初级微积分示例

$f (x) = 5 {(x - 5)}^{7}$ ; find $f^{- 1} (x)$

解题步骤 1

将 $f (x) = 5 {(x - 5)}^{7}$ 写为等式。

$y = 5 {(x - 5)}^{7}$

解题步骤 2

交换变量。

$x = 5 {(y - 5)}^{7}$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $5 {(y - 5)}^{7} = x$ 。

$5 {(y - 5)}^{7} = x$

解题步骤 3.2

将 $5 {(y - 5)}^{7} = x$ 中的每一项除以 $5$ 并化简。

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解题步骤 3.2.1

将 $5 {(y - 5)}^{7} = x$ 中的每一项都除以 $5$ 。

$\frac{5 {(y - 5)}^{7}}{5} = \frac{x}{5}$

解题步骤 3.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.2.1

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{5 {(y - 5)}^{7}}{5} = \frac{x}{5}$

解题步骤 3.2.2.1.2

用 ${(y - 5)}^{7}$ 除以 $1$ 。

${(y - 5)}^{7} = \frac{x}{5}$

解题步骤 3.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y - 5 = \sqrt[7]{\frac{x}{5}}$

解题步骤 3.4

将 $\sqrt[7]{\frac{x}{5}}$ 重写为 $\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}}$ 。

$y - 5 = \frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}}$

解题步骤 3.5

在等式两边都加上 $5$ 。

$y = \frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5$

解题步骤 4

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5$ 是否为 $f (x) = 5 {(x - 5)}^{7}$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (5 {(x - 5)}^{7})$ 。

$f^{- 1} (5 {(x - 5)}^{7}) = \frac{\sqrt[7]{5 {(x - 5)}^{7}}}{\sqrt[7]{5}} + 5$

解题步骤 5.2.3

化简每一项。

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解题步骤 5.2.3.1

把 $\sqrt[7]{5 {(x - 5)}^{7}}$ 和 $\sqrt[7]{5}$ 组合为一个单根式。

$f^{- 1} (5 {(x - 5)}^{7}) = \sqrt[7]{\frac{5 {(x - 5)}^{7}}{5}} + 5$

解题步骤 5.2.3.2

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 5.2.3.2.1

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{5 {(x - 5)}^{7}}{5}$ 。

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解题步骤 5.2.3.2.1.1

约去公因数。

$f^{- 1} (5 {(x - 5)}^{7}) = \sqrt[7]{\frac{5 {(x - 5)}^{7}}{5}} + 5$

解题步骤 5.2.3.2.1.2

重写表达式。

$f^{- 1} (5 {(x - 5)}^{7}) = \sqrt[7]{\frac{{(x - 5)}^{7}}{1}} + 5$

解题步骤 5.2.3.2.2

用 ${(x - 5)}^{7}$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (5 {(x - 5)}^{7}) = \sqrt[7]{{(x - 5)}^{7}} + 5$

解题步骤 5.2.3.3

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$f^{- 1} (5 {(x - 5)}^{7}) = x - 5 + 5$

解题步骤 5.2.4

合并 $x - 5 + 5$ 中相反的项。

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解题步骤 5.2.4.1

将 $- 5$ 和 $5$ 相加。

$f^{- 1} (5 {(x - 5)}^{7}) = x + 0$

解题步骤 5.2.4.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (5 {(x - 5)}^{7}) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5)$ 。

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 {((\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) - 5)}^{7}$

解题步骤 5.3.3

合并 $(\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) - 5$ 中相反的项。

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解题步骤 5.3.3.1

从 $5$ 中减去 $5$ 。

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 {(\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 0)}^{7}$

解题步骤 5.3.3.2

将 $\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}}$ 和 $0$ 相加。

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 {(\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}})}^{7}$

解题步骤 5.3.4

对 $\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{{\sqrt[7]{x}}^{7}}{{\sqrt[7]{5}}^{7}})$

解题步骤 5.3.5

将 ${\sqrt[7]{x}}^{7}$ 重写为 $x$ 。

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解题步骤 5.3.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[7]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{7}}$ 。

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{{(x^{\frac{1}{7}})}^{7}}{{\sqrt[7]{5}}^{7}})$

解题步骤 5.3.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{x^{\frac{1}{7} \cdot 7}}{{\sqrt[7]{5}}^{7}})$

解题步骤 5.3.5.3

组合 $\frac{1}{7}$ 和 $7$ 。

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{x^{\frac{7}{7}}}{{\sqrt[7]{5}}^{7}})$

解题步骤 5.3.5.4

约去 $7$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.5.4.1

约去公因数。

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{x^{\frac{7}{7}}}{{\sqrt[7]{5}}^{7}})$

解题步骤 5.3.5.4.2

重写表达式。

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{x}{{\sqrt[7]{5}}^{7}})$

解题步骤 5.3.5.5

化简。

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{x}{{\sqrt[7]{5}}^{7}})$

解题步骤 5.3.6

将 ${\sqrt[7]{5}}^{7}$ 重写为 $5$ 。

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解题步骤 5.3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[7]{5}$ 重写成 $5^{\frac{1}{7}}$ 。

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{x}{{(5^{\frac{1}{7}})}^{7}})$

解题步骤 5.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{x}{5^{\frac{1}{7} \cdot 7}})$

解题步骤 5.3.6.3

组合 $\frac{1}{7}$ 和 $7$ 。

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{x}{5^{\frac{7}{7}}})$

解题步骤 5.3.6.4

约去 $7$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.6.4.1

约去公因数。

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{x}{5^{\frac{7}{7}}})$

解题步骤 5.3.6.4.2

重写表达式。

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{x}{5})$

解题步骤 5.3.6.5

计算指数。

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{x}{5})$

解题步骤 5.3.7

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.7.1

约去公因数。

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{x}{5})$

解题步骤 5.3.7.2

重写表达式。

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5$ 为 $f (x) = 5 {(x - 5)}^{7}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5$

初级微积分 示例

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