初级微积分示例

$f (x) = \frac{2 x}{4 - 3 x}$ $f^{- 1} (x)$

解题步骤 1

将 $f (x) = \frac{2 x}{4 - 3 x}$ 写为等式。

$y = \frac{2 x}{4 - 3 x}$

解题步骤 2

交换变量。

$x = \frac{2 y}{4 - 3 y}$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $\frac{2 y}{4 - 3 y} = x$ 。

$\frac{2 y}{4 - 3 y} = x$

解题步骤 3.2

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 3.2.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$4 - 3 y, 1$

解题步骤 3.2.2

去掉圆括号。

$4 - 3 y, 1$

解题步骤 3.2.3

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$4 - 3 y$

解题步骤 3.3

将 $\frac{2 y}{4 - 3 y} = x$ 中的每一项乘以 $4 - 3 y$ 以消去分数。

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解题步骤 3.3.1

将 $\frac{2 y}{4 - 3 y} = x$ 中的每一项乘以 $4 - 3 y$ 。

$\frac{2 y}{4 - 3 y} (4 - 3 y) = x (4 - 3 y)$

解题步骤 3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.1

约去 $4 - 3 y$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 y}{4 - 3 y} (4 - 3 y) = x (4 - 3 y)$

解题步骤 3.3.2.1.2

重写表达式。

$2 y = x (4 - 3 y)$

解题步骤 3.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.3.1

运用分配律。

$2 y = x \cdot 4 + x (- 3 y)$

解题步骤 3.3.3.2

重新排序。

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解题步骤 3.3.3.2.1

将 $4$ 移到 $x$ 的左侧。

$2 y = 4 \cdot x + x (- 3 y)$

解题步骤 3.3.3.2.2

使用乘法的交换性质重写。

$2 y = 4 x - 3 x y$

解题步骤 3.4

求解方程。

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解题步骤 3.4.1

在等式两边都加上 $3 x y$ 。

$2 y + 3 x y = 4 x$

解题步骤 3.4.2

从 $2 y + 3 x y$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 3.4.2.1

从 $2 y$ 中分解出因数 $y$ 。

$y \cdot 2 + 3 x y = 4 x$

解题步骤 3.4.2.2

从 $3 x y$ 中分解出因数 $y$ 。

$y \cdot 2 + y (3 x) = 4 x$

解题步骤 3.4.2.3

从 $y \cdot 2 + y (3 x)$ 中分解出因数 $y$ 。

$y (2 + 3 x) = 4 x$

解题步骤 3.4.3

将 $y (2 + 3 x) = 4 x$ 中的每一项除以 $2 + 3 x$ 并化简。

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解题步骤 3.4.3.1

将 $y (2 + 3 x) = 4 x$ 中的每一项都除以 $2 + 3 x$ 。

$\frac{y (2 + 3 x)}{2 + 3 x} = \frac{4 x}{2 + 3 x}$

解题步骤 3.4.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.3.2.1

约去 $2 + 3 x$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y (2 + 3 x)}{2 + 3 x} = \frac{4 x}{2 + 3 x}$

解题步骤 3.4.3.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{4 x}{2 + 3 x}$

解题步骤 4

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = \frac{4 x}{2 + 3 x}$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{4 x}{2 + 3 x}$ 是否为 $f (x) = \frac{2 x}{4 - 3 x}$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x})$ 。

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{4 (\frac{2 x}{4 - 3 x})}{2 + 3 (\frac{2 x}{4 - 3 x})}$

解题步骤 5.2.3

组合 $4$ 和 $\frac{2 x}{4 - 3 x}$ 。

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{\frac{4 (2 x)}{4 - 3 x}}{2 + 3 (\frac{2 x}{4 - 3 x})}$

解题步骤 5.2.4

化简分母。

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解题步骤 5.2.4.1

乘以 $3 \frac{2 x}{4 - 3 x}$ 。

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解题步骤 5.2.4.1.1

组合 $3$ 和 $\frac{2 x}{4 - 3 x}$ 。

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{\frac{4 (2 x)}{4 - 3 x}}{2 + \frac{3 (2 x)}{4 - 3 x}}$

解题步骤 5.2.4.1.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{\frac{4 (2 x)}{4 - 3 x}}{2 + \frac{6 x}{4 - 3 x}}$

解题步骤 5.2.4.2

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4 - 3 x}{4 - 3 x}$ 。

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{\frac{4 (2 x)}{4 - 3 x}}{\frac{2 (4 - 3 x)}{4 - 3 x} + \frac{6 x}{4 - 3 x}}$

解题步骤 5.2.4.3

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{\frac{4 (2 x)}{4 - 3 x}}{\frac{2 (4 - 3 x) + 6 x}{4 - 3 x}}$

解题步骤 5.2.4.4

以因式分解的形式重写 $\frac{2 (4 - 3 x) + 6 x}{4 - 3 x}$ 。

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解题步骤 5.2.4.4.1

从 $2 (4 - 3 x) + 6 x$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 5.2.4.4.1.1

从 $6 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{\frac{4 (2 x)}{4 - 3 x}}{\frac{2 (4 - 3 x) + 2 (3 x)}{4 - 3 x}}$

解题步骤 5.2.4.4.1.2

从 $2 (4 - 3 x) + 2 (3 x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{\frac{4 (2 x)}{4 - 3 x}}{\frac{2 (4 - 3 x + 3 x)}{4 - 3 x}}$

解题步骤 5.2.4.4.2

将 $- 3 x$ 和 $3 x$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{\frac{4 (2 x)}{4 - 3 x}}{\frac{2 (4 + 0)}{4 - 3 x}}$

解题步骤 5.2.4.4.3

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{\frac{4 (2 x)}{4 - 3 x}}{\frac{2 \cdot 4}{4 - 3 x}}$

解题步骤 5.2.4.5

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{\frac{4 (2 x)}{4 - 3 x}}{\frac{8}{4 - 3 x}}$

解题步骤 5.2.5

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{\frac{8 x}{4 - 3 x}}{\frac{8}{4 - 3 x}}$

解题步骤 5.2.6

将分子乘以分母的倒数。

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{8 x}{4 - 3 x} \cdot \frac{4 - 3 x}{8}$

解题步骤 5.2.7

约去 $8$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.7.1

从 $8 x$ 中分解出因数 $8$ 。

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{8 (x)}{4 - 3 x} \cdot \frac{4 - 3 x}{8}$

解题步骤 5.2.7.2

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{8 x}{4 - 3 x} \cdot \frac{4 - 3 x}{8}$

解题步骤 5.2.7.3

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{x}{4 - 3 x} \cdot (4 - 3 x)$

解题步骤 5.2.8

约去 $4 - 3 x$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.8.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{x}{4 - 3 x} \cdot (4 - 3 x)$

解题步骤 5.2.8.2

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\frac{4 x}{2 + 3 x})$ 。

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{2 (\frac{4 x}{2 + 3 x})}{4 - 3 \frac{4 x}{2 + 3 x}}$

解题步骤 5.3.3

组合 $2$ 和 $\frac{4 x}{2 + 3 x}$ 。

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{2 + 3 x}}{4 - 3 \frac{4 x}{2 + 3 x}}$

解题步骤 5.3.4

化简分母。

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解题步骤 5.3.4.1

乘以 $- 3 \frac{4 x}{2 + 3 x}$ 。

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解题步骤 5.3.4.1.1

组合 $- 3$ 和 $\frac{4 x}{2 + 3 x}$ 。

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{2 + 3 x}}{4 + \frac{- 3 (4 x)}{2 + 3 x}}$

解题步骤 5.3.4.1.2

将 $4$ 乘以 $- 3$ 。

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{2 + 3 x}}{4 + \frac{- 12 x}{2 + 3 x}}$

解题步骤 5.3.4.2

将负号移到分数的前面。

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{2 + 3 x}}{4 - \frac{12 x}{2 + 3 x}}$

解题步骤 5.3.4.3

要将 $4$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2 + 3 x}{2 + 3 x}$ 。

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{2 + 3 x}}{\frac{4 (2 + 3 x)}{2 + 3 x} - \frac{12 x}{2 + 3 x}}$

解题步骤 5.3.4.4

在公分母上合并分子。

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{2 + 3 x}}{\frac{4 (2 + 3 x) - 12 x}{2 + 3 x}}$

解题步骤 5.3.4.5

以因式分解的形式重写 $\frac{4 (2 + 3 x) - 12 x}{2 + 3 x}$ 。

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解题步骤 5.3.4.5.1

从 $4 (2 + 3 x) - 12 x$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 5.3.4.5.1.1

从 $- 12 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{2 + 3 x}}{\frac{4 (2 + 3 x) + 4 (- 3 x)}{2 + 3 x}}$

解题步骤 5.3.4.5.1.2

从 $4 (2 + 3 x) + 4 (- 3 x)$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{2 + 3 x}}{\frac{4 (2 + 3 x - 3 x)}{2 + 3 x}}$

解题步骤 5.3.4.5.2

从 $3 x$ 中减去 $3 x$ 。

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{2 + 3 x}}{\frac{4 (2 + 0)}{2 + 3 x}}$

解题步骤 5.3.4.5.3

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{2 + 3 x}}{\frac{4 \cdot 2}{2 + 3 x}}$

解题步骤 5.3.4.6

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{2 + 3 x}}{\frac{8}{2 + 3 x}}$

解题步骤 5.3.5

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{8 x}{2 + 3 x}}{\frac{8}{2 + 3 x}}$

解题步骤 5.3.6

将分子乘以分母的倒数。

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{8 x}{2 + 3 x} \cdot \frac{2 + 3 x}{8}$

解题步骤 5.3.7

约去 $8$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.7.1

从 $8 x$ 中分解出因数 $8$ 。

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{8 (x)}{2 + 3 x} \cdot \frac{2 + 3 x}{8}$

解题步骤 5.3.7.2

约去公因数。

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{8 x}{2 + 3 x} \cdot \frac{2 + 3 x}{8}$

解题步骤 5.3.7.3

重写表达式。

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{x}{2 + 3 x} \cdot (2 + 3 x)$

解题步骤 5.3.8

约去 $2 + 3 x$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.8.1

约去公因数。

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{x}{2 + 3 x} \cdot (2 + 3 x)$

解题步骤 5.3.8.2

重写表达式。

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{4 x}{2 + 3 x}$ 为 $f (x) = \frac{2 x}{4 - 3 x}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{4 x}{2 + 3 x}$

初级微积分 示例

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