初级微积分示例

$f (x) = \frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7$ ; find $f^{- 1} (x)$

解题步骤 1

将 $f (x) = \frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7$ 写为等式。

$y = \frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7$

解题步骤 2

交换变量。

$x = \frac{y^{\frac{1}{3}}}{5} + 7$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $\frac{y^{\frac{1}{3}}}{5} + 7 = x$ 。

$\frac{y^{\frac{1}{3}}}{5} + 7 = x$

解题步骤 3.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.2.1

从等式两边同时减去 $7$ 。

$\frac{y^{\frac{1}{3}}}{5} - x = - 7$

解题步骤 3.2.2

在等式两边都加上 $x$ 。

$\frac{y^{\frac{1}{3}}}{5} = - 7 + x$

解题步骤 3.3

等式两边同时乘以 $5$ 。

$5 \frac{y^{\frac{1}{3}}}{5} = 5 (- 7 + x)$

解题步骤 3.4

化简方程的两边。

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解题步骤 3.4.1

化简左边。

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解题步骤 3.4.1.1

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.1.1.1

约去公因数。

$5 \frac{y^{\frac{1}{3}}}{5} = 5 (- 7 + x)$

解题步骤 3.4.1.1.2

重写表达式。

$y^{\frac{1}{3}} = 5 (- 7 + x)$

解题步骤 3.4.2

化简右边。

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解题步骤 3.4.2.1

化简 $5 (- 7 + x)$ 。

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解题步骤 3.4.2.1.1

运用分配律。

$y^{\frac{1}{3}} = 5 \cdot - 7 + 5 x$

解题步骤 3.4.2.1.2

将 $5$ 乘以 $- 7$ 。

$y^{\frac{1}{3}} = - 35 + 5 x$

解题步骤 3.5

将方程两边同时进行 $3$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 35 + 5 x)}^{3}$

解题步骤 3.6

化简指数。

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解题步骤 3.6.1

化简左边。

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解题步骤 3.6.1.1

化简 ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 。

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解题步骤 3.6.1.1.1

将 ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.6.1.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 35 + 5 x)}^{3}$

解题步骤 3.6.1.1.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.6.1.1.1.2.1

约去公因数。

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 35 + 5 x)}^{3}$

解题步骤 3.6.1.1.1.2.2

重写表达式。

$y^{1} = {(- 35 + 5 x)}^{3}$

解题步骤 3.6.1.1.2

化简。

$y = {(- 35 + 5 x)}^{3}$

解题步骤 3.6.2

化简右边。

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解题步骤 3.6.2.1

化简 ${(- 35 + 5 x)}^{3}$ 。

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解题步骤 3.6.2.1.1

使用二项式定理。

$y = {(- 35)}^{3} + 3 {(- 35)}^{2} (5 x) + 3 \cdot - 35 {(5 x)}^{2} + {(5 x)}^{3}$

解题步骤 3.6.2.1.2

化简每一项。

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解题步骤 3.6.2.1.2.1

对 $- 35$ 进行 $3$ 次方运算。

$y = - 42875 + 3 {(- 35)}^{2} (5 x) + 3 \cdot - 35 {(5 x)}^{2} + {(5 x)}^{3}$

解题步骤 3.6.2.1.2.2

对 $- 35$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = - 42875 + 3 \cdot 1225 (5 x) + 3 \cdot - 35 {(5 x)}^{2} + {(5 x)}^{3}$

解题步骤 3.6.2.1.2.3

将 $3$ 乘以 $1225$ 。

$y = - 42875 + 3675 (5 x) + 3 \cdot - 35 {(5 x)}^{2} + {(5 x)}^{3}$

解题步骤 3.6.2.1.2.4

将 $5$ 乘以 $3675$ 。

$y = - 42875 + 18375 x + 3 \cdot - 35 {(5 x)}^{2} + {(5 x)}^{3}$

解题步骤 3.6.2.1.2.5

将 $3$ 乘以 $- 35$ 。

$y = - 42875 + 18375 x - 105 {(5 x)}^{2} + {(5 x)}^{3}$

解题步骤 3.6.2.1.2.6

对 $5 x$ 运用乘积法则。

$y = - 42875 + 18375 x - 105 (5^{2} x^{2}) + {(5 x)}^{3}$

解题步骤 3.6.2.1.2.7

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = - 42875 + 18375 x - 105 (25 x^{2}) + {(5 x)}^{3}$

解题步骤 3.6.2.1.2.8

将 $25$ 乘以 $- 105$ 。

$y = - 42875 + 18375 x - 2625 x^{2} + {(5 x)}^{3}$

解题步骤 3.6.2.1.2.9

对 $5 x$ 运用乘积法则。

$y = - 42875 + 18375 x - 2625 x^{2} + 5^{3} x^{3}$

解题步骤 3.6.2.1.2.10

对 $5$ 进行 $3$ 次方运算。

$y = - 42875 + 18375 x - 2625 x^{2} + 125 x^{3}$

解题步骤 3.7

化简 $- 42875 + 18375 x - 2625 x^{2} + 125 x^{3}$ 。

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解题步骤 3.7.1

移动 $- 42875$ 。

$y = 18375 x - 2625 x^{2} + 125 x^{3} - 42875$

解题步骤 3.7.2

移动 $18375 x$ 。

$y = - 2625 x^{2} + 125 x^{3} + 18375 x - 42875$

解题步骤 3.7.3

将 $- 2625 x^{2}$ 和 $125 x^{3}$ 重新排序。

$y = 125 x^{3} - 2625 x^{2} + 18375 x - 42875$

解题步骤 4

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = 125 x^{3} - 2625 x^{2} + 18375 x - 42875$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = 125 x^{3} - 2625 x^{2} + 18375 x - 42875$ 是否为 $f (x) = \frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7)$ 。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = 125 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7)}^{3} - 2625 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7)}^{2} + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

解题步骤 5.2.3

化简每一项。

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解题步骤 5.2.3.1

使用二项式定理。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = 125 ({(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5})}^{3} + 3 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5})}^{2} \cdot 7 + 3 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}) \cdot 7^{2} + 7^{3}) - 2625 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7)}^{2} + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

解题步骤 5.2.3.2

化简每一项。

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解题步骤 5.2.3.2.1

对 $\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}$ 运用乘积法则。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = 125 (\frac{{(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}{5^{3}} + 3 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5})}^{2} \cdot 7 + 3 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}) \cdot 7^{2} + 7^{3}) - 2625 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7)}^{2} + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

解题步骤 5.2.3.2.2

化简分子。

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解题步骤 5.2.3.2.2.1

将 ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.3.2.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = 125 (\frac{x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{5^{3}} + 3 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5})}^{2} \cdot 7 + 3 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}) \cdot 7^{2} + 7^{3}) - 2625 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7)}^{2} + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

解题步骤 5.2.3.2.2.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.2.2.1.2.1

约去公因数。

解题步骤 5.2.3.2.2.1.2.2

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = 125 (\frac{x}{5^{3}} + 3 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5})}^{2} \cdot 7 + 3 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}) \cdot 7^{2} + 7^{3}) - 2625 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7)}^{2} + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

解题步骤 5.2.3.2.2.2

化简。

解题步骤 5.2.3.2.3

对 $5$ 进行 $3$ 次方运算。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = 125 (\frac{x}{125} + 3 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5})}^{2} \cdot 7 + 3 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}) \cdot 7^{2} + 7^{3}) - 2625 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7)}^{2} + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

解题步骤 5.2.3.2.4

对 $\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}$ 运用乘积法则。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = 125 (\frac{x}{125} + 3 (\frac{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}{5^{2}}) \cdot 7 + 3 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}) \cdot 7^{2} + 7^{3}) - 2625 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7)}^{2} + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

解题步骤 5.2.3.2.5

将 ${(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.3.2.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = 125 (\frac{x}{125} + 3 (\frac{x^{\frac{1}{3} \cdot 2}}{5^{2}}) \cdot 7 + 3 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}) \cdot 7^{2} + 7^{3}) - 2625 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7)}^{2} + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

解题步骤 5.2.3.2.5.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $2$ 。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = 125 (\frac{x}{125} + 3 (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{5^{2}}) \cdot 7 + 3 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}) \cdot 7^{2} + 7^{3}) - 2625 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7)}^{2} + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

解题步骤 5.2.3.2.6

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = 125 (\frac{x}{125} + 3 (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{25}) \cdot 7 + 3 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}) \cdot 7^{2} + 7^{3}) - 2625 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7)}^{2} + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

解题步骤 5.2.3.2.7

组合 $3$ 和 $\frac{x^{\frac{2}{3}}}{25}$ 。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = 125 (\frac{x}{125} + \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{25} \cdot 7 + 3 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}) \cdot 7^{2} + 7^{3}) - 2625 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7)}^{2} + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

解题步骤 5.2.3.2.8

乘以 $\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{25} \cdot 7$ 。

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解题步骤 5.2.3.2.8.1

组合 $\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{25}$ 和 $7$ 。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = 125 (\frac{x}{125} + \frac{3 x^{\frac{2}{3}} \cdot 7}{25} + 3 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}) \cdot 7^{2} + 7^{3}) - 2625 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7)}^{2} + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

解题步骤 5.2.3.2.8.2

将 $7$ 乘以 $3$ 。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = 125 (\frac{x}{125} + \frac{21 x^{\frac{2}{3}}}{25} + 3 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}) \cdot 7^{2} + 7^{3}) - 2625 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7)}^{2} + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

解题步骤 5.2.3.2.9

组合 $3$ 和 $\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}$ 。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = 125 (\frac{x}{125} + \frac{21 x^{\frac{2}{3}}}{25} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}}}{5} \cdot 7^{2} + 7^{3}) - 2625 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7)}^{2} + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

解题步骤 5.2.3.2.10

对 $7$ 进行 $2$ 次方运算。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = 125 (\frac{x}{125} + \frac{21 x^{\frac{2}{3}}}{25} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}}}{5} \cdot 49 + 7^{3}) - 2625 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7)}^{2} + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

解题步骤 5.2.3.2.11

乘以 $\frac{3 x^{\frac{1}{3}}}{5} \cdot 49$ 。

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解题步骤 5.2.3.2.11.1

组合 $\frac{3 x^{\frac{1}{3}}}{5}$ 和 $49$ 。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = 125 (\frac{x}{125} + \frac{21 x^{\frac{2}{3}}}{25} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} \cdot 49}{5} + 7^{3}) - 2625 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7)}^{2} + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

解题步骤 5.2.3.2.11.2

将 $49$ 乘以 $3$ 。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = 125 (\frac{x}{125} + \frac{21 x^{\frac{2}{3}}}{25} + \frac{147 x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7^{3}) - 2625 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7)}^{2} + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

解题步骤 5.2.3.2.12

对 $7$ 进行 $3$ 次方运算。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = 125 (\frac{x}{125} + \frac{21 x^{\frac{2}{3}}}{25} + \frac{147 x^{\frac{1}{3}}}{5} + 343) - 2625 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7)}^{2} + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

解题步骤 5.2.3.3

运用分配律。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = 125 (\frac{x}{125}) + 125 (\frac{21 x^{\frac{2}{3}}}{25}) + 125 (\frac{147 x^{\frac{1}{3}}}{5}) + 125 \cdot 343 - 2625 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7)}^{2} + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

解题步骤 5.2.3.4

化简。

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解题步骤 5.2.3.4.1

约去 $125$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.4.1.1

约去公因数。

解题步骤 5.2.3.4.1.2

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = x + 125 (\frac{21 x^{\frac{2}{3}}}{25}) + 125 (\frac{147 x^{\frac{1}{3}}}{5}) + 125 \cdot 343 - 2625 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7)}^{2} + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

解题步骤 5.2.3.4.2

约去 $25$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.4.2.1

从 $125$ 中分解出因数 $25$ 。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = x + 25 (5) (\frac{21 x^{\frac{2}{3}}}{25}) + 125 (\frac{147 x^{\frac{1}{3}}}{5}) + 125 \cdot 343 - 2625 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7)}^{2} + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

解题步骤 5.2.3.4.2.2

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = x + 25 \cdot (5 (\frac{21 x^{\frac{2}{3}}}{25})) + 125 (\frac{147 x^{\frac{1}{3}}}{5}) + 125 \cdot 343 - 2625 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7)}^{2} + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

解题步骤 5.2.3.4.2.3

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = x + 5 (21 x^{\frac{2}{3}}) + 125 (\frac{147 x^{\frac{1}{3}}}{5}) + 125 \cdot 343 - 2625 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7)}^{2} + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

解题步骤 5.2.3.4.3

将 $21$ 乘以 $5$ 。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = x + 105 x^{\frac{2}{3}} + 125 (\frac{147 x^{\frac{1}{3}}}{5}) + 125 \cdot 343 - 2625 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7)}^{2} + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

解题步骤 5.2.3.4.4

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.4.4.1

从 $125$ 中分解出因数 $5$ 。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = x + 105 x^{\frac{2}{3}} + 5 (25) (\frac{147 x^{\frac{1}{3}}}{5}) + 125 \cdot 343 - 2625 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7)}^{2} + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

解题步骤 5.2.3.4.4.2

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = x + 105 x^{\frac{2}{3}} + 5 \cdot (25 (\frac{147 x^{\frac{1}{3}}}{5})) + 125 \cdot 343 - 2625 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7)}^{2} + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

解题步骤 5.2.3.4.4.3

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = x + 105 x^{\frac{2}{3}} + 25 (147 x^{\frac{1}{3}}) + 125 \cdot 343 - 2625 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7)}^{2} + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

解题步骤 5.2.3.4.5

将 $147$ 乘以 $25$ 。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = x + 105 x^{\frac{2}{3}} + 3675 x^{\frac{1}{3}} + 125 \cdot 343 - 2625 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7)}^{2} + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

解题步骤 5.2.3.4.6

将 $125$ 乘以 $343$ 。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = x + 105 x^{\frac{2}{3}} + 3675 x^{\frac{1}{3}} + 42875 - 2625 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7)}^{2} + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

解题步骤 5.2.3.5

将 ${(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7)}^{2}$ 重写为 $(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7)$ 。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = x + 105 x^{\frac{2}{3}} + 3675 x^{\frac{1}{3}} + 42875 - 2625 ((\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7)) + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

解题步骤 5.2.3.6

使用 FOIL 方法展开 $(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7)$ 。

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解题步骤 5.2.3.6.1

运用分配律。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = x + 105 x^{\frac{2}{3}} + 3675 x^{\frac{1}{3}} + 42875 - 2625 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} \cdot (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) + 7 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7)) + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

解题步骤 5.2.3.6.2

运用分配律。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = x + 105 x^{\frac{2}{3}} + 3675 x^{\frac{1}{3}} + 42875 - 2625 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} \cdot 7 + 7 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7)) + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

解题步骤 5.2.3.6.3

运用分配律。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = x + 105 x^{\frac{2}{3}} + 3675 x^{\frac{1}{3}} + 42875 - 2625 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} \cdot 7 + 7 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}) + 7 \cdot 7) + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

解题步骤 5.2.3.7

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.2.3.7.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.3.7.1.1

合并。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = x + 105 x^{\frac{2}{3}} + 3675 x^{\frac{1}{3}} + 42875 - 2625 (\frac{x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}}{5 \cdot 5} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} \cdot 7 + 7 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}) + 7 \cdot 7) + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

解题步骤 5.2.3.7.1.2

通过指数相加将 $x^{\frac{1}{3}}$ 乘以 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

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解题步骤 5.2.3.7.1.2.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = x + 105 x^{\frac{2}{3}} + 3675 x^{\frac{1}{3}} + 42875 - 2625 (\frac{x^{\frac{1}{3} + \frac{1}{3}}}{5 \cdot 5} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} \cdot 7 + 7 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}) + 7 \cdot 7) + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

解题步骤 5.2.3.7.1.2.2

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = x + 105 x^{\frac{2}{3}} + 3675 x^{\frac{1}{3}} + 42875 - 2625 (\frac{x^{\frac{1 + 1}{3}}}{5 \cdot 5} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} \cdot 7 + 7 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}) + 7 \cdot 7) + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

解题步骤 5.2.3.7.1.2.3

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = x + 105 x^{\frac{2}{3}} + 3675 x^{\frac{1}{3}} + 42875 - 2625 (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{5 \cdot 5} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} \cdot 7 + 7 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}) + 7 \cdot 7) + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

解题步骤 5.2.3.7.1.3

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = x + 105 x^{\frac{2}{3}} + 3675 x^{\frac{1}{3}} + 42875 - 2625 (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{25} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} \cdot 7 + 7 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}) + 7 \cdot 7) + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

解题步骤 5.2.3.7.1.4

组合 $\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}$ 和 $7$ 。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = x + 105 x^{\frac{2}{3}} + 3675 x^{\frac{1}{3}} + 42875 - 2625 (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{25} + \frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot 7}{5} + 7 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}) + 7 \cdot 7) + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

解题步骤 5.2.3.7.1.5

将 $7$ 移到 $x^{\frac{1}{3}}$ 的左侧。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = x + 105 x^{\frac{2}{3}} + 3675 x^{\frac{1}{3}} + 42875 - 2625 (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{25} + \frac{7 \cdot x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}) + 7 \cdot 7) + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

解题步骤 5.2.3.7.1.6

组合 $7$ 和 $\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}$ 。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = x + 105 x^{\frac{2}{3}} + 3675 x^{\frac{1}{3}} + 42875 - 2625 (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{25} + \frac{7 x^{\frac{1}{3}}}{5} + \frac{7 x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7 \cdot 7) + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

解题步骤 5.2.3.7.1.7

将 $7$ 乘以 $7$ 。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = x + 105 x^{\frac{2}{3}} + 3675 x^{\frac{1}{3}} + 42875 - 2625 (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{25} + \frac{7 x^{\frac{1}{3}}}{5} + \frac{7 x^{\frac{1}{3}}}{5} + 49) + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

解题步骤 5.2.3.7.2

将 $\frac{7 x^{\frac{1}{3}}}{5}$ 和 $\frac{7 x^{\frac{1}{3}}}{5}$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = x + 105 x^{\frac{2}{3}} + 3675 x^{\frac{1}{3}} + 42875 - 2625 (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{25} + 2 (\frac{7 x^{\frac{1}{3}}}{5}) + 49) + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

解题步骤 5.2.3.8

乘以 $2 \frac{7 x^{\frac{1}{3}}}{5}$ 。

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解题步骤 5.2.3.8.1

组合 $2$ 和 $\frac{7 x^{\frac{1}{3}}}{5}$ 。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = x + 105 x^{\frac{2}{3}} + 3675 x^{\frac{1}{3}} + 42875 - 2625 (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{25} + \frac{2 (7 x^{\frac{1}{3}})}{5} + 49) + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

解题步骤 5.2.3.8.2

将 $7$ 乘以 $2$ 。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = x + 105 x^{\frac{2}{3}} + 3675 x^{\frac{1}{3}} + 42875 - 2625 (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{25} + \frac{14 x^{\frac{1}{3}}}{5} + 49) + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

解题步骤 5.2.3.9

运用分配律。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = x + 105 x^{\frac{2}{3}} + 3675 x^{\frac{1}{3}} + 42875 - 2625 \frac{x^{\frac{2}{3}}}{25} - 2625 \frac{14 x^{\frac{1}{3}}}{5} - 2625 \cdot 49 + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

解题步骤 5.2.3.10

化简。

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解题步骤 5.2.3.10.1

约去 $25$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.10.1.1

从 $- 2625$ 中分解出因数 $25$ 。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = x + 105 x^{\frac{2}{3}} + 3675 x^{\frac{1}{3}} + 42875 + 25 (- 105) (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{25}) - 2625 \frac{14 x^{\frac{1}{3}}}{5} - 2625 \cdot 49 + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

解题步骤 5.2.3.10.1.2

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = x + 105 x^{\frac{2}{3}} + 3675 x^{\frac{1}{3}} + 42875 + 25 \cdot (- 105 \frac{x^{\frac{2}{3}}}{25}) - 2625 \frac{14 x^{\frac{1}{3}}}{5} - 2625 \cdot 49 + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

解题步骤 5.2.3.10.1.3

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = x + 105 x^{\frac{2}{3}} + 3675 x^{\frac{1}{3}} + 42875 - 105 x^{\frac{2}{3}} - 2625 \frac{14 x^{\frac{1}{3}}}{5} - 2625 \cdot 49 + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

解题步骤 5.2.3.10.2

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.10.2.1

从 $- 2625$ 中分解出因数 $5$ 。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = x + 105 x^{\frac{2}{3}} + 3675 x^{\frac{1}{3}} + 42875 - 105 x^{\frac{2}{3}} + 5 (- 525) (\frac{14 x^{\frac{1}{3}}}{5}) - 2625 \cdot 49 + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

解题步骤 5.2.3.10.2.2

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = x + 105 x^{\frac{2}{3}} + 3675 x^{\frac{1}{3}} + 42875 - 105 x^{\frac{2}{3}} + 5 \cdot (- 525 \frac{14 x^{\frac{1}{3}}}{5}) - 2625 \cdot 49 + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

解题步骤 5.2.3.10.2.3

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = x + 105 x^{\frac{2}{3}} + 3675 x^{\frac{1}{3}} + 42875 - 105 x^{\frac{2}{3}} - 525 (14 x^{\frac{1}{3}}) - 2625 \cdot 49 + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

解题步骤 5.2.3.10.3

将 $14$ 乘以 $- 525$ 。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = x + 105 x^{\frac{2}{3}} + 3675 x^{\frac{1}{3}} + 42875 - 105 x^{\frac{2}{3}} - 7350 x^{\frac{1}{3}} - 2625 \cdot 49 + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

解题步骤 5.2.3.10.4

将 $- 2625$ 乘以 $49$ 。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = x + 105 x^{\frac{2}{3}} + 3675 x^{\frac{1}{3}} + 42875 - 105 x^{\frac{2}{3}} - 7350 x^{\frac{1}{3}} - 128625 + 18375 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) - 42875$

解题步骤 5.2.3.11

运用分配律。

解题步骤 5.2.3.12

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.12.1

从 $18375$ 中分解出因数 $5$ 。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = x + 105 x^{\frac{2}{3}} + 3675 x^{\frac{1}{3}} + 42875 - 105 x^{\frac{2}{3}} - 7350 x^{\frac{1}{3}} - 128625 + 5 (3675) (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}) + 18375 \cdot 7 - 42875$

解题步骤 5.2.3.12.2

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = x + 105 x^{\frac{2}{3}} + 3675 x^{\frac{1}{3}} + 42875 - 105 x^{\frac{2}{3}} - 7350 x^{\frac{1}{3}} - 128625 + 5 \cdot (3675 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5})) + 18375 \cdot 7 - 42875$

解题步骤 5.2.3.12.3

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = x + 105 x^{\frac{2}{3}} + 3675 x^{\frac{1}{3}} + 42875 - 105 x^{\frac{2}{3}} - 7350 x^{\frac{1}{3}} - 128625 + 3675 x^{\frac{1}{3}} + 18375 \cdot 7 - 42875$

解题步骤 5.2.3.13

将 $18375$ 乘以 $7$ 。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = x + 105 x^{\frac{2}{3}} + 3675 x^{\frac{1}{3}} + 42875 - 105 x^{\frac{2}{3}} - 7350 x^{\frac{1}{3}} - 128625 + 3675 x^{\frac{1}{3}} + 128625 - 42875$

解题步骤 5.2.4

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 5.2.4.1

合并 $x + 105 x^{\frac{2}{3}} + 3675 x^{\frac{1}{3}} + 42875 - 105 x^{\frac{2}{3}} - 7350 x^{\frac{1}{3}} - 128625 + 3675 x^{\frac{1}{3}} + 128625 - 42875$ 中相反的项。

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解题步骤 5.2.4.1.1

从 $105 x^{\frac{2}{3}}$ 中减去 $105 x^{\frac{2}{3}}$ 。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = x + 3675 x^{\frac{1}{3}} + 42875 + 0 - 7350 x^{\frac{1}{3}} - 128625 + 3675 x^{\frac{1}{3}} + 128625 - 42875$

解题步骤 5.2.4.1.2

将 $x + 3675 x^{\frac{1}{3}} + 42875$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = x + 3675 x^{\frac{1}{3}} + 42875 - 7350 x^{\frac{1}{3}} - 128625 + 3675 x^{\frac{1}{3}} + 128625 - 42875$

解题步骤 5.2.4.1.3

将 $- 128625$ 和 $128625$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = x + 3675 x^{\frac{1}{3}} + 42875 - 7350 x^{\frac{1}{3}} + 3675 x^{\frac{1}{3}} + 0 - 42875$

解题步骤 5.2.4.1.4

将 $x + 3675 x^{\frac{1}{3}} + 42875 - 7350 x^{\frac{1}{3}} + 3675 x^{\frac{1}{3}}$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = x + 3675 x^{\frac{1}{3}} + 42875 - 7350 x^{\frac{1}{3}} + 3675 x^{\frac{1}{3}} - 42875$

解题步骤 5.2.4.1.5

从 $42875$ 中减去 $42875$ 。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = x + 3675 x^{\frac{1}{3}} - 7350 x^{\frac{1}{3}} + 3675 x^{\frac{1}{3}} + 0$

解题步骤 5.2.4.1.6

将 $x + 3675 x^{\frac{1}{3}} - 7350 x^{\frac{1}{3}} + 3675 x^{\frac{1}{3}}$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = x + 3675 x^{\frac{1}{3}} - 7350 x^{\frac{1}{3}} + 3675 x^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 5.2.4.2

从 $3675 x^{\frac{1}{3}}$ 中减去 $7350 x^{\frac{1}{3}}$ 。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = x - 3675 x^{\frac{1}{3}} + 3675 x^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 5.2.4.3

合并 $x - 3675 x^{\frac{1}{3}} + 3675 x^{\frac{1}{3}}$ 中相反的项。

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解题步骤 5.2.4.3.1

将 $- 3675 x^{\frac{1}{3}}$ 和 $3675 x^{\frac{1}{3}}$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = x + 0$

解题步骤 5.2.4.3.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (125 x^{3} - 2625 x^{2} + 18375 x - 42875)$ 。

$f (125 x^{3} - 2625 x^{2} + 18375 x - 42875) = \frac{{(125 x^{3} - 2625 x^{2} + 18375 x - 42875)}^{\frac{1}{3}}}{5} + 7$

解题步骤 5.3.3

要将 $7$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$f (125 x^{3} - 2625 x^{2} + 18375 x - 42875) = \frac{{(125 x^{3} - 2625 x^{2} + 18375 x - 42875)}^{\frac{1}{3}}}{5} + 7 \cdot \frac{5}{5}$

解题步骤 5.3.4

组合 $7$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$f (125 x^{3} - 2625 x^{2} + 18375 x - 42875) = \frac{{(125 x^{3} - 2625 x^{2} + 18375 x - 42875)}^{\frac{1}{3}}}{5} + \frac{7 \cdot 5}{5}$

解题步骤 5.3.5

在公分母上合并分子。

$f (125 x^{3} - 2625 x^{2} + 18375 x - 42875) = \frac{{(125 x^{3} - 2625 x^{2} + 18375 x - 42875)}^{\frac{1}{3}} + 7 \cdot 5}{5}$

解题步骤 5.3.6

将 $7$ 乘以 $5$ 。

$f (125 x^{3} - 2625 x^{2} + 18375 x - 42875) = \frac{{(125 x^{3} - 2625 x^{2} + 18375 x - 42875)}^{\frac{1}{3}} + 35}{5}$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = 125 x^{3} - 2625 x^{2} + 18375 x - 42875$ 为 $f (x) = \frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 7$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = 125 x^{3} - 2625 x^{2} + 18375 x - 42875$

初级微积分 示例

初级微积分示例