初级微积分示例

$f (x) = 6 x^{5} - 1$ ; find $f^{- 1} (x)$

解题步骤 1

将 $f (x) = 6 x^{5} - 1$ 写为等式。

$y = 6 x^{5} - 1$

解题步骤 2

交换变量。

$x = 6 y^{5} - 1$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $6 y^{5} - 1 = x$ 。

$6 y^{5} - 1 = x$

解题步骤 3.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$6 y^{5} = x + 1$

解题步骤 3.3

将 $6 y^{5} = x + 1$ 中的每一项除以 $6$ 并化简。

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解题步骤 3.3.1

将 $6 y^{5} = x + 1$ 中的每一项都除以 $6$ 。

$\frac{6 y^{5}}{6} = \frac{x}{6} + \frac{1}{6}$

解题步骤 3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.1

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{6 y^{5}}{6} = \frac{x}{6} + \frac{1}{6}$

解题步骤 3.3.2.1.2

用 $y^{5}$ 除以 $1$ 。

$y^{5} = \frac{x}{6} + \frac{1}{6}$

解题步骤 3.4

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \sqrt[5]{\frac{x}{6} + \frac{1}{6}}$

解题步骤 3.5

化简 $\sqrt[5]{\frac{x}{6} + \frac{1}{6}}$ 。

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解题步骤 3.5.1

在公分母上合并分子。

$y = \sqrt[5]{\frac{x + 1}{6}}$

解题步骤 3.5.2

将 $\sqrt[5]{\frac{x + 1}{6}}$ 重写为 $\frac{\sqrt[5]{x + 1}}{\sqrt[5]{6}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 1}}{\sqrt[5]{6}}$

解题步骤 3.5.3

将 $\frac{\sqrt[5]{x + 1}}{\sqrt[5]{6}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[5]{6}}^{4}}{{\sqrt[5]{6}}^{4}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 1}}{\sqrt[5]{6}} \cdot \frac{{\sqrt[5]{6}}^{4}}{{\sqrt[5]{6}}^{4}}$

解题步骤 3.5.4

合并和化简分母。

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解题步骤 3.5.4.1

将 $\frac{\sqrt[5]{x + 1}}{\sqrt[5]{6}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[5]{6}}^{4}}{{\sqrt[5]{6}}^{4}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 1} {\sqrt[5]{6}}^{4}}{\sqrt[5]{6} {\sqrt[5]{6}}^{4}}$

解题步骤 3.5.4.2

对 $\sqrt[5]{6}$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 1} {\sqrt[5]{6}}^{4}}{{\sqrt[5]{6}}^{1} {\sqrt[5]{6}}^{4}}$

解题步骤 3.5.4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 1} {\sqrt[5]{6}}^{4}}{{\sqrt[5]{6}}^{1 + 4}}$

解题步骤 3.5.4.4

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 1} {\sqrt[5]{6}}^{4}}{{\sqrt[5]{6}}^{5}}$

解题步骤 3.5.4.5

将 ${\sqrt[5]{6}}^{5}$ 重写为 $6$ 。

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解题步骤 3.5.4.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[5]{6}$ 重写成 $6^{\frac{1}{5}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 1} {\sqrt[5]{6}}^{4}}{{(6^{\frac{1}{5}})}^{5}}$

解题步骤 3.5.4.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 1} {\sqrt[5]{6}}^{4}}{6^{\frac{1}{5} \cdot 5}}$

解题步骤 3.5.4.5.3

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $5$ 。

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 1} {\sqrt[5]{6}}^{4}}{6^{\frac{5}{5}}}$

解题步骤 3.5.4.5.4

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.4.5.4.1

约去公因数。

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 1} {\sqrt[5]{6}}^{4}}{6^{\frac{5}{5}}}$

解题步骤 3.5.4.5.4.2

重写表达式。

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 1} {\sqrt[5]{6}}^{4}}{6^{1}}$

解题步骤 3.5.4.5.5

计算指数。

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 1} {\sqrt[5]{6}}^{4}}{6}$

解题步骤 3.5.5

化简分子。

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解题步骤 3.5.5.1

将 ${\sqrt[5]{6}}^{4}$ 重写为 $\sqrt[5]{6^{4}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 1} \sqrt[5]{6^{4}}}{6}$

解题步骤 3.5.5.2

对 $6$ 进行 $4$ 次方运算。

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 1} \sqrt[5]{1296}}{6}$

解题步骤 3.5.6

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 3.5.6.1

使用根数乘积法则进行合并。

$y = \frac{\sqrt[5]{(x + 1) \cdot 1296}}{6}$

解题步骤 3.5.6.2

将 $\frac{\sqrt[5]{(x + 1) \cdot 1296}}{6}$ 中的因式重新排序。

$y = \frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}$

解题步骤 4

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}$ 是否为 $f (x) = 6 x^{5} - 1$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (6 x^{5} - 1)$ 。

$f^{- 1} (6 x^{5} - 1) = \frac{\sqrt[5]{1296 ((6 x^{5} - 1) + 1)}}{6}$

解题步骤 5.2.3

化简分子。

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解题步骤 5.2.3.1

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$f^{- 1} (6 x^{5} - 1) = \frac{\sqrt[5]{1296 (6 x^{5} + 0)}}{6}$

解题步骤 5.2.3.2

将 $6 x^{5}$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (6 x^{5} - 1) = \frac{\sqrt[5]{1296 \cdot (6 x^{5})}}{6}$

解题步骤 5.2.3.3

将 $1296$ 乘以 $6$ 。

$f^{- 1} (6 x^{5} - 1) = \frac{\sqrt[5]{7776 x^{5}}}{6}$

解题步骤 5.2.3.4

将 $7776 x^{5}$ 重写为 ${(6 x)}^{5}$ 。

$f^{- 1} (6 x^{5} - 1) = \frac{\sqrt[5]{{(6 x)}^{5}}}{6}$

解题步骤 5.2.3.5

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$f^{- 1} (6 x^{5} - 1) = \frac{6 x}{6}$

解题步骤 5.2.4

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.4.1

约去公因数。

$f^{- 1} (6 x^{5} - 1) = \frac{6 x}{6}$

解题步骤 5.2.4.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (6 x^{5} - 1) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6})$ 。

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = 6 {(\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6})}^{5} - 1$

解题步骤 5.3.3

化简每一项。

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解题步骤 5.3.3.1

对 $\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = 6 (\frac{{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}^{5}}{6^{5}}) - 1$

解题步骤 5.3.3.2

化简分子。

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解题步骤 5.3.3.2.1

将 ${\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}^{5}$ 重写为 $1296 (x + 1)$ 。

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解题步骤 5.3.3.2.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[5]{1296 (x + 1)}$ 重写成 ${(1296 (x + 1))}^{\frac{1}{5}}$ 。

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = 6 (\frac{{({(1296 (x + 1))}^{\frac{1}{5}})}^{5}}{6^{5}}) - 1$

解题步骤 5.3.3.2.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = 6 (\frac{{(1296 (x + 1))}^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{6^{5}}) - 1$

解题步骤 5.3.3.2.1.3

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $5$ 。

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = 6 (\frac{{(1296 (x + 1))}^{\frac{5}{5}}}{6^{5}}) - 1$

解题步骤 5.3.3.2.1.4

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.2.1.4.1

约去公因数。

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = 6 (\frac{{(1296 (x + 1))}^{\frac{5}{5}}}{6^{5}}) - 1$

解题步骤 5.3.3.2.1.4.2

重写表达式。

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = 6 (\frac{1296 (x + 1)}{6^{5}}) - 1$

解题步骤 5.3.3.2.1.5

化简。

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = 6 (\frac{1296 (x + 1)}{6^{5}}) - 1$

解题步骤 5.3.3.2.2

运用分配律。

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = 6 (\frac{1296 x + 1296 \cdot 1}{6^{5}}) - 1$

解题步骤 5.3.3.2.3

将 $1296$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = 6 (\frac{1296 x + 1296}{6^{5}}) - 1$

解题步骤 5.3.3.2.4

从 $1296 x + 1296$ 中分解出因数 $1296$ 。

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解题步骤 5.3.3.2.4.1

从 $1296 x$ 中分解出因数 $1296$ 。

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = 6 (\frac{1296 (x) + 1296}{6^{5}}) - 1$

解题步骤 5.3.3.2.4.2

从 $1296$ 中分解出因数 $1296$ 。

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = 6 (\frac{1296 (x) + 1296 (1)}{6^{5}}) - 1$

解题步骤 5.3.3.2.4.3

从 $1296 (x) + 1296 (1)$ 中分解出因数 $1296$ 。

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = 6 (\frac{1296 (x + 1)}{6^{5}}) - 1$

解题步骤 5.3.3.3

对 $6$ 进行 $5$ 次方运算。

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = 6 (\frac{1296 (x + 1)}{7776}) - 1$

解题步骤 5.3.3.4

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.4.1

从 $7776$ 中分解出因数 $6$ 。

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = 6 (\frac{1296 (x + 1)}{6 (1296)}) - 1$

解题步骤 5.3.3.4.2

约去公因数。

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = 6 (\frac{1296 (x + 1)}{6 \cdot 1296}) - 1$

解题步骤 5.3.3.4.3

重写表达式。

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = \frac{1296 (x + 1)}{1296} - 1$

解题步骤 5.3.3.5

约去 $1296$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.5.1

约去公因数。

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = \frac{1296 (x + 1)}{1296} - 1$

解题步骤 5.3.3.5.2

用 $x + 1$ 除以 $1$ 。

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = x + 1 - 1$

解题步骤 5.3.4

合并 $x + 1 - 1$ 中相反的项。

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解题步骤 5.3.4.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = x + 0$

解题步骤 5.3.4.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}$ 为 $f (x) = 6 x^{5} - 1$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}$

初级微积分 示例

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