初级微积分示例

$\frac{3 (2 x + 7) (x + 8)}{x + 1}$

解题步骤 1

求在何处表达式 $\frac{3 (2 x + 7) (x + 8)}{x + 1}$ 无定义。

$x = - 1$

解题步骤 2

思考一下有理函数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ ，其中 $n$ 是分子的幂， $m$ 是分母的幂。

1. 如果 $n < m$ ，那么 X 轴，即 $y = 0$ 为水平渐近线。

2. 如果 $n = m$ ，那么水平渐近线为直线 $y = \frac{a}{b}$ 。

3. 如果 $n > m$ ，那么水平渐近线不存在（存在一条斜渐近线）。

解题步骤 3

求 $n$ 和 $m$ 。

$n = 2$

$m = 1$

解题步骤 4

因为 $n > m$ ，所以没有水平渐近线。

不存在水平渐近线

解题步骤 5

使用多项式除法求斜渐近线。

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解题步骤 5.1

化简分子。

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解题步骤 5.1.1

从 $6 x^{2} + 69 x + 168$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 5.1.1.1

从 $6 x^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (2 x^{2}) + 69 x + 168}{x + 1}$

解题步骤 5.1.1.2

从 $69 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (2 x^{2}) + 3 (23 x) + 168}{x + 1}$

解题步骤 5.1.1.3

从 $168$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (2 x^{2}) + 3 (23 x) + 3 (56)}{x + 1}$

解题步骤 5.1.1.4

从 $3 (2 x^{2}) + 3 (23 x)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (2 x^{2} + 23 x) + 3 (56)}{x + 1}$

解题步骤 5.1.1.5

从 $3 (2 x^{2} + 23 x) + 3 (56)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (2 x^{2} + 23 x + 56)}{x + 1}$

解题步骤 5.1.2

分组因式分解。

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解题步骤 5.1.2.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 2 \cdot 56 = 112$ 并且它们的和为 $b = 23$ 。

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解题步骤 5.1.2.1.1

从 $23 x$ 中分解出因数 $23$ 。

$\frac{3 (2 x^{2} + 23 (x) + 56)}{x + 1}$

解题步骤 5.1.2.1.2

把 $23$ 重写为 $7$ 加 $16$

$\frac{3 (2 x^{2} + (7 + 16) x + 56)}{x + 1}$

解题步骤 5.1.2.1.3

运用分配律。

$\frac{3 (2 x^{2} + 7 x + 16 x + 56)}{x + 1}$

解题步骤 5.1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 5.1.2.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{3 ((2 x^{2} + 7 x) + 16 x + 56)}{x + 1}$

解题步骤 5.1.2.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{3 (x (2 x + 7) + 8 (2 x + 7))}{x + 1}$

解题步骤 5.1.2.3

通过因式分解出最大公因数 $2 x + 7$ 来因式分解多项式。

$\frac{3 ((2 x + 7) (x + 8))}{x + 1}$

$\frac{3 (2 x + 7) (x + 8)}{x + 1}$

解题步骤 5.2

展开 $3 (2 x + 7) (x + 8)$ 。

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解题步骤 5.2.1

运用分配律。

$\frac{(3 (2 x) + 3 \cdot 7) (x + 8)}{x + 1}$

解题步骤 5.2.2

运用分配律。

$\frac{3 (2 x) (x + 8) + 3 \cdot (7 (x + 8))}{x + 1}$

解题步骤 5.2.3

运用分配律。

$\frac{3 (2 x) x + 3 (2 x) \cdot 8 + 3 \cdot (7 (x + 8))}{x + 1}$

解题步骤 5.2.4

运用分配律。

$\frac{3 (2 x) x + 3 (2 x) \cdot 8 + 3 \cdot (7 x) + 3 \cdot 7 \cdot 8}{x + 1}$

解题步骤 5.2.5

去掉圆括号。

$\frac{3 \cdot (2 x \cdot x) + 3 (2 x) \cdot 8 + 3 \cdot (7 x) + 3 \cdot 7 \cdot 8}{x + 1}$

解题步骤 5.2.6

去掉圆括号。

$\frac{3 \cdot (2 x \cdot x) + 3 \cdot (2 x) \cdot 8 + 3 \cdot (7 x) + 3 \cdot 7 \cdot 8}{x + 1}$

解题步骤 5.2.7

移动 $x$ 。

$\frac{3 \cdot (2 x \cdot x) + 3 \cdot 2 \cdot (8 x) + 3 \cdot (7 x) + 3 \cdot 7 \cdot 8}{x + 1}$

解题步骤 5.2.8

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{6 x \cdot x + 3 \cdot 2 \cdot (8 x) + 3 \cdot (7 x) + 3 \cdot 7 \cdot 8}{x + 1}$

解题步骤 5.2.9

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{6 (x \cdot x) + 3 \cdot 2 \cdot (8 x) + 3 \cdot (7 x) + 3 \cdot 7 \cdot 8}{x + 1}$

解题步骤 5.2.10

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{6 (x \cdot x) + 3 \cdot 2 \cdot (8 x) + 3 \cdot (7 x) + 3 \cdot 7 \cdot 8}{x + 1}$

解题步骤 5.2.11

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{6 x^{1 + 1} + 3 \cdot 2 \cdot (8 x) + 3 \cdot (7 x) + 3 \cdot 7 \cdot 8}{x + 1}$

解题步骤 5.2.12

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{6 x^{2} + 3 \cdot 2 \cdot (8 x) + 3 \cdot (7 x) + 3 \cdot 7 \cdot 8}{x + 1}$

解题步骤 5.2.13

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{6 x^{2} + 6 \cdot (8 x) + 3 \cdot (7 x) + 3 \cdot 7 \cdot 8}{x + 1}$

解题步骤 5.2.14

将 $6$ 乘以 $8$ 。

$\frac{6 x^{2} + 48 x + 3 \cdot (7 x) + 3 \cdot 7 \cdot 8}{x + 1}$

解题步骤 5.2.15

将 $3$ 乘以 $7$ 。

$\frac{6 x^{2} + 48 x + 21 x + 3 \cdot 7 \cdot 8}{x + 1}$

解题步骤 5.2.16

将 $3$ 乘以 $7$ 。

$\frac{6 x^{2} + 48 x + 21 x + 21 \cdot 8}{x + 1}$

解题步骤 5.2.17

将 $21$ 乘以 $8$ 。

$\frac{6 x^{2} + 48 x + 21 x + 168}{x + 1}$

解题步骤 5.2.18

将 $48 x$ 和 $21 x$ 相加。

$\frac{6 x^{2} + 69 x + 168}{x + 1}$

解题步骤 5.3

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$1$

$6 x^{2}$

$69 x$

$168$

解题步骤 5.4

将被除数中的最高阶项 $6 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$6 x$
	$x$	+	$1$		$6 x^{2}$	+	$69 x$	+	$168$

解题步骤 5.5

将新的商式项乘以除数。

				$6 x$
$x$	+	$1$		$6 x^{2}$	+	$69 x$	+	$168$
			+	$6 x^{2}$	+	$6 x$

解题步骤 5.6

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $6 x^{2} + 6 x$ 中的所有符号

				$6 x$
$x$	+	$1$		$6 x^{2}$	+	$69 x$	+	$168$
			-	$6 x^{2}$	-	$6 x$

解题步骤 5.7

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$6 x$
$x$	+	$1$		$6 x^{2}$	+	$69 x$	+	$168$
			-	$6 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$63 x$

解题步骤 5.8

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$6 x$
$x$	+	$1$		$6 x^{2}$	+	$69 x$	+	$168$
			-	$6 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$63 x$	+	$168$

解题步骤 5.9

将被除数中的最高阶项 $63 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$6 x$	+	$63$
$x$	+	$1$		$6 x^{2}$	+	$69 x$	+	$168$
			-	$6 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$63 x$	+	$168$

解题步骤 5.10

将新的商式项乘以除数。

				$6 x$	+	$63$
$x$	+	$1$		$6 x^{2}$	+	$69 x$	+	$168$
			-	$6 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$63 x$	+	$168$
					+	$63 x$	+	$63$

解题步骤 5.11

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $63 x + 63$ 中的所有符号

				$6 x$	+	$63$
$x$	+	$1$		$6 x^{2}$	+	$69 x$	+	$168$
			-	$6 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$63 x$	+	$168$
					-	$63 x$	-	$63$

解题步骤 5.12

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$6 x$	+	$63$
$x$	+	$1$		$6 x^{2}$	+	$69 x$	+	$168$
			-	$6 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$63 x$	+	$168$
					-	$63 x$	-	$63$
							+	$105$

解题步骤 5.13

最终答案为商加上余数除以除数。

$6 x + 63 + \frac{105}{x + 1}$

解题步骤 5.14

斜渐近线是长除法结果的多项式部分。

$y = 6 x + 63$

解题步骤 6

这是所有渐近线的集合。

垂直渐近线： $x = - 1$

不存在水平渐近线

斜渐近线： $y = 6 x + 63$

解题步骤 7

初级微积分 示例

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