初级微积分示例

$f (x) = \frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7$ ; find $f^{- 1} (x)$

解题步骤 1

将 $f (x) = \frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7$ 写为等式。

$y = \frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7$

解题步骤 2

交换变量。

$x = \frac{y^{\frac{1}{3}}}{6} + 7$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $\frac{y^{\frac{1}{3}}}{6} + 7 = x$ 。

$\frac{y^{\frac{1}{3}}}{6} + 7 = x$

解题步骤 3.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.2.1

从等式两边同时减去 $7$ 。

$\frac{y^{\frac{1}{3}}}{6} - x = - 7$

解题步骤 3.2.2

在等式两边都加上 $x$ 。

$\frac{y^{\frac{1}{3}}}{6} = - 7 + x$

解题步骤 3.3

等式两边同时乘以 $6$ 。

$6 \frac{y^{\frac{1}{3}}}{6} = 6 (- 7 + x)$

解题步骤 3.4

化简方程的两边。

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解题步骤 3.4.1

化简左边。

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解题步骤 3.4.1.1

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.1.1.1

约去公因数。

$6 \frac{y^{\frac{1}{3}}}{6} = 6 (- 7 + x)$

解题步骤 3.4.1.1.2

重写表达式。

$y^{\frac{1}{3}} = 6 (- 7 + x)$

解题步骤 3.4.2

化简右边。

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解题步骤 3.4.2.1

化简 $6 (- 7 + x)$ 。

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解题步骤 3.4.2.1.1

运用分配律。

$y^{\frac{1}{3}} = 6 \cdot - 7 + 6 x$

解题步骤 3.4.2.1.2

将 $6$ 乘以 $- 7$ 。

$y^{\frac{1}{3}} = - 42 + 6 x$

解题步骤 3.5

将方程两边同时进行 $3$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 42 + 6 x)}^{3}$

解题步骤 3.6

化简指数。

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解题步骤 3.6.1

化简左边。

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解题步骤 3.6.1.1

化简 ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 。

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解题步骤 3.6.1.1.1

将 ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.6.1.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 42 + 6 x)}^{3}$

解题步骤 3.6.1.1.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.6.1.1.1.2.1

约去公因数。

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 42 + 6 x)}^{3}$

解题步骤 3.6.1.1.1.2.2

重写表达式。

$y^{1} = {(- 42 + 6 x)}^{3}$

解题步骤 3.6.1.1.2

化简。

$y = {(- 42 + 6 x)}^{3}$

解题步骤 3.6.2

化简右边。

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解题步骤 3.6.2.1

化简 ${(- 42 + 6 x)}^{3}$ 。

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解题步骤 3.6.2.1.1

使用二项式定理。

$y = {(- 42)}^{3} + 3 {(- 42)}^{2} (6 x) + 3 \cdot - 42 {(6 x)}^{2} + {(6 x)}^{3}$

解题步骤 3.6.2.1.2

化简每一项。

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解题步骤 3.6.2.1.2.1

对 $- 42$ 进行 $3$ 次方运算。

$y = - 74088 + 3 {(- 42)}^{2} (6 x) + 3 \cdot - 42 {(6 x)}^{2} + {(6 x)}^{3}$

解题步骤 3.6.2.1.2.2

对 $- 42$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = - 74088 + 3 \cdot 1764 (6 x) + 3 \cdot - 42 {(6 x)}^{2} + {(6 x)}^{3}$

解题步骤 3.6.2.1.2.3

将 $3$ 乘以 $1764$ 。

$y = - 74088 + 5292 (6 x) + 3 \cdot - 42 {(6 x)}^{2} + {(6 x)}^{3}$

解题步骤 3.6.2.1.2.4

将 $6$ 乘以 $5292$ 。

$y = - 74088 + 31752 x + 3 \cdot - 42 {(6 x)}^{2} + {(6 x)}^{3}$

解题步骤 3.6.2.1.2.5

将 $3$ 乘以 $- 42$ 。

$y = - 74088 + 31752 x - 126 {(6 x)}^{2} + {(6 x)}^{3}$

解题步骤 3.6.2.1.2.6

对 $6 x$ 运用乘积法则。

$y = - 74088 + 31752 x - 126 (6^{2} x^{2}) + {(6 x)}^{3}$

解题步骤 3.6.2.1.2.7

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = - 74088 + 31752 x - 126 (36 x^{2}) + {(6 x)}^{3}$

解题步骤 3.6.2.1.2.8

将 $36$ 乘以 $- 126$ 。

$y = - 74088 + 31752 x - 4536 x^{2} + {(6 x)}^{3}$

解题步骤 3.6.2.1.2.9

对 $6 x$ 运用乘积法则。

$y = - 74088 + 31752 x - 4536 x^{2} + 6^{3} x^{3}$

解题步骤 3.6.2.1.2.10

对 $6$ 进行 $3$ 次方运算。

$y = - 74088 + 31752 x - 4536 x^{2} + 216 x^{3}$

解题步骤 3.7

化简 $- 74088 + 31752 x - 4536 x^{2} + 216 x^{3}$ 。

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解题步骤 3.7.1

移动 $- 74088$ 。

$y = 31752 x - 4536 x^{2} + 216 x^{3} - 74088$

解题步骤 3.7.2

移动 $31752 x$ 。

$y = - 4536 x^{2} + 216 x^{3} + 31752 x - 74088$

解题步骤 3.7.3

将 $- 4536 x^{2}$ 和 $216 x^{3}$ 重新排序。

$y = 216 x^{3} - 4536 x^{2} + 31752 x - 74088$

解题步骤 4

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = 216 x^{3} - 4536 x^{2} + 31752 x - 74088$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = 216 x^{3} - 4536 x^{2} + 31752 x - 74088$ 是否为 $f (x) = \frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7)$ 。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) = 216 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7)}^{3} - 4536 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7)}^{2} + 31752 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) - 74088$

解题步骤 5.2.3

化简每一项。

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解题步骤 5.2.3.1

使用二项式定理。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) = 216 ({(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6})}^{3} + 3 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6})}^{2} \cdot 7 + 3 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6}) \cdot 7^{2} + 7^{3}) - 4536 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7)}^{2} + 31752 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) - 74088$

解题步骤 5.2.3.2

化简每一项。

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解题步骤 5.2.3.2.1

对 $\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6}$ 运用乘积法则。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) = 216 (\frac{{(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}{6^{3}} + 3 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6})}^{2} \cdot 7 + 3 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6}) \cdot 7^{2} + 7^{3}) - 4536 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7)}^{2} + 31752 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) - 74088$

解题步骤 5.2.3.2.2

化简分子。

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解题步骤 5.2.3.2.2.1

将 ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.3.2.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) = 216 (\frac{x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{6^{3}} + 3 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6})}^{2} \cdot 7 + 3 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6}) \cdot 7^{2} + 7^{3}) - 4536 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7)}^{2} + 31752 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) - 74088$

解题步骤 5.2.3.2.2.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.2.2.1.2.1

约去公因数。

解题步骤 5.2.3.2.2.1.2.2

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) = 216 (\frac{x}{6^{3}} + 3 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6})}^{2} \cdot 7 + 3 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6}) \cdot 7^{2} + 7^{3}) - 4536 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7)}^{2} + 31752 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) - 74088$

解题步骤 5.2.3.2.2.2

化简。

解题步骤 5.2.3.2.3

对 $6$ 进行 $3$ 次方运算。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) = 216 (\frac{x}{216} + 3 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6})}^{2} \cdot 7 + 3 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6}) \cdot 7^{2} + 7^{3}) - 4536 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7)}^{2} + 31752 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) - 74088$

解题步骤 5.2.3.2.4

对 $\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6}$ 运用乘积法则。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) = 216 (\frac{x}{216} + 3 (\frac{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}{6^{2}}) \cdot 7 + 3 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6}) \cdot 7^{2} + 7^{3}) - 4536 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7)}^{2} + 31752 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) - 74088$

解题步骤 5.2.3.2.5

将 ${(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.3.2.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) = 216 (\frac{x}{216} + 3 (\frac{x^{\frac{1}{3} \cdot 2}}{6^{2}}) \cdot 7 + 3 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6}) \cdot 7^{2} + 7^{3}) - 4536 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7)}^{2} + 31752 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) - 74088$

解题步骤 5.2.3.2.5.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $2$ 。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) = 216 (\frac{x}{216} + 3 (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{6^{2}}) \cdot 7 + 3 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6}) \cdot 7^{2} + 7^{3}) - 4536 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7)}^{2} + 31752 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) - 74088$

解题步骤 5.2.3.2.6

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) = 216 (\frac{x}{216} + 3 (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{36}) \cdot 7 + 3 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6}) \cdot 7^{2} + 7^{3}) - 4536 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7)}^{2} + 31752 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) - 74088$

解题步骤 5.2.3.2.7

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.2.7.1

从 $36$ 中分解出因数 $3$ 。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) = 216 (\frac{x}{216} + 3 (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 (12)}) \cdot 7 + 3 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6}) \cdot 7^{2} + 7^{3}) - 4536 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7)}^{2} + 31752 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) - 74088$

解题步骤 5.2.3.2.7.2

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) = 216 (\frac{x}{216} + 3 (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 \cdot 12}) \cdot 7 + 3 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6}) \cdot 7^{2} + 7^{3}) - 4536 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7)}^{2} + 31752 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) - 74088$

解题步骤 5.2.3.2.7.3

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) = 216 (\frac{x}{216} + \frac{x^{\frac{2}{3}}}{12} \cdot 7 + 3 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6}) \cdot 7^{2} + 7^{3}) - 4536 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7)}^{2} + 31752 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) - 74088$

解题步骤 5.2.3.2.8

组合 $\frac{x^{\frac{2}{3}}}{12}$ 和 $7$ 。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) = 216 (\frac{x}{216} + \frac{x^{\frac{2}{3}} \cdot 7}{12} + 3 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6}) \cdot 7^{2} + 7^{3}) - 4536 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7)}^{2} + 31752 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) - 74088$

解题步骤 5.2.3.2.9

将 $7$ 移到 $x^{\frac{2}{3}}$ 的左侧。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) = 216 (\frac{x}{216} + \frac{7 \cdot x^{\frac{2}{3}}}{12} + 3 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6}) \cdot 7^{2} + 7^{3}) - 4536 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7)}^{2} + 31752 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) - 74088$

解题步骤 5.2.3.2.10

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.2.10.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) = 216 (\frac{x}{216} + \frac{7 x^{\frac{2}{3}}}{12} + 3 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{3 (2)}) \cdot 7^{2} + 7^{3}) - 4536 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7)}^{2} + 31752 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) - 74088$

解题步骤 5.2.3.2.10.2

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) = 216 (\frac{x}{216} + \frac{7 x^{\frac{2}{3}}}{12} + 3 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{3 \cdot 2}) \cdot 7^{2} + 7^{3}) - 4536 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7)}^{2} + 31752 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) - 74088$

解题步骤 5.2.3.2.10.3

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) = 216 (\frac{x}{216} + \frac{7 x^{\frac{2}{3}}}{12} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{2} \cdot 7^{2} + 7^{3}) - 4536 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7)}^{2} + 31752 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) - 74088$

解题步骤 5.2.3.2.11

对 $7$ 进行 $2$ 次方运算。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) = 216 (\frac{x}{216} + \frac{7 x^{\frac{2}{3}}}{12} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{2} \cdot 49 + 7^{3}) - 4536 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7)}^{2} + 31752 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) - 74088$

解题步骤 5.2.3.2.12

组合 $\frac{x^{\frac{1}{3}}}{2}$ 和 $49$ 。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) = 216 (\frac{x}{216} + \frac{7 x^{\frac{2}{3}}}{12} + \frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot 49}{2} + 7^{3}) - 4536 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7)}^{2} + 31752 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) - 74088$

解题步骤 5.2.3.2.13

将 $49$ 移到 $x^{\frac{1}{3}}$ 的左侧。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) = 216 (\frac{x}{216} + \frac{7 x^{\frac{2}{3}}}{12} + \frac{49 \cdot x^{\frac{1}{3}}}{2} + 7^{3}) - 4536 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7)}^{2} + 31752 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) - 74088$

解题步骤 5.2.3.2.14

对 $7$ 进行 $3$ 次方运算。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) = 216 (\frac{x}{216} + \frac{7 x^{\frac{2}{3}}}{12} + \frac{49 x^{\frac{1}{3}}}{2} + 343) - 4536 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7)}^{2} + 31752 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) - 74088$

解题步骤 5.2.3.3

运用分配律。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) = 216 (\frac{x}{216}) + 216 (\frac{7 x^{\frac{2}{3}}}{12}) + 216 (\frac{49 x^{\frac{1}{3}}}{2}) + 216 \cdot 343 - 4536 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7)}^{2} + 31752 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) - 74088$

解题步骤 5.2.3.4

化简。

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解题步骤 5.2.3.4.1

约去 $216$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.4.1.1

约去公因数。

解题步骤 5.2.3.4.1.2

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) = x + 216 (\frac{7 x^{\frac{2}{3}}}{12}) + 216 (\frac{49 x^{\frac{1}{3}}}{2}) + 216 \cdot 343 - 4536 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7)}^{2} + 31752 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) - 74088$

解题步骤 5.2.3.4.2

约去 $12$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.4.2.1

从 $216$ 中分解出因数 $12$ 。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) = x + 12 (18) (\frac{7 x^{\frac{2}{3}}}{12}) + 216 (\frac{49 x^{\frac{1}{3}}}{2}) + 216 \cdot 343 - 4536 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7)}^{2} + 31752 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) - 74088$

解题步骤 5.2.3.4.2.2

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) = x + 12 \cdot (18 (\frac{7 x^{\frac{2}{3}}}{12})) + 216 (\frac{49 x^{\frac{1}{3}}}{2}) + 216 \cdot 343 - 4536 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7)}^{2} + 31752 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) - 74088$

解题步骤 5.2.3.4.2.3

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) = x + 18 (7 x^{\frac{2}{3}}) + 216 (\frac{49 x^{\frac{1}{3}}}{2}) + 216 \cdot 343 - 4536 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7)}^{2} + 31752 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) - 74088$

解题步骤 5.2.3.4.3

将 $7$ 乘以 $18$ 。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) = x + 126 x^{\frac{2}{3}} + 216 (\frac{49 x^{\frac{1}{3}}}{2}) + 216 \cdot 343 - 4536 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7)}^{2} + 31752 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) - 74088$

解题步骤 5.2.3.4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.4.4.1

从 $216$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) = x + 126 x^{\frac{2}{3}} + 2 (108) (\frac{49 x^{\frac{1}{3}}}{2}) + 216 \cdot 343 - 4536 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7)}^{2} + 31752 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) - 74088$

解题步骤 5.2.3.4.4.2

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) = x + 126 x^{\frac{2}{3}} + 2 \cdot (108 (\frac{49 x^{\frac{1}{3}}}{2})) + 216 \cdot 343 - 4536 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7)}^{2} + 31752 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) - 74088$

解题步骤 5.2.3.4.4.3

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) = x + 126 x^{\frac{2}{3}} + 108 (49 x^{\frac{1}{3}}) + 216 \cdot 343 - 4536 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7)}^{2} + 31752 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) - 74088$

解题步骤 5.2.3.4.5

将 $49$ 乘以 $108$ 。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) = x + 126 x^{\frac{2}{3}} + 5292 x^{\frac{1}{3}} + 216 \cdot 343 - 4536 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7)}^{2} + 31752 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) - 74088$

解题步骤 5.2.3.4.6

将 $216$ 乘以 $343$ 。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) = x + 126 x^{\frac{2}{3}} + 5292 x^{\frac{1}{3}} + 74088 - 4536 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7)}^{2} + 31752 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) - 74088$

解题步骤 5.2.3.5

将 ${(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7)}^{2}$ 重写为 $(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7)$ 。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) = x + 126 x^{\frac{2}{3}} + 5292 x^{\frac{1}{3}} + 74088 - 4536 ((\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7)) + 31752 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) - 74088$

解题步骤 5.2.3.6

使用 FOIL 方法展开 $(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7)$ 。

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解题步骤 5.2.3.6.1

运用分配律。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) = x + 126 x^{\frac{2}{3}} + 5292 x^{\frac{1}{3}} + 74088 - 4536 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} \cdot (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) + 7 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7)) + 31752 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) - 74088$

解题步骤 5.2.3.6.2

运用分配律。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) = x + 126 x^{\frac{2}{3}} + 5292 x^{\frac{1}{3}} + 74088 - 4536 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} \cdot 7 + 7 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7)) + 31752 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) - 74088$

解题步骤 5.2.3.6.3

运用分配律。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) = x + 126 x^{\frac{2}{3}} + 5292 x^{\frac{1}{3}} + 74088 - 4536 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} \cdot 7 + 7 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6}) + 7 \cdot 7) + 31752 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) - 74088$

解题步骤 5.2.3.7

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.2.3.7.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.3.7.1.1

合并。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) = x + 126 x^{\frac{2}{3}} + 5292 x^{\frac{1}{3}} + 74088 - 4536 (\frac{x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}}{6 \cdot 6} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} \cdot 7 + 7 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6}) + 7 \cdot 7) + 31752 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) - 74088$

解题步骤 5.2.3.7.1.2

通过指数相加将 $x^{\frac{1}{3}}$ 乘以 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

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解题步骤 5.2.3.7.1.2.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) = x + 126 x^{\frac{2}{3}} + 5292 x^{\frac{1}{3}} + 74088 - 4536 (\frac{x^{\frac{1}{3} + \frac{1}{3}}}{6 \cdot 6} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} \cdot 7 + 7 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6}) + 7 \cdot 7) + 31752 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) - 74088$

解题步骤 5.2.3.7.1.2.2

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) = x + 126 x^{\frac{2}{3}} + 5292 x^{\frac{1}{3}} + 74088 - 4536 (\frac{x^{\frac{1 + 1}{3}}}{6 \cdot 6} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} \cdot 7 + 7 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6}) + 7 \cdot 7) + 31752 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) - 74088$

解题步骤 5.2.3.7.1.2.3

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) = x + 126 x^{\frac{2}{3}} + 5292 x^{\frac{1}{3}} + 74088 - 4536 (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{6 \cdot 6} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} \cdot 7 + 7 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6}) + 7 \cdot 7) + 31752 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) - 74088$

解题步骤 5.2.3.7.1.3

将 $6$ 乘以 $6$ 。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) = x + 126 x^{\frac{2}{3}} + 5292 x^{\frac{1}{3}} + 74088 - 4536 (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{36} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} \cdot 7 + 7 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6}) + 7 \cdot 7) + 31752 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) - 74088$

解题步骤 5.2.3.7.1.4

组合 $\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6}$ 和 $7$ 。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) = x + 126 x^{\frac{2}{3}} + 5292 x^{\frac{1}{3}} + 74088 - 4536 (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{36} + \frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot 7}{6} + 7 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6}) + 7 \cdot 7) + 31752 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) - 74088$

解题步骤 5.2.3.7.1.5

将 $7$ 移到 $x^{\frac{1}{3}}$ 的左侧。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) = x + 126 x^{\frac{2}{3}} + 5292 x^{\frac{1}{3}} + 74088 - 4536 (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{36} + \frac{7 \cdot x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6}) + 7 \cdot 7) + 31752 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) - 74088$

解题步骤 5.2.3.7.1.6

组合 $7$ 和 $\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6}$ 。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) = x + 126 x^{\frac{2}{3}} + 5292 x^{\frac{1}{3}} + 74088 - 4536 (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{36} + \frac{7 x^{\frac{1}{3}}}{6} + \frac{7 x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7 \cdot 7) + 31752 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) - 74088$

解题步骤 5.2.3.7.1.7

将 $7$ 乘以 $7$ 。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) = x + 126 x^{\frac{2}{3}} + 5292 x^{\frac{1}{3}} + 74088 - 4536 (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{36} + \frac{7 x^{\frac{1}{3}}}{6} + \frac{7 x^{\frac{1}{3}}}{6} + 49) + 31752 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) - 74088$

解题步骤 5.2.3.7.2

将 $\frac{7 x^{\frac{1}{3}}}{6}$ 和 $\frac{7 x^{\frac{1}{3}}}{6}$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) = x + 126 x^{\frac{2}{3}} + 5292 x^{\frac{1}{3}} + 74088 - 4536 (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{36} + 2 (\frac{7 x^{\frac{1}{3}}}{6}) + 49) + 31752 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) - 74088$

解题步骤 5.2.3.8

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.8.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) = x + 126 x^{\frac{2}{3}} + 5292 x^{\frac{1}{3}} + 74088 - 4536 (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{36} + 2 (\frac{7 x^{\frac{1}{3}}}{2 (3)}) + 49) + 31752 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) - 74088$

解题步骤 5.2.3.8.2

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) = x + 126 x^{\frac{2}{3}} + 5292 x^{\frac{1}{3}} + 74088 - 4536 (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{36} + 2 (\frac{7 x^{\frac{1}{3}}}{2 \cdot 3}) + 49) + 31752 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) - 74088$

解题步骤 5.2.3.8.3

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) = x + 126 x^{\frac{2}{3}} + 5292 x^{\frac{1}{3}} + 74088 - 4536 (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{36} + \frac{7 x^{\frac{1}{3}}}{3} + 49) + 31752 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) - 74088$

解题步骤 5.2.3.9

运用分配律。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) = x + 126 x^{\frac{2}{3}} + 5292 x^{\frac{1}{3}} + 74088 - 4536 \frac{x^{\frac{2}{3}}}{36} - 4536 \frac{7 x^{\frac{1}{3}}}{3} - 4536 \cdot 49 + 31752 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) - 74088$

解题步骤 5.2.3.10

化简。

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解题步骤 5.2.3.10.1

约去 $36$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.10.1.1

从 $- 4536$ 中分解出因数 $36$ 。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) = x + 126 x^{\frac{2}{3}} + 5292 x^{\frac{1}{3}} + 74088 + 36 (- 126) (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{36}) - 4536 \frac{7 x^{\frac{1}{3}}}{3} - 4536 \cdot 49 + 31752 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) - 74088$

解题步骤 5.2.3.10.1.2

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) = x + 126 x^{\frac{2}{3}} + 5292 x^{\frac{1}{3}} + 74088 + 36 \cdot (- 126 \frac{x^{\frac{2}{3}}}{36}) - 4536 \frac{7 x^{\frac{1}{3}}}{3} - 4536 \cdot 49 + 31752 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) - 74088$

解题步骤 5.2.3.10.1.3

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) = x + 126 x^{\frac{2}{3}} + 5292 x^{\frac{1}{3}} + 74088 - 126 x^{\frac{2}{3}} - 4536 \frac{7 x^{\frac{1}{3}}}{3} - 4536 \cdot 49 + 31752 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) - 74088$

解题步骤 5.2.3.10.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.10.2.1

从 $- 4536$ 中分解出因数 $3$ 。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) = x + 126 x^{\frac{2}{3}} + 5292 x^{\frac{1}{3}} + 74088 - 126 x^{\frac{2}{3}} + 3 (- 1512) (\frac{7 x^{\frac{1}{3}}}{3}) - 4536 \cdot 49 + 31752 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) - 74088$

解题步骤 5.2.3.10.2.2

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) = x + 126 x^{\frac{2}{3}} + 5292 x^{\frac{1}{3}} + 74088 - 126 x^{\frac{2}{3}} + 3 \cdot (- 1512 \frac{7 x^{\frac{1}{3}}}{3}) - 4536 \cdot 49 + 31752 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) - 74088$

解题步骤 5.2.3.10.2.3

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) = x + 126 x^{\frac{2}{3}} + 5292 x^{\frac{1}{3}} + 74088 - 126 x^{\frac{2}{3}} - 1512 (7 x^{\frac{1}{3}}) - 4536 \cdot 49 + 31752 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) - 74088$

解题步骤 5.2.3.10.3

将 $7$ 乘以 $- 1512$ 。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) = x + 126 x^{\frac{2}{3}} + 5292 x^{\frac{1}{3}} + 74088 - 126 x^{\frac{2}{3}} - 10584 x^{\frac{1}{3}} - 4536 \cdot 49 + 31752 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) - 74088$

解题步骤 5.2.3.10.4

将 $- 4536$ 乘以 $49$ 。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) = x + 126 x^{\frac{2}{3}} + 5292 x^{\frac{1}{3}} + 74088 - 126 x^{\frac{2}{3}} - 10584 x^{\frac{1}{3}} - 222264 + 31752 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) - 74088$

解题步骤 5.2.3.11

运用分配律。

解题步骤 5.2.3.12

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.12.1

从 $31752$ 中分解出因数 $6$ 。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) = x + 126 x^{\frac{2}{3}} + 5292 x^{\frac{1}{3}} + 74088 - 126 x^{\frac{2}{3}} - 10584 x^{\frac{1}{3}} - 222264 + 6 (5292) (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6}) + 31752 \cdot 7 - 74088$

解题步骤 5.2.3.12.2

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) = x + 126 x^{\frac{2}{3}} + 5292 x^{\frac{1}{3}} + 74088 - 126 x^{\frac{2}{3}} - 10584 x^{\frac{1}{3}} - 222264 + 6 \cdot (5292 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6})) + 31752 \cdot 7 - 74088$

解题步骤 5.2.3.12.3

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) = x + 126 x^{\frac{2}{3}} + 5292 x^{\frac{1}{3}} + 74088 - 126 x^{\frac{2}{3}} - 10584 x^{\frac{1}{3}} - 222264 + 5292 x^{\frac{1}{3}} + 31752 \cdot 7 - 74088$

解题步骤 5.2.3.13

将 $31752$ 乘以 $7$ 。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) = x + 126 x^{\frac{2}{3}} + 5292 x^{\frac{1}{3}} + 74088 - 126 x^{\frac{2}{3}} - 10584 x^{\frac{1}{3}} - 222264 + 5292 x^{\frac{1}{3}} + 222264 - 74088$

解题步骤 5.2.4

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 5.2.4.1

合并 $x + 126 x^{\frac{2}{3}} + 5292 x^{\frac{1}{3}} + 74088 - 126 x^{\frac{2}{3}} - 10584 x^{\frac{1}{3}} - 222264 + 5292 x^{\frac{1}{3}} + 222264 - 74088$ 中相反的项。

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解题步骤 5.2.4.1.1

从 $126 x^{\frac{2}{3}}$ 中减去 $126 x^{\frac{2}{3}}$ 。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) = x + 5292 x^{\frac{1}{3}} + 74088 + 0 - 10584 x^{\frac{1}{3}} - 222264 + 5292 x^{\frac{1}{3}} + 222264 - 74088$

解题步骤 5.2.4.1.2

将 $x + 5292 x^{\frac{1}{3}} + 74088$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) = x + 5292 x^{\frac{1}{3}} + 74088 - 10584 x^{\frac{1}{3}} - 222264 + 5292 x^{\frac{1}{3}} + 222264 - 74088$

解题步骤 5.2.4.1.3

将 $- 222264$ 和 $222264$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) = x + 5292 x^{\frac{1}{3}} + 74088 - 10584 x^{\frac{1}{3}} + 5292 x^{\frac{1}{3}} + 0 - 74088$

解题步骤 5.2.4.1.4

将 $x + 5292 x^{\frac{1}{3}} + 74088 - 10584 x^{\frac{1}{3}} + 5292 x^{\frac{1}{3}}$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) = x + 5292 x^{\frac{1}{3}} + 74088 - 10584 x^{\frac{1}{3}} + 5292 x^{\frac{1}{3}} - 74088$

解题步骤 5.2.4.1.5

从 $74088$ 中减去 $74088$ 。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) = x + 5292 x^{\frac{1}{3}} - 10584 x^{\frac{1}{3}} + 5292 x^{\frac{1}{3}} + 0$

解题步骤 5.2.4.1.6

将 $x + 5292 x^{\frac{1}{3}} - 10584 x^{\frac{1}{3}} + 5292 x^{\frac{1}{3}}$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) = x + 5292 x^{\frac{1}{3}} - 10584 x^{\frac{1}{3}} + 5292 x^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 5.2.4.2

从 $5292 x^{\frac{1}{3}}$ 中减去 $10584 x^{\frac{1}{3}}$ 。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) = x - 5292 x^{\frac{1}{3}} + 5292 x^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 5.2.4.3

合并 $x - 5292 x^{\frac{1}{3}} + 5292 x^{\frac{1}{3}}$ 中相反的项。

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解题步骤 5.2.4.3.1

将 $- 5292 x^{\frac{1}{3}}$ 和 $5292 x^{\frac{1}{3}}$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) = x + 0$

解题步骤 5.2.4.3.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (216 x^{3} - 4536 x^{2} + 31752 x - 74088)$ 。

$f (216 x^{3} - 4536 x^{2} + 31752 x - 74088) = \frac{{(216 x^{3} - 4536 x^{2} + 31752 x - 74088)}^{\frac{1}{3}}}{6} + 7$

解题步骤 5.3.3

要将 $7$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$f (216 x^{3} - 4536 x^{2} + 31752 x - 74088) = \frac{{(216 x^{3} - 4536 x^{2} + 31752 x - 74088)}^{\frac{1}{3}}}{6} + 7 \cdot \frac{6}{6}$

解题步骤 5.3.4

组合 $7$ 和 $\frac{6}{6}$ 。

$f (216 x^{3} - 4536 x^{2} + 31752 x - 74088) = \frac{{(216 x^{3} - 4536 x^{2} + 31752 x - 74088)}^{\frac{1}{3}}}{6} + \frac{7 \cdot 6}{6}$

解题步骤 5.3.5

在公分母上合并分子。

$f (216 x^{3} - 4536 x^{2} + 31752 x - 74088) = \frac{{(216 x^{3} - 4536 x^{2} + 31752 x - 74088)}^{\frac{1}{3}} + 7 \cdot 6}{6}$

解题步骤 5.3.6

将 $7$ 乘以 $6$ 。

$f (216 x^{3} - 4536 x^{2} + 31752 x - 74088) = \frac{{(216 x^{3} - 4536 x^{2} + 31752 x - 74088)}^{\frac{1}{3}} + 42}{6}$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = 216 x^{3} - 4536 x^{2} + 31752 x - 74088$ 为 $f (x) = \frac{x^{\frac{1}{3}}}{6} + 7$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = 216 x^{3} - 4536 x^{2} + 31752 x - 74088$

初级微积分 示例

初级微积分示例