初级微积分示例

$\frac{x + 3}{4 - \sqrt{x^{2} - 9}}$

解题步骤 1

将 $\sqrt{x^{2} - 9}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$x^{2} - 9 \geq 0$

解题步骤 2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

在不等式两边同时加上 $9$ 。

$x^{2} \geq 9$

解题步骤 2.2

取不等式两边的指定根来消去方程左边的指数。

$\sqrt{x^{2}} \geq \sqrt{9}$

解题步骤 2.3

化简方程。

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解题步骤 2.3.1

化简左边。

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解题步骤 2.3.1.1

从根式下提出各项。

$| x | \geq \sqrt{9}$

解题步骤 2.3.2

化简右边。

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解题步骤 2.3.2.1

化简 $\sqrt{9}$ 。

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解题步骤 2.3.2.1.1

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$| x | \geq \sqrt{3^{2}}$

解题步骤 2.3.2.1.2

从根式下提出各项。

$| x | \geq | 3 |$

解题步骤 2.3.2.1.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $3$ 之间的距离为 $3$ 。

$| x | \geq 3$

解题步骤 2.4

将 $| x | \geq 3$ 书写为分段式。

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解题步骤 2.4.1

要求第一段的区间，需找到绝对值内为非负的地方。

$x \geq 0$

解题步骤 2.4.2

在 $x$ 为非负数的地方，去掉绝对值。

$x \geq 3$

解题步骤 2.4.3

要求第二段的区间，需找到绝对值内为负的地方。

$x < 0$

解题步骤 2.4.4

在 $x$ 为负的地方，去掉绝对值符号并乘以 $- 1$ 。

$- x \geq 3$

解题步骤 2.4.5

书写为分段式。

${\begin{cases} x \geq 3 & x \geq 0 \\ - x \geq 3 & x < 0 \end{cases}$

解题步骤 2.5

求 $x \geq 3$ 和 $x \geq 0$ 的交点。

$x \geq 3$

解题步骤 2.6

将 $- x \geq 3$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 2.6.1

将 $- x \geq 3$ 中的每一项除以 $- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{3}{- 1}$

解题步骤 2.6.2

化简左边。

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解题步骤 2.6.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x}{1} \leq \frac{3}{- 1}$

解题步骤 2.6.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x \leq \frac{3}{- 1}$

解题步骤 2.6.3

化简右边。

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解题步骤 2.6.3.1

用 $3$ 除以 $- 1$ 。

$x \leq - 3$

解题步骤 2.7

求解的并集。

$x \leq - 3$ 或 $x \geq 3$

解题步骤 3

将 $\frac{x + 3}{4 - \sqrt{x^{2} - 9}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$4 - \sqrt{x^{2} - 9} = 0$

解题步骤 4

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

从等式两边同时减去 $4$ 。

$- \sqrt{x^{2} - 9} = - 4$

解题步骤 4.2

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${(- \sqrt{x^{2} - 9})}^{2} = {(- 4)}^{2}$

解题步骤 4.3

化简方程的两边。

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解题步骤 4.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x^{2} - 9}$ 重写成 ${(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${(- {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 4)}^{2}$

解题步骤 4.3.2

化简左边。

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解题步骤 4.3.2.1

化简 ${(- {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 4.3.2.1.1

对 $- {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}$ 运用乘积法则。

${(- 1)}^{2} {({(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 4)}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$1 {({(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 4)}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.3

将 ${({(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 乘以 $1$ 。

${({(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 4)}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.4

将 ${({(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.3.2.1.4.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 4)}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.4.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.2.1.4.2.1

约去公因数。

${(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 4)}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.4.2.2

重写表达式。

${(x^{2} - 9)}^{1} = {(- 4)}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.5

化简。

$x^{2} - 9 = {(- 4)}^{2}$

解题步骤 4.3.3

化简右边。

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解题步骤 4.3.3.1

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$x^{2} - 9 = 16$

解题步骤 4.4

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.4.1

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 4.4.1.1

在等式两边都加上 $9$ 。

$x^{2} = 16 + 9$

解题步骤 4.4.1.2

将 $16$ 和 $9$ 相加。

$x^{2} = 25$

解题步骤 4.4.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{25}$

解题步骤 4.4.3

化简 $\pm \sqrt{25}$ 。

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解题步骤 4.4.3.1

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{5^{2}}$

解题步骤 4.4.3.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 5$

解题步骤 4.4.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 4.4.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 5$

解题步骤 4.4.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 5$

解题步骤 4.4.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 5, - 5$

解题步骤 5

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, - 3] \cup [3, 5) \cup (5, \infty)$

集合符号：

${x | x \leq - 3, x \geq 3, x \neq 5, - 5}$

解题步骤 6

初级微积分 示例

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