}{3}$

解题步骤 5.2.3.4.2.4.2

从 $- 5 x^{\frac{1}{3}}$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(3 \sqrt[3]{x} - 5)}^{3}}{27} + \frac{125}{27} + \frac{5 (x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}}) + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 5)}{3}$

解题步骤 5.2.3.4.2.4.3

从 $x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}}) + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 5$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(3 \sqrt[3]{x} - 5)}^{3}}{27} + \frac{125}{27} + \frac{5 (x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5))}{3}$

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(3 \sqrt[3]{x} - 5)}^{3}}{27} + \frac{125}{27} + \frac{5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

解题步骤 5.2.3.5

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(3 \sqrt[3]{x} - 5)}^{3} + 125}{27} + \frac{5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

解题步骤 5.2.3.6

化简每一项。

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解题步骤 5.2.3.6.1

化简分子。

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解题步骤 5.2.3.6.1.1

将 $125$ 重写为 $5^{3}$ 。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(3 \sqrt[3]{x} - 5)}^{3} + 5^{3}}{27} + \frac{5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

解题步骤 5.2.3.6.1.2

因为两项都是完全立方数，所以使用立方和公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = 3 \sqrt[3]{x} - 5$ 和 $b = 5$ 。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{(3 \sqrt[3]{x} - 5 + 5) ({(3 \sqrt[3]{x} - 5)}^{2} - (3 \sqrt[3]{x} - 5) \cdot 5 + 5^{2})}{27} + \frac{5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

解题步骤 5.2.3.6.1.3

化简。

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解题步骤 5.2.3.6.1.3.1

将 $- 5$ 和 $5$ 相加。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{(3 \sqrt[3]{x} + 0) ({(3 \sqrt[3]{x} - 5)}^{2} - (3 \sqrt[3]{x} - 5) \cdot 5 + 5^{2})}{27} + \frac{5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

解题步骤 5.2.3.6.1.3.2

将 $3 \sqrt[3]{x}$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{3 \sqrt[3]{x} ({(3 \sqrt[3]{x} - 5)}^{2} - (3 \sqrt[3]{x} - 5) \cdot 5 + 5^{2})}{27} + \frac{5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

解题步骤 5.2.3.6.1.3.3

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{3 \sqrt[3]{x} ({(3 \sqrt[3]{x} - 5)}^{2} - 5 (3 \sqrt[3]{x} - 5) + 5^{2})}{27} + \frac{5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

解题步骤 5.2.3.6.1.4

化简每一项。

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解题步骤 5.2.3.6.1.4.1

将 ${(3 \sqrt[3]{x} - 5)}^{2}$ 重写为 $(3 \sqrt[3]{x} - 5) (3 \sqrt[3]{x} - 5)$ 。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{3 \sqrt[3]{x} ((3 \sqrt[3]{x} - 5) (3 \sqrt[3]{x} - 5) - 5 (3 \sqrt[3]{x} - 5) + 5^{2})}{27} + \frac{5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

解题步骤 5.2.3.6.1.4.2

使用 FOIL 方法展开 $(3 \sqrt[3]{x} - 5) (3 \sqrt[3]{x} - 5)$ 。

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解题步骤 5.2.3.6.1.4.2.1

运用分配律。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{3 \sqrt[3]{x} (3 \sqrt[3]{x} (3 \sqrt[3]{x} - 5) - 5 (3 \sqrt[3]{x} - 5) - 5 (3 \sqrt[3]{x} - 5) + 5^{2})}{27} + \frac{5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

解题步骤 5.2.3.6.1.4.2.2

运用分配律。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{3 \sqrt[3]{x} (3 \sqrt[3]{x} (3 \sqrt[3]{x}) + 3 \sqrt[3]{x} \cdot - 5 - 5 (3 \sqrt[3]{x} - 5) - 5 (3 \sqrt[3]{x} - 5) + 5^{2})}{27} + \frac{5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

解题步骤 5.2.3.6.1.4.2.3

运用分配律。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{3 \sqrt[3]{x} (3 \sqrt[3]{x} (3 \sqrt[3]{x}) + 3 \sqrt[3]{x} \cdot - 5 - 5 (3 \sqrt[3]{x}) - 5 \cdot - 5 - 5 (3 \sqrt[3]{x} - 5) + 5^{2})}{27} + \frac{5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

解题步骤 5.2.3.6.1.4.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.2.3.6.1.4.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.3.6.1.4.3.1.1

乘以 $3 \sqrt[3]{x} (3 \sqrt[3]{x})$ 。

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解题步骤 5.2.3.6.1.4.3.1.1.1

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{3 \sqrt[3]{x} (9 \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x} + 3 \sqrt[3]{x} \cdot - 5 - 5 (3 \sqrt[3]{x}) - 5 \cdot - 5 - 5 (3 \sqrt[3]{x} - 5) + 5^{2})}{27} + \frac{5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

解题步骤 5.2.3.6.1.4.3.1.1.2

对 $\sqrt[3]{x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{3 \sqrt[3]{x} (9 (\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x}) + 3 \sqrt[3]{x} \cdot - 5 - 5 (3 \sqrt[3]{x}) - 5 \cdot - 5 - 5 (3 \sqrt[3]{x} - 5) + 5^{2})}{27} + \frac{5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

解题步骤 5.2.3.6.1.4.3.1.1.3

对 $\sqrt[3]{x}$ 进行 $1$ 次方运算。

解题步骤 5.2.3.6.1.4.3.1.1.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{3 \sqrt[3]{x} (9 {\sqrt[3]{x}}^{1 + 1} + 3 \sqrt[3]{x} \cdot - 5 - 5 (3 \sqrt[3]{x}) - 5 \cdot - 5 - 5 (3 \sqrt[3]{x} - 5) + 5^{2})}{27} + \frac{5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

解题步骤 5.2.3.6.1.4.3.1.1.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{3 \sqrt[3]{x} (9 {\sqrt[3]{x}}^{2} + 3 \sqrt[3]{x} \cdot - 5 - 5 (3 \sqrt[3]{x}) - 5 \cdot - 5 - 5 (3 \sqrt[3]{x} - 5) + 5^{2})}{27} + \frac{5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

解题步骤 5.2.3.6.1.4.3.1.2

将 ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ 重写为 $\sqrt[3]{x^{2}}$ 。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{3 \sqrt[3]{x} (9 \sqrt[3]{x^{2}} + 3 \sqrt[3]{x} \cdot - 5 - 5 (3 \sqrt[3]{x}) - 5 \cdot - 5 - 5 (3 \sqrt[3]{x} - 5) + 5^{2})}{27} + \frac{5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

解题步骤 5.2.3.6.1.4.3.1.3

将 $- 5$ 乘以 $3$ 。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{3 \sqrt[3]{x} (9 \sqrt[3]{x^{2}} - 15 \sqrt[3]{x} - 5 (3 \sqrt[3]{x}) - 5 \cdot - 5 - 5 (3 \sqrt[3]{x} - 5) + 5^{2})}{27} + \frac{5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

解题步骤 5.2.3.6.1.4.3.1.4

将 $3$ 乘以 $- 5$ 。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{3 \sqrt[3]{x} (9 \sqrt[3]{x^{2}} - 15 \sqrt[3]{x} - 15 \sqrt[3]{x} - 5 \cdot - 5 - 5 (3 \sqrt[3]{x} - 5) + 5^{2})}{27} + \frac{5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

解题步骤 5.2.3.6.1.4.3.1.5

将 $- 5$ 乘以 $- 5$ 。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{3 \sqrt[3]{x} (9 \sqrt[3]{x^{2}} - 15 \sqrt[3]{x} - 15 \sqrt[3]{x} + 25 - 5 (3 \sqrt[3]{x} - 5) + 5^{2})}{27} + \frac{5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

解题步骤 5.2.3.6.1.4.3.2

从 $- 15 \sqrt[3]{x}$ 中减去 $15 \sqrt[3]{x}$ 。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{3 \sqrt[3]{x} (9 \sqrt[3]{x^{2}} - 30 \sqrt[3]{x} + 25 - 5 (3 \sqrt[3]{x} - 5) + 5^{2})}{27} + \frac{5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

解题步骤 5.2.3.6.1.4.4

运用分配律。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{3 \sqrt[3]{x} (9 \sqrt[3]{x^{2}} - 30 \sqrt[3]{x} + 25 - 5 (3 \sqrt[3]{x}) - 5 \cdot - 5 + 5^{2})}{27} + \frac{5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

解题步骤 5.2.3.6.1.4.5

将 $3$ 乘以 $- 5$ 。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{3 \sqrt[3]{x} (9 \sqrt[3]{x^{2}} - 30 \sqrt[3]{x} + 25 - 15 \sqrt[3]{x} - 5 \cdot - 5 + 5^{2})}{27} + \frac{5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

解题步骤 5.2.3.6.1.4.6

将 $- 5$ 乘以 $- 5$ 。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{3 \sqrt[3]{x} (9 \sqrt[3]{x^{2}} - 30 \sqrt[3]{x} + 25 - 15 \sqrt[3]{x} + 25 + 5^{2})}{27} + \frac{5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

解题步骤 5.2.3.6.1.4.7

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{3 \sqrt[3]{x} (9 \sqrt[3]{x^{2}} - 30 \sqrt[3]{x} + 25 - 15 \sqrt[3]{x} + 25 + 25)}{27} + \frac{5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

解题步骤 5.2.3.6.1.5

从 $- 30 \sqrt[3]{x}$ 中减去 $15 \sqrt[3]{x}$ 。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{3 \sqrt[3]{x} (9 \sqrt[3]{x^{2}} + 25 - 45 \sqrt[3]{x} + 25 + 25)}{27} + \frac{5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

解题步骤 5.2.3.6.1.6

将 $25$ 和 $25$ 相加。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{3 \sqrt[3]{x} (9 \sqrt[3]{x^{2}} + 50 - 45 \sqrt[3]{x} + 25)}{27} + \frac{5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

解题步骤 5.2.3.6.1.7

将 $50$ 和 $25$ 相加。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{3 \sqrt[3]{x} (9 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 - 45 \sqrt[3]{x})}{27} + \frac{5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

解题步骤 5.2.3.6.1.8

从 $9 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 - 45 \sqrt[3]{x}$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 5.2.3.6.1.8.1

从 $9 \sqrt[3]{x^{2}}$ 中分解出因数 $3$ 。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{3 \sqrt[3]{x} (3 (3 \sqrt[3]{x^{2}}) + 75 - 45 \sqrt[3]{x})}{27} + \frac{5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

解题步骤 5.2.3.6.1.8.2

从 $75$ 中分解出因数 $3$ 。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{3 \sqrt[3]{x} (3 (3 \sqrt[3]{x^{2}}) + 3 (25) - 45 \sqrt[3]{x})}{27} + \frac{5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

解题步骤 5.2.3.6.1.8.3

从 $- 45 \sqrt[3]{x}$ 中分解出因数 $3$ 。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{3 \sqrt[3]{x} (3 (3 \sqrt[3]{x^{2}}) + 3 (25) + 3 (- 15 \sqrt[3]{x}))}{27} + \frac{5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

解题步骤 5.2.3.6.1.8.4

从 $3 (3 \sqrt[3]{x^{2}}) + 3 (25)$ 中分解出因数 $3$ 。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{3 \sqrt[3]{x} (3 (3 \sqrt[3]{x^{2}} + 25) + 3 (- 15 \sqrt[3]{x}))}{27} + \frac{5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

解题步骤 5.2.3.6.1.8.5

从 $3 (3 \sqrt[3]{x^{2}} + 25) + 3 (- 15 \sqrt[3]{x})$ 中分解出因数 $3$ 。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{3 \sqrt[3]{x} (3 (3 \sqrt[3]{x^{2}} + 25 - 15 \sqrt[3]{x}))}{27} + \frac{5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{3 \sqrt[3]{x} \cdot (3 (3 \sqrt[3]{x^{2}} + 25 - 15 \sqrt[3]{x}))}{27} + \frac{5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

解题步骤 5.2.3.6.1.9

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{9 \sqrt[3]{x} (3 \sqrt[3]{x^{2}} + 25 - 15 \sqrt[3]{x})}{27} + \frac{5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

解题步骤 5.2.3.6.2

约去 $9$ 和 $27$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.6.2.1

从 $9 \sqrt[3]{x} (3 \sqrt[3]{x^{2}} + 25 - 15 \sqrt[3]{x})$ 中分解出因数 $9$ 。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{9 (\sqrt[3]{x} (3 \sqrt[3]{x^{2}} + 25 - 15 \sqrt[3]{x}))}{27} + \frac{5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

解题步骤 5.2.3.6.2.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.3.6.2.2.1

从 $27$ 中分解出因数 $9$ 。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{9 (\sqrt[3]{x} (3 \sqrt[3]{x^{2}} + 25 - 15 \sqrt[3]{x}))}{9 \cdot 3} + \frac{5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

解题步骤 5.2.3.6.2.2.2

约去公因数。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{9 (\sqrt[3]{x} (3 \sqrt[3]{x^{2}} + 25 - 15 \sqrt[3]{x}))}{9 \cdot 3} + \frac{5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

解题步骤 5.2.3.6.2.2.3

重写表达式。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{\sqrt[3]{x} (3 \sqrt[3]{x^{2}} + 25 - 15 \sqrt[3]{x})}{3} + \frac{5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

解题步骤 5.2.3.7

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{\sqrt[3]{x} (3 \sqrt[3]{x^{2}} + 25 - 15 \sqrt[3]{x}) + 5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

解题步骤 5.2.3.8

化简每一项。

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解题步骤 5.2.3.8.1

运用分配律。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{\sqrt[3]{x} (3 \sqrt[3]{x^{2}}) + \sqrt[3]{x} \cdot 25 + \sqrt[3]{x} (- 15 \sqrt[3]{x}) + 5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

解题步骤 5.2.3.8.2

化简。

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解题步骤 5.2.3.8.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{3 \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot 25 + \sqrt[3]{x} (- 15 \sqrt[3]{x}) + 5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

解题步骤 5.2.3.8.2.2

将 $25$ 移到 $\sqrt[3]{x}$ 的左侧。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{3 \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x^{2}} + 25 \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} (- 15 \sqrt[3]{x}) + 5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

解题步骤 5.2.3.8.2.3

使用乘法的交换性质重写。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{3 \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x^{2}} + 25 \cdot \sqrt[3]{x} - 15 \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x} + 5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

解题步骤 5.2.3.8.3

化简每一项。

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解题步骤 5.2.3.8.3.1

乘以 $3 \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x^{2}}$ 。

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解题步骤 5.2.3.8.3.1.1

使用根数乘积法则进行合并。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{3 \sqrt[3]{x^{2} x} + 25 \cdot \sqrt[3]{x} - 15 \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x} + 5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

解题步骤 5.2.3.8.3.1.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.2.3.8.3.1.2.1

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.2.3.8.3.1.2.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{3 \sqrt[3]{x^{2} x} + 25 \cdot \sqrt[3]{x} - 15 \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x} + 5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

解题步骤 5.2.3.8.3.1.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{3 \sqrt[3]{x^{2 + 1}} + 25 \cdot \sqrt[3]{x} - 15 \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x} + 5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

解题步骤 5.2.3.8.3.1.2.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{3 \sqrt[3]{x^{3}} + 25 \cdot \sqrt[3]{x} - 15 \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x} + 5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

解题步骤 5.2.3.8.3.2

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{3 x + 25 \cdot \sqrt[3]{x} - 15 \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x} + 5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

解题步骤 5.2.3.8.3.3

乘以 $- 15 \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x}$ 。

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解题步骤 5.2.3.8.3.3.1

对 $\sqrt[3]{x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{3 x + 25 \sqrt[3]{x} - 15 (\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x}) + 5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

解题步骤 5.2.3.8.3.3.2

对 $\sqrt[3]{x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{3 x + 25 \sqrt[3]{x} - 15 (\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x}) + 5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

解题步骤 5.2.3.8.3.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{3 x + 25 \sqrt[3]{x} - 15 {\sqrt[3]{x}}^{1 + 1} + 5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

解题步骤 5.2.3.8.3.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{3 x + 25 \sqrt[3]{x} - 15 {\sqrt[3]{x}}^{2} + 5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

解题步骤 5.2.3.8.3.4

将 ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ 重写为 $\sqrt[3]{x^{2}}$ 。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{3 x + 25 \sqrt[3]{x} - 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

解题步骤 5.2.4

化简分子。

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解题步骤 5.2.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{3 x + 25 x^{\frac{1}{3}} - 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

解题步骤 5.2.4.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x^{2}}$ 重写成 $x^{\frac{2}{3}}$ 。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{3 x + 25 x^{\frac{1}{3}} - 15 x^{\frac{2}{3}} + 5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

解题步骤 5.2.4.3

从 $3 x + 25 x^{\frac{1}{3}} - 15 x^{\frac{2}{3}} + 5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

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解题步骤 5.2.4.3.1

从 $3 x$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}}) + 25 x^{\frac{1}{3}} - 15 x^{\frac{2}{3}} + 5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

解题步骤 5.2.4.3.2

从 $25 x^{\frac{1}{3}}$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}}) + x^{\frac{1}{3}} \cdot 25 - 15 x^{\frac{2}{3}} + 5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

解题步骤 5.2.4.3.3

从 $- 15 x^{\frac{2}{3}}$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}}) + x^{\frac{1}{3}} \cdot 25 + x^{\frac{1}{3}} (- 15 x^{\frac{1}{3}}) + 5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

解题步骤 5.2.4.3.4

从 $5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}}) + x^{\frac{1}{3}} \cdot 25 + x^{\frac{1}{3}} (- 15 x^{\frac{1}{3}}) + x^{\frac{1}{3}} (5 (3 x^{\frac{1}{3}} - 5))}{3}$

解题步骤 5.2.4.3.5

从 $x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}}) + x^{\frac{1}{3}} \cdot 25$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}} + 25) + x^{\frac{1}{3}} (- 15 x^{\frac{1}{3}}) + x^{\frac{1}{3}} (5 (3 x^{\frac{1}{3}} - 5))}{3}$

解题步骤 5.2.4.3.6

从 $x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}} + 25) + x^{\frac{1}{3}} (- 15 x^{\frac{1}{3}})$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}} + 25 - 15 x^{\frac{1}{3}}) + x^{\frac{1}{3}} (5 (3 x^{\frac{1}{3}} - 5))}{3}$

解题步骤 5.2.4.3.7

从 $x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}} + 25 - 15 x^{\frac{1}{3}}) + x^{\frac{1}{3}} (5 (3 x^{\frac{1}{3}} - 5))$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}} + 25 - 15 x^{\frac{1}{3}} + 5 (3 x^{\frac{1}{3}} - 5))}{3}$

解题步骤 5.2.4.4

运用分配律。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}} + 25 - 15 x^{\frac{1}{3}} + 5 (3 x^{\frac{1}{3}}) + 5 \cdot - 5)}{3}$

解题步骤 5.2.4.5

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}} + 25 - 15 x^{\frac{1}{3}} + 15 x^{\frac{1}{3}} + 5 \cdot - 5)}{3}$

解题步骤 5.2.4.6

将 $5$ 乘以 $- 5$ 。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}} + 25 - 15 x^{\frac{1}{3}} + 15 x^{\frac{1}{3}} - 25)}{3}$

解题步骤 5.2.4.7

从 $25$ 中减去 $25$ 。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}} - 15 x^{\frac{1}{3}} + 15 x^{\frac{1}{3}} + 0)}{3}$

解题步骤 5.2.4.8

将 $3 x^{\frac{2}{3}} - 15 x^{\frac{1}{3}} + 15 x^{\frac{1}{3}}$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}} - 15 x^{\frac{1}{3}} + 15 x^{\frac{1}{3}})}{3}$

解题步骤 5.2.4.9

将 $- 15 x^{\frac{1}{3}}$ 和 $15 x^{\frac{1}{3}}$ 相加。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}} + 0)}{3}$

解题步骤 5.2.4.10

将 $3 x^{\frac{2}{3}}$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot (3 x^{\frac{2}{3}})}{3}$

解题步骤 5.2.4.11

合并指数。

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解题步骤 5.2.4.11.1

通过指数相加将 $x^{\frac{1}{3}}$ 乘以 $x^{\frac{2}{3}}$ 。

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解题步骤 5.2.4.11.1.1

移动 $x^{\frac{2}{3}}$ 。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3}$

解题步骤 5.2.4.11.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{x^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 3}{3}$

解题步骤 5.2.4.11.1.3

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{x^{\frac{2 + 1}{3}} \cdot 3}{3}$

解题步骤 5.2.4.11.1.4

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{x^{\frac{3}{3}} \cdot 3}{3}$

解题步骤 5.2.4.11.1.5

用 $3$ 除以 $3$ 。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{x \cdot 3}{3}$

解题步骤 5.2.4.11.2

化简 $x^{1} \cdot 3$ 。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{x \cdot 3}{3}$

解题步骤 5.2.5

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.5.1

约去公因数。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{x \cdot 3}{3}$

解题步骤 5.2.5.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27})$ 。

$f (\frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}) = 3 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}} - 5$

解题步骤 5.3.3

去掉圆括号。

$f (\frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}) = 3 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}} - 5$

解题步骤 5.3.4

化简每一项。

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解题步骤 5.3.4.1

要将 $\frac{5 x^{2}}{9}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (\frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}) = 3 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} \cdot \frac{3}{3} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}} - 5$

解题步骤 5.3.4.2

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $27$ 的形式。

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解题步骤 5.3.4.2.1

将 $\frac{5 x^{2}}{9}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (\frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}) = 3 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2} \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}} - 5$

解题步骤 5.3.4.2.2

将 $9$ 乘以 $3$ 。

$f (\frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}) = 3 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2} \cdot 3}{27} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}} - 5$

解题步骤 5.3.4.3

在公分母上合并分子。

$f (\frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}) = 3 \sqrt[3]{\frac{x^{3} + 5 x^{2} \cdot 3}{27} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}} - 5$

解题步骤 5.3.4.4

化简分子。

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解题步骤 5.3.4.4.1

从 $x^{3} + 5 x^{2} \cdot 3$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

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解题步骤 5.3.4.4.1.1

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$f (\frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}) = 3 \sqrt[3]{\frac{x^{2} x + 5 x^{2} \cdot 3}{27} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}} - 5$

解题步骤 5.3.4.4.1.2

从 $5 x^{2} \cdot 3$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$f (\frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}) = 3 \sqrt[3]{\frac{x^{2} x + x^{2} (5 \cdot 3)}{27} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}} - 5$

解题步骤 5.3.4.4.1.3

从 $x^{2} x + x^{2} (5 \cdot 3)$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$f (\frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}) = 3 \sqrt[3]{\frac{x^{2} (x + 5 \cdot 3)}{27} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}} - 5$

解题步骤 5.3.4.4.2

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$f (\frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}) = 3 \sqrt[3]{\frac{x^{2} (x + 15)}{27} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}} - 5$

解题步骤 5.3.4.5

求公分母。

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解题步骤 5.3.4.5.1

将 $\frac{25 x}{9}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (\frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}) = 3 \sqrt[3]{\frac{x^{2} (x + 15)}{27} + \frac{25 x}{9} \cdot \frac{3}{3} + \frac{125}{27}} - 5$

解题步骤 5.3.4.5.2

将 $\frac{25 x}{9}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (\frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}) = 3 \sqrt[3]{\frac{x^{2} (x + 15)}{27} + \frac{25 x \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{125}{27}} - 5$

解题步骤 5.3.4.5.3

重新排序 $9 \cdot 3$ 的因式。

$f (\frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}) = 3 \sqrt[3]{\frac{x^{2} (x + 15)}{27} + \frac{25 x \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{125}{27}} - 5$

解题步骤 5.3.4.5.4

将 $3$ 乘以 $9$ 。

$f (\frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}) = 3 \sqrt[3]{\frac{x^{2} (x + 15)}{27} + \frac{25 x \cdot 3}{27} + \frac{125}{27}} - 5$

解题步骤 5.3.4.6

在公分母上合并分子。

$f (\frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}) = 3 \sqrt[3]{\frac{x^{2} (x + 15) + 25 x \cdot 3 + 125}{27}} - 5$

解题步骤 5.3.4.7

将 $3$ 乘以 $25$ 。

$f (\frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}) = 3 \sqrt[3]{\frac{x^{2} (x + 15) + 75 x + 125}{27}} - 5$

解题步骤 5.3.4.8

化简分子。

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解题步骤 5.3.4.8.1

运用分配律。

$f (\frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}) = 3 \sqrt[3]{\frac{x^{2} x + x^{2} \cdot 15 + 75 x + 125}{27}} - 5$

解题步骤 5.3.4.8.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.3.4.8.2.1

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.3.4.8.2.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (\frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}) = 3 \sqrt[3]{\frac{x^{2} x + x^{2} \cdot 15 + 75 x + 125}{27}} - 5$

解题步骤 5.3.4.8.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (\frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}) = 3 \sqrt[3]{\frac{x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 15 + 75 x + 125}{27}} - 5$

解题步骤 5.3.4.8.2.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$f (\frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}) = 3 \sqrt[3]{\frac{x^{3} + x^{2} \cdot 15 + 75 x + 125}{27}} - 5$

解题步骤 5.3.4.8.3

将 $15$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$f (\frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}) = 3 \sqrt[3]{\frac{x^{3} + 15 \cdot x^{2} + 75 x + 125}{27}} - 5$

解题步骤 5.3.4.8.4

以因式分解的形式重写 $x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 125$ 。

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解题步骤 5.3.4.8.4.1

重新组合项。

$f (\frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}) = 3 \sqrt[3]{\frac{x^{3} + 125 + 15 x^{2} + 75 x}{27}} - 5$

解题步骤 5.3.4.8.4.2

将 $125$ 重写为 $5^{3}$ 。

$f (\frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}) = 3 \sqrt[3]{\frac{x^{3} + 5^{3} + 15 x^{2} + 75 x}{27}} - 5$

解题步骤 5.3.4.8.4.3

因为两项都是完全立方数，所以使用立方和公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 5$ 。

$f (\frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}) = 3 \sqrt[3]{\frac{(x + 5) (x^{2} - x \cdot 5 + 5^{2}) + 15 x^{2} + 75 x}{27}} - 5$

解题步骤 5.3.4.8.4.4

化简。

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解题步骤 5.3.4.8.4.4.1

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}) = 3 \sqrt[3]{\frac{(x + 5) (x^{2} - 5 x + 5^{2}) + 15 x^{2} + 75 x}{27}} - 5$

解题步骤 5.3.4.8.4.4.2

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}) = 3 \sqrt[3]{\frac{(x + 5) (x^{2} - 5 x + 25) + 15 x^{2} + 75 x}{27}} - 5$

解题步骤 5.3.4.8.4.5

从 $15 x^{2} + 75 x$ 中分解出因数 $15 x$ 。

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解题步骤 5.3.4.8.4.5.1

从 $15 x^{2}$ 中分解出因数 $15 x$ 。

$f (\frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}) = 3 \sqrt[3]{\frac{(x + 5) (x^{2} - 5 x + 25) + 15 x (x) + 75 x}{27}} - 5$

解题步骤 5.3.4.8.4.5.2

从 $75 x$ 中分解出因数 $15 x$ 。

$f (\frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}) = 3 \sqrt[3]{\frac{(x + 5) (x^{2} - 5 x + 25) + 15 x (x) + 15 x (5)}{27}} - 5$

解题步骤 5.3.4.8.4.5.3

从 $15 x (x) + 15 x (5)$ 中分解出因数 $15 x$ 。

$f (\frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}) = 3 \sqrt[3]{\frac{(x + 5) (x^{2} - 5 x + 25) + 15 x (x + 5)}{27}} - 5$

解题步骤 5.3.4.8.4.6

从 $(x + 5) (x^{2} - 5 x + 25) + 15 x (x + 5)$ 中分解出因数 $x + 5$ 。

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解题步骤 5.3.4.8.4.6.1

从 $15 x (x + 5)$ 中分解出因数 $x + 5$ 。

$f (\frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}) = 3 \sqrt[3]{\frac{(x + 5) (x^{2} - 5 x + 25) + (x + 5) (15 x)}{27}} - 5$

解题步骤 5.3.4.8.4.6.2

从 $(x + 5) (x^{2} - 5 x + 25) + (x + 5) (15 x)$ 中分解出因数 $x + 5$ 。

$f (\frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}) = 3 \sqrt[3]{\frac{(x + 5) (x^{2} - 5 x + 25 + 15 x)}{27}} - 5$

解题步骤 5.3.4.8.4.7

将 $- 5 x$ 和 $15 x$ 相加。

$f (\frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}) = 3 \sqrt[3]{\frac{(x + 5) (x^{2} + 10 x + 25)}{27}} - 5$

解题步骤 5.3.4.8.4.8

使用完全平方法则进行因式分解。

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解题步骤 5.3.4.8.4.8.1

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$f (\frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}) = 3 \sqrt[3]{\frac{(x + 5) (x^{2} + 10 x + 5^{2})}{27}} - 5$

解题步骤 5.3.4.8.4.8.2

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

解题步骤 5.3.4.8.4.8.3

重写多项式。

$f (\frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}) = 3 \sqrt[3]{\frac{(x + 5) (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2})}{27}} - 5$

解题步骤 5.3.4.8.4.8.4

使用完全平方三项式法则对 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 5$ 。

$f (\frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}) = 3 \sqrt[3]{\frac{(x + 5) {(x + 5)}^{2}}{27}} - 5$

解题步骤 5.3.4.9

通过指数相加将 $x + 5$ 乘以 ${(x + 5)}^{2}$ 。

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解题步骤 5.3.4.9.1

将 $x + 5$ 乘以 ${(x + 5)}^{2}$ 。

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解题步骤 5.3.4.9.1.1

对 $x + 5$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (\frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}) = 3 \sqrt[3]{\frac{(x + 5) {(x + 5)}^{2}}{27}} - 5$

解题步骤 5.3.4.9.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (\frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}) = 3 \sqrt[3]{\frac{{(x + 5)}^{1 + 2}}{27}} - 5$

解题步骤 5.3.4.9.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f (\frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}) = 3 \sqrt[3]{\frac{{(x + 5)}^{3}}{27}} - 5$

解题步骤 5.3.4.10

将 $27$ 重写为 $3^{3}$ 。

$f (\frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}) = 3 \sqrt[3]{\frac{{(x + 5)}^{3}}{3^{3}}} - 5$

解题步骤 5.3.4.11

将 $\frac{{(x + 5)}^{3}}{3^{3}}$ 重写为 ${(\frac{x + 5}{3})}^{3}$ 。

$f (\frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}) = 3 \sqrt[3]{{(\frac{x + 5}{3})}^{3}} - 5$

解题步骤 5.3.4.12

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$f (\frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}) = 3 (\frac{x + 5}{3}) - 5$

解题步骤 5.3.4.13

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.4.13.1

约去公因数。

$f (\frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}) = 3 (\frac{x + 5}{3}) - 5$

解题步骤 5.3.4.13.2

重写表达式。

$f (\frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}) = x + 5 - 5$

解题步骤 5.3.5

合并 $x + 5 - 5$ 中相反的项。

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解题步骤 5.3.5.1

从 $5$ 中减去 $5$ 。

$f (\frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}) = x + 0$

解题步骤 5.3.5.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f (\frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}$ 为 $f (x) = 3 \sqrt[3]{x} - 5$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}$

初级微积分 示例

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