初级微积分示例

$f (x) = \frac{2 x^{2} + 3 x + 7}{\sqrt{x^{6} + 2}}$

解题步骤 1

求在何处表达式 $\frac{2 x^{2} + 3 x + 7}{\sqrt{x^{6} + 2}}$ 无定义。

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 2

垂直渐近线出现在无穷不连续点的所在区域。

不存在垂直渐近线

解题步骤 3

计算 $lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 3 x + 7}{\sqrt{x^{6} + 2}}$ 以求水平渐近线。

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解题步骤 3.1

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $x^{3} = \sqrt{x^{6}}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x^{2}}{x^{3}} + \frac{3 x}{x^{3}} + \frac{7}{x^{3}}}{\sqrt{\frac{x^{6}}{x^{6}} + \frac{2}{x^{6}}}}$

解题步骤 3.2

计算极限值。

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解题步骤 3.2.1

化简每一项。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}} + \frac{7}{x^{3}}}{\sqrt{\frac{x^{6}}{x^{6}} + \frac{2}{x^{6}}}}$

解题步骤 3.2.2

约去 $x^{6}$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}} + \frac{7}{x^{3}}}{\sqrt{\frac{x^{6}}{x^{6}} + \frac{2}{x^{6}}}}$

解题步骤 3.2.2.2

重写表达式。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}} + \frac{7}{x^{3}}}{\sqrt{1 + \frac{2}{x^{6}}}}$

解题步骤 3.2.3

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}} + \frac{7}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{2}{x^{6}}}}$

解题步骤 3.2.4

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{2}{x^{6}}}}$

解题步骤 3.2.5

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{2}{x^{6}}}}$

解题步骤 3.3

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{2 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{2}{x^{6}}}}$

解题步骤 3.4

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{2 \cdot 0 + 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{2}{x^{6}}}}$

解题步骤 3.5

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x^{2}}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{2}{x^{6}}}}$

解题步骤 3.6

因为项 $7$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 + 7 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{2}{x^{6}}}}$

解题步骤 3.7

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x^{3}}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 + 7 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{2}{x^{6}}}}$

解题步骤 3.8

计算极限值。

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解题步骤 3.8.1

将极限移入根号内。

$\frac{2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 + 7 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{2}{x^{6}}}}$

解题步骤 3.8.2

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 + 7 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{6}}}}$

解题步骤 3.8.3

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 + 7 \cdot 0}{\sqrt{1 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{6}}}}$

解题步骤 3.8.4

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 + 7 \cdot 0}{\sqrt{1 + 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{6}}}}$

解题步骤 3.9

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x^{6}}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 + 7 \cdot 0}{\sqrt{1 + 2 \cdot 0}}$

解题步骤 3.10

化简答案。

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解题步骤 3.10.1

化简分子。

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解题步骤 3.10.1.1

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0 + 3 \cdot 0 + 7 \cdot 0}{\sqrt{1 + 2 \cdot 0}}$

解题步骤 3.10.1.2

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0 + 0 + 7 \cdot 0}{\sqrt{1 + 2 \cdot 0}}$

解题步骤 3.10.1.3

将 $7$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0 + 0 + 0}{\sqrt{1 + 2 \cdot 0}}$

解题步骤 3.10.1.4

将 $0 + 0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0 + 0}{\sqrt{1 + 2 \cdot 0}}$

解题步骤 3.10.1.5

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0}{\sqrt{1 + 2 \cdot 0}}$

解题步骤 3.10.2

化简分母。

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解题步骤 3.10.2.1

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{\sqrt{1 + 0}}$

解题步骤 3.10.2.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0}{\sqrt{1}}$

解题步骤 3.10.2.3

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$\frac{0}{1}$

解题步骤 3.10.3

用 $0$ 除以 $1$ 。

$0$

解题步骤 4

列出水平渐近线：

$y = 0$

解题步骤 5

使用多项式除法求斜渐近线。因为该表达式含有一个根号，所以无法进行多项式除法。

无法求斜渐近线

解题步骤 6

这是所有渐近线的集合。

不存在垂直渐近线

水平渐近线： $y = 0$

无法求斜渐近线

解题步骤 7

初级微积分 示例

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