初级微积分示例

$f (x) = \frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}$ ; find $f^{- 1} (x)$

解题步骤 1

将 $f (x) = \frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}$ 写为等式。

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}$

解题步骤 2

交换变量。

$x = \frac{\sqrt[3]{y - 6}}{4}$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $\frac{\sqrt[3]{y - 6}}{4} = x$ 。

$\frac{\sqrt[3]{y - 6}}{4} = x$

解题步骤 3.2

等式两边同时乘以 $4$ 。

$4 \frac{\sqrt[3]{y - 6}}{4} = 4 x$

解题步骤 3.3

化简左边。

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解题步骤 3.3.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.1

约去公因数。

$4 \frac{\sqrt[3]{y - 6}}{4} = 4 x$

解题步骤 3.3.1.2

重写表达式。

$\sqrt[3]{y - 6} = 4 x$

解题步骤 3.4

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行立方。

${\sqrt[3]{y - 6}}^{3} = {(4 x)}^{3}$

解题步骤 3.5

化简方程的两边。

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解题步骤 3.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{y - 6}$ 重写成 ${(y - 6)}^{\frac{1}{3}}$ 。

${({(y - 6)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(4 x)}^{3}$

解题步骤 3.5.2

化简左边。

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解题步骤 3.5.2.1

化简 ${({(y - 6)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 。

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解题步骤 3.5.2.1.1

将 ${({(y - 6)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.5.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(y - 6)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(4 x)}^{3}$

解题步骤 3.5.2.1.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(y - 6)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(4 x)}^{3}$

解题步骤 3.5.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(y - 6)}^{1} = {(4 x)}^{3}$

解题步骤 3.5.2.1.2

化简。

$y - 6 = {(4 x)}^{3}$

解题步骤 3.5.3

化简右边。

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解题步骤 3.5.3.1

化简 ${(4 x)}^{3}$ 。

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解题步骤 3.5.3.1.1

对 $4 x$ 运用乘积法则。

$y - 6 = 4^{3} x^{3}$

解题步骤 3.5.3.1.2

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$y - 6 = 64 x^{3}$

解题步骤 3.6

在等式两边都加上 $6$ 。

$y = 64 x^{3} + 6$

解题步骤 4

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = 64 x^{3} + 6$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = 64 x^{3} + 6$ 是否为 $f (x) = \frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4})$ 。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}) = 64 {(\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4})}^{3} + 6$

解题步骤 5.2.3

化简每一项。

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解题步骤 5.2.3.1

对 $\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}$ 运用乘积法则。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}) = 64 (\frac{{\sqrt[3]{x - 6}}^{3}}{4^{3}}) + 6$

解题步骤 5.2.3.2

将 ${\sqrt[3]{x - 6}}^{3}$ 重写为 $x - 6$ 。

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解题步骤 5.2.3.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x - 6}$ 重写成 ${(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ 。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}) = 64 (\frac{{({(x - 6)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{4^{3}}) + 6$

解题步骤 5.2.3.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}) = 64 (\frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{4^{3}}) + 6$

解题步骤 5.2.3.2.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}) = 64 (\frac{{(x - 6)}^{\frac{3}{3}}}{4^{3}}) + 6$

解题步骤 5.2.3.2.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.2.4.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}) = 64 (\frac{{(x - 6)}^{\frac{3}{3}}}{4^{3}}) + 6$

解题步骤 5.2.3.2.4.2

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}) = 64 (\frac{x - 6}{4^{3}}) + 6$

解题步骤 5.2.3.2.5

化简。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}) = 64 (\frac{x - 6}{4^{3}}) + 6$

解题步骤 5.2.3.3

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}) = 64 (\frac{x - 6}{64}) + 6$

解题步骤 5.2.3.4

约去 $64$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.4.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}) = 64 (\frac{x - 6}{64}) + 6$

解题步骤 5.2.3.4.2

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}) = x - 6 + 6$

解题步骤 5.2.4

合并 $x - 6 + 6$ 中相反的项。

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解题步骤 5.2.4.1

将 $- 6$ 和 $6$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}) = x + 0$

解题步骤 5.2.4.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (64 x^{3} + 6)$ 。

$f (64 x^{3} + 6) = \frac{\sqrt[3]{(64 x^{3} + 6) - 6}}{4}$

解题步骤 5.3.3

化简分子。

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解题步骤 5.3.3.1

从 $6$ 中减去 $6$ 。

$f (64 x^{3} + 6) = \frac{\sqrt[3]{64 x^{3} + 0}}{4}$

解题步骤 5.3.3.2

将 $64 x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$f (64 x^{3} + 6) = \frac{\sqrt[3]{64 x^{3}}}{4}$

解题步骤 5.3.3.3

将 $64 x^{3}$ 重写为 ${(4 x)}^{3}$ 。

$f (64 x^{3} + 6) = \frac{\sqrt[3]{{(4 x)}^{3}}}{4}$

解题步骤 5.3.3.4

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$f (64 x^{3} + 6) = \frac{4 x}{4}$

解题步骤 5.3.4

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.4.1

约去公因数。

$f (64 x^{3} + 6) = \frac{4 x}{4}$

解题步骤 5.3.4.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$f (64 x^{3} + 6) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = 64 x^{3} + 6$ 为 $f (x) = \frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = 64 x^{3} + 6$

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