初级微积分示例

$- 12 - 4 - \frac{4}{3} - \dots - \frac{4}{243}$

解题步骤 1

由于各项间的比值相同，因此这是一个等比数列。在本例中，数列的前一项乘以 $\frac{1}{3}$ 即得到数列的下一项。亦即 $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ 。

等比数列： $r = \frac{1}{3}$

解题步骤 2

使用等比数列公式 $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ 求项数， $n$ 。

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解题步骤 2.1

将首项、末项和公比的值代入公式。

$\frac{4}{243} = 12 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$

解题步骤 2.2

求解 $n$ 。

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解题步骤 2.2.1

将方程重写为 $12 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} = \frac{4}{243}$ 。

$12 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} = \frac{4}{243}$

解题步骤 2.2.2

将 $12 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} = \frac{4}{243}$ 中的每一项除以 $12$ 并化简。

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解题步骤 2.2.2.1

将 $12 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} = \frac{4}{243}$ 中的每一项都除以 $12$ 。

$\frac{12 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}}{12} = \frac{\frac{4}{243}}{12}$

解题步骤 2.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.2.2.1

约去 $12$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{12 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}}{12} = \frac{\frac{4}{243}}{12}$

解题步骤 2.2.2.2.1.2

用 ${(\frac{1}{3})}^{n - 1}$ 除以 $1$ 。

${(\frac{1}{3})}^{n - 1} = \frac{\frac{4}{243}}{12}$

解题步骤 2.2.2.2.2

化简表达式。

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解题步骤 2.2.2.2.2.1

对 $\frac{1}{3}$ 运用乘积法则。

$\frac{1^{n - 1}}{3^{n - 1}} = \frac{\frac{4}{243}}{12}$

解题步骤 2.2.2.2.2.2

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{3^{n - 1}} = \frac{\frac{4}{243}}{12}$

解题步骤 2.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.2.2.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{1}{3^{n - 1}} = \frac{4}{243} \cdot \frac{1}{12}$

解题步骤 2.2.2.3.2

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.3.2.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{1}{3^{n - 1}} = \frac{4}{243} \cdot \frac{1}{4 (3)}$

解题步骤 2.2.2.3.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{3^{n - 1}} = \frac{4}{243} \cdot \frac{1}{4 \cdot 3}$

解题步骤 2.2.2.3.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{3^{n - 1}} = \frac{1}{243} \cdot \frac{1}{3}$

解题步骤 2.2.2.3.3

将 $\frac{1}{243}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{1}{3^{n - 1}} = \frac{1}{243 \cdot 3}$

解题步骤 2.2.2.3.4

将 $243$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{3^{n - 1}} = \frac{1}{729}$

解题步骤 2.2.3

两边同时乘以 $3^{n - 1}$ 。

$\frac{1}{3^{n - 1}} \cdot 3^{n - 1} = \frac{1}{729} \cdot 3^{n - 1}$

解题步骤 2.2.4

化简。

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解题步骤 2.2.4.1

化简左边。

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解题步骤 2.2.4.1.1

约去 $3^{n - 1}$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.4.1.1.1

约去公因数。

$\frac{1}{3^{n - 1}} \cdot 3^{n - 1} = \frac{1}{729} \cdot 3^{n - 1}$

解题步骤 2.2.4.1.1.2

重写表达式。

$1 = \frac{1}{729} \cdot 3^{n - 1}$

解题步骤 2.2.4.2

化简右边。

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解题步骤 2.2.4.2.1

组合 $\frac{1}{729}$ 和 $3^{n - 1}$ 。

$1 = \frac{3^{n - 1}}{729}$

解题步骤 2.2.5

求解 $n$ 。

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解题步骤 2.2.5.1

将方程重写为 $\frac{3^{n - 1}}{729} = 1$ 。

$\frac{3^{n - 1}}{729} = 1$

解题步骤 2.2.5.2

等式两边同时乘以 $729$ 。

$729 \frac{3^{n - 1}}{729} = 729 \cdot 1$

解题步骤 2.2.5.3

化简方程的两边。

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解题步骤 2.2.5.3.1

化简左边。

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解题步骤 2.2.5.3.1.1

约去 $729$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.5.3.1.1.1

约去公因数。

$729 \frac{3^{n - 1}}{729} = 729 \cdot 1$

解题步骤 2.2.5.3.1.1.2

重写表达式。

$3^{n - 1} = 729 \cdot 1$

解题步骤 2.2.5.3.2

化简右边。

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解题步骤 2.2.5.3.2.1

将 $729$ 乘以 $1$ 。

$3^{n - 1} = 729$

解题步骤 2.2.5.4

在方程中创建底数相同的对等表达式。

$3^{n - 1} = 3^{6}$

解题步骤 2.2.5.5

因为底相同，所以两个表达式仅当指数也相等时才会相等。

$n - 1 = 6$

解题步骤 2.2.5.6

将所有不包含 $n$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 2.2.5.6.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$n = 6 + 1$

解题步骤 2.2.5.6.2

将 $6$ 和 $1$ 相加。

$n = 7$

解题步骤 3

使用等比数列求和公式 $S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$ 求和。

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解题步骤 3.1

将首项、公比和项数的值代入求和公式。

$S_{n} = \frac{- 12 ({(\frac{1}{3})}^{7} - 1)}{\frac{1}{3} - 1}$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

化简分子。

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解题步骤 3.2.1.1

对 $\frac{1}{3}$ 运用乘积法则。

$S_{n} = \frac{- 12 (\frac{1^{7}}{3^{7}} - 1)}{\frac{1}{3} - 1}$

解题步骤 3.2.1.2

一的任意次幂都为一。

$S_{n} = \frac{- 12 (\frac{1}{3^{7}} - 1)}{\frac{1}{3} - 1}$

解题步骤 3.2.1.3

对 $3$ 进行 $7$ 次方运算。

$S_{n} = \frac{- 12 (\frac{1}{2187} - 1)}{\frac{1}{3} - 1}$

解题步骤 3.2.1.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2187}{2187}$ 。

$S_{n} = \frac{- 12 (\frac{1}{2187} - 1 \cdot \frac{2187}{2187})}{\frac{1}{3} - 1}$

解题步骤 3.2.1.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2187}{2187}$ 。

$S_{n} = \frac{- 12 (\frac{1}{2187} + \frac{- 1 \cdot 2187}{2187})}{\frac{1}{3} - 1}$

解题步骤 3.2.1.6

在公分母上合并分子。

$S_{n} = \frac{- 12 \frac{1 - 1 \cdot 2187}{2187}}{\frac{1}{3} - 1}$

解题步骤 3.2.1.7

化简分子。

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解题步骤 3.2.1.7.1

将 $- 1$ 乘以 $2187$ 。

$S_{n} = \frac{- 12 \frac{1 - 2187}{2187}}{\frac{1}{3} - 1}$

解题步骤 3.2.1.7.2

从 $1$ 中减去 $2187$ 。

$S_{n} = \frac{- 12 (\frac{- 2186}{2187})}{\frac{1}{3} - 1}$

解题步骤 3.2.1.8

将负号移到分数的前面。

$S_{n} = \frac{- 12 \cdot - 1 \frac{2186}{2187}}{\frac{1}{3} - 1}$

解题步骤 3.2.1.9

合并指数。

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解题步骤 3.2.1.9.1

提取负因数。

$S_{n} = \frac{- (- 12 (\frac{2186}{2187}))}{\frac{1}{3} - 1}$

解题步骤 3.2.1.9.2

组合 $- 12$ 和 $\frac{2186}{2187}$ 。

$S_{n} = \frac{- \frac{- 12 \cdot 2186}{2187}}{\frac{1}{3} - 1}$

解题步骤 3.2.1.9.3

将 $- 12$ 乘以 $2186$ 。

$S_{n} = \frac{- \frac{- 26232}{2187}}{\frac{1}{3} - 1}$

解题步骤 3.2.1.10

约去 $- 26232$ 和 $2187$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.10.1

从 $- 26232$ 中分解出因数 $3$ 。

$S_{n} = \frac{- \frac{3 (- 8744)}{2187}}{\frac{1}{3} - 1}$

解题步骤 3.2.1.10.2

约去公因数。

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解题步骤 3.2.1.10.2.1

从 $2187$ 中分解出因数 $3$ 。

$S_{n} = \frac{- \frac{3 \cdot - 8744}{3 \cdot 729}}{\frac{1}{3} - 1}$

解题步骤 3.2.1.10.2.2

约去公因数。

$S_{n} = \frac{- \frac{3 \cdot - 8744}{3 \cdot 729}}{\frac{1}{3} - 1}$

解题步骤 3.2.1.10.2.3

重写表达式。

$S_{n} = \frac{- \frac{- 8744}{729}}{\frac{1}{3} - 1}$

解题步骤 3.2.1.11

将负号移到分数的前面。

$S_{n} = \frac{- - 1 \frac{8744}{729}}{\frac{1}{3} - 1}$

解题步骤 3.2.1.12

合并指数。

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解题步骤 3.2.1.12.1

提取负因数。

$S_{n} = \frac{- - \frac{8744}{729}}{\frac{1}{3} - 1}$

解题步骤 3.2.1.12.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$S_{n} = \frac{1 (\frac{8744}{729})}{\frac{1}{3} - 1}$

解题步骤 3.2.1.12.3

将 $\frac{8744}{729}$ 乘以 $1$ 。

$S_{n} = \frac{\frac{8744}{729}}{\frac{1}{3} - 1}$

解题步骤 3.2.2

化简分母。

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解题步骤 3.2.2.1

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$S_{n} = \frac{\frac{8744}{729}}{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

解题步骤 3.2.2.2

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$S_{n} = \frac{\frac{8744}{729}}{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

解题步骤 3.2.2.3

在公分母上合并分子。

$S_{n} = \frac{\frac{8744}{729}}{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}$

解题步骤 3.2.2.4

化简分子。

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解题步骤 3.2.2.4.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$S_{n} = \frac{\frac{8744}{729}}{\frac{1 - 3}{3}}$

解题步骤 3.2.2.4.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$S_{n} = \frac{\frac{8744}{729}}{\frac{- 2}{3}}$

解题步骤 3.2.2.5

将负号移到分数的前面。

$S_{n} = \frac{\frac{8744}{729}}{- \frac{2}{3}}$

解题步骤 3.2.3

将分子乘以分母的倒数。

$S_{n} = \frac{8744}{729} (- \frac{3}{2})$

解题步骤 3.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.4.1

将 $- \frac{3}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$S_{n} = \frac{8744}{729} \cdot \frac{- 3}{2}$

解题步骤 3.2.4.2

从 $8744$ 中分解出因数 $2$ 。

$S_{n} = \frac{2 (4372)}{729} \cdot \frac{- 3}{2}$

解题步骤 3.2.4.3

约去公因数。

$S_{n} = \frac{2 \cdot 4372}{729} \cdot \frac{- 3}{2}$

解题步骤 3.2.4.4

重写表达式。

$S_{n} = \frac{4372}{729} \cdot - 3$

解题步骤 3.2.5

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.5.1

从 $729$ 中分解出因数 $3$ 。

$S_{n} = \frac{4372}{3 (243)} \cdot - 3$

解题步骤 3.2.5.2

从 $- 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$S_{n} = \frac{4372}{3 \cdot 243} \cdot (3 \cdot - 1)$

解题步骤 3.2.5.3

约去公因数。

$S_{n} = \frac{4372}{3 \cdot 243} \cdot (3 \cdot - 1)$

解题步骤 3.2.5.4

重写表达式。

$S_{n} = \frac{4372}{243} \cdot - 1$

解题步骤 3.2.6

组合 $\frac{4372}{243}$ 和 $- 1$ 。

$S_{n} = \frac{4372 \cdot - 1}{243}$

解题步骤 3.2.7

将 $4372$ 乘以 $- 1$ 。

$S_{n} = \frac{- 4372}{243}$

解题步骤 3.2.8

将负号移到分数的前面。

$S_{n} = - \frac{4372}{243}$

初级微积分 示例

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