初级微积分示例

$f (x) = \sqrt{x - \sqrt{x + 2}}$

解题步骤 1

将 $\sqrt{x + 2}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$x + 2 \geq 0$

解题步骤 2

从不等式两边同时减去 $2$ 。

$x \geq - 2$

解题步骤 3

将 $\sqrt{x - \sqrt{x + 2}}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$x - \sqrt{x + 2} \geq 0$

解题步骤 4

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

从不等式两边同时减去 $x$ 。

$- \sqrt{x + 2} \geq - x$

解题步骤 4.2

要去掉不等式左边的根式，请对不等式两边进行立方。

${(- \sqrt{x + 2})}^{2} \geq {(- x)}^{2}$

解题步骤 4.3

化简不等式的两边。

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解题步骤 4.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x + 2}$ 重写成 ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${(- {(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- x)}^{2}$

解题步骤 4.3.2

化简左边。

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解题步骤 4.3.2.1

化简 ${(- {(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 4.3.2.1.1

对 $- {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 运用乘积法则。

${(- 1)}^{2} {({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- x)}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$1 {({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- x)}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.3

将 ${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 乘以 $1$ 。

${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- x)}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.4

将 ${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.3.2.1.4.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- x)}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.4.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.2.1.4.2.1

约去公因数。

${(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- x)}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.4.2.2

重写表达式。

${(x + 2)}^{1} \geq {(- x)}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.5

化简。

$x + 2 \geq {(- x)}^{2}$

解题步骤 4.3.3

化简右边。

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解题步骤 4.3.3.1

化简 ${(- x)}^{2}$ 。

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解题步骤 4.3.3.1.1

对 $- x$ 运用乘积法则。

$x + 2 \geq {(- 1)}^{2} x^{2}$

解题步骤 4.3.3.1.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$x + 2 \geq 1 x^{2}$

解题步骤 4.3.3.1.3

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$x + 2 \geq x^{2}$

解题步骤 4.4

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.4.1

从不等式两边同时减去 $x^{2}$ 。

$x + 2 - x^{2} \geq 0$

解题步骤 4.4.2

把不等式转换成方程。

$x + 2 - x^{2} = 0$

解题步骤 4.4.3

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 4.4.3.1

从 $x + 2 - x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

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解题步骤 4.4.3.1.1

将表达式重新排序。

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解题步骤 4.4.3.1.1.1

移动 $2$ 。

$x - x^{2} + 2 = 0$

解题步骤 4.4.3.1.1.2

将 $x$ 和 $- x^{2}$ 重新排序。

$- x^{2} + x + 2 = 0$

解题步骤 4.4.3.1.2

从 $- x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (x^{2}) + x + 2 = 0$

解题步骤 4.4.3.1.3

从 $x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (x^{2}) - 1 (- x) + 2 = 0$

解题步骤 4.4.3.1.4

将 $2$ 重写为 $- 1 (- 2)$ 。

$- (x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 2 = 0$

解题步骤 4.4.3.1.5

从 $- (x^{2}) - 1 (- x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (x^{2} - x) - 1 \cdot - 2 = 0$

解题步骤 4.4.3.1.6

从 $- (x^{2} - x) - 1 (- 2)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (x^{2} - x - 2) = 0$

解题步骤 4.4.3.2

因数。

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解题步骤 4.4.3.2.1

使用 AC 法来对 $x^{2} - x - 2$ 进行因式分解。

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解题步骤 4.4.3.2.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 2$ ，和为 $- 1$ 。

$- 2, 1$

解题步骤 4.4.3.2.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$- ((x - 2) (x + 1)) = 0$

解题步骤 4.4.3.2.2

去掉多余的括号。

$- (x - 2) (x + 1) = 0$

解题步骤 4.4.4

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0$

解题步骤 4.4.5

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.4.5.1

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

解题步骤 4.4.5.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

解题步骤 4.4.6

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.4.6.1

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

解题步骤 4.4.6.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x = - 1$

解题步骤 4.4.7

最终解为使 $- (x - 2) (x + 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = 2, - 1$

解题步骤 4.5

求 $x - \sqrt{x + 2}$ 的定义域。

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解题步骤 4.5.1

将 $\sqrt{x + 2}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$x + 2 \geq 0$

解题步骤 4.5.2

从不等式两边同时减去 $2$ 。

$x \geq - 2$

解题步骤 4.5.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

$[- 2, \infty)$

解题步骤 4.6

解由使等式成立的所有区间组成。

$x \geq 2$

解题步骤 5

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$[2, \infty)$

集合符号：

${x | x \geq 2}$

解题步骤 6

初级微积分 示例

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