初级微积分示例

$\frac{x^{2} + 9 x + 8}{x^{2}} \div \frac{x^{2} - 1}{x^{3} + 3 x^{2} - 4 x}$

解题步骤 1

将 $\frac{x^{2} + 9 x + 8}{x^{2}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x^{2} = 0$

解题步骤 2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 2.2

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 2.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 2.2.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 3

将 $\frac{x^{2} - 1}{x^{3} + 3 x^{2} - 4 x}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x^{3} + 3 x^{2} - 4 x = 0$

解题步骤 4

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 4.1.1

从 $x^{3} + 3 x^{2} - 4 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 4.1.1.1

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x \cdot x^{2} + 3 x^{2} - 4 x = 0$

解题步骤 4.1.1.2

从 $3 x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x \cdot x^{2} + x (3 x) - 4 x = 0$

解题步骤 4.1.1.3

从 $- 4 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$x \cdot x^{2} + x (3 x) + x \cdot - 4 = 0$

解题步骤 4.1.1.4

从 $x \cdot x^{2} + x (3 x)$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (x^{2} + 3 x) + x \cdot - 4 = 0$

解题步骤 4.1.1.5

从 $x (x^{2} + 3 x) + x \cdot - 4$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (x^{2} + 3 x - 4) = 0$

解题步骤 4.1.2

因数。

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解题步骤 4.1.2.1

使用 AC 法来对 $x^{2} + 3 x - 4$ 进行因式分解。

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解题步骤 4.1.2.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 4$ ，和为 $3$ 。

$- 1, 4$

解题步骤 4.1.2.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$x ((x - 1) (x + 4)) = 0$

解题步骤 4.1.2.2

去掉多余的括号。

$x (x - 1) (x + 4) = 0$

解题步骤 4.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$x - 1 = 0$

$x + 4 = 0$

解题步骤 4.3

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 4.4

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.4.1

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 4.4.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

解题步骤 4.5

将 $x + 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.5.1

将 $x + 4$ 设为等于 $0$ 。

$x + 4 = 0$

解题步骤 4.5.2

从等式两边同时减去 $4$ 。

$x = - 4$

解题步骤 4.6

最终解为使 $x (x - 1) (x + 4) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, 1, - 4$

解题步骤 5

将 $\frac{x^{2} + 9 x + 8}{x^{2}} \div \frac{x^{2} - 1}{x^{3} + 3 x^{2} - 4 x}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$\frac{x^{2} - 1}{x^{3} + 3 x^{2} - 4 x} = 0$

解题步骤 6

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.1

将分子设为等于零。

$x^{2} - 1 = 0$

解题步骤 6.2

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 6.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$x^{2} = 1$

解题步骤 6.2.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{1}$

解题步骤 6.2.3

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$x = \pm 1$

解题步骤 6.2.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 6.2.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 1$

解题步骤 6.2.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 1$

解题步骤 6.2.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 1, - 1$

解题步骤 6.3

排除不能使 $\frac{x^{2} - 1}{x^{3} + 3 x^{2} - 4 x} = 0$ 成立的解。

$x = - 1$

解题步骤 7

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

集合符号：

${x | x \neq 0, 1, - 1, - 4}$

解题步骤 8

初级微积分 示例

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