初级微积分示例

$f (x) = \frac{x^{3} + 4 x^{2} - 21 x}{x^{2} + 4 x - 21}$

解题步骤 1

求在何处表达式 $\frac{x^{3} + 4 x^{2} - 21 x}{x^{2} + 4 x - 21}$ 无定义。

$x = - 7, x = 3$

解题步骤 2

垂直渐近线出现在无穷不连续点的所在区域。

不存在垂直渐近线

解题步骤 3

思考一下有理函数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ ，其中 $n$ 是分子的幂， $m$ 是分母的幂。

1. 如果 $n < m$ ，那么 X 轴，即 $y = 0$ 为水平渐近线。

2. 如果 $n = m$ ，那么水平渐近线为直线 $y = \frac{a}{b}$ 。

3. 如果 $n > m$ ，那么水平渐近线不存在（存在一条斜渐近线）。

解题步骤 4

求 $n$ 和 $m$ 。

$n = 3$

$m = 2$

解题步骤 5

因为 $n > m$ ，所以没有水平渐近线。

不存在水平渐近线

解题步骤 6

使用多项式除法求斜渐近线。

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解题步骤 6.1

化简表达式。

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解题步骤 6.1.1

化简分子。

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解题步骤 6.1.1.1

从 $x^{3} + 4 x^{2} - 21 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 6.1.1.1.1

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x \cdot x^{2} + 4 x^{2} - 21 x}{x^{2} + 4 x - 21}$

解题步骤 6.1.1.1.2

从 $4 x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x \cdot x^{2} + x (4 x) - 21 x}{x^{2} + 4 x - 21}$

解题步骤 6.1.1.1.3

从 $- 21 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x \cdot x^{2} + x (4 x) + x \cdot - 21}{x^{2} + 4 x - 21}$

解题步骤 6.1.1.1.4

从 $x \cdot x^{2} + x (4 x)$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (x^{2} + 4 x) + x \cdot - 21}{x^{2} + 4 x - 21}$

解题步骤 6.1.1.1.5

从 $x (x^{2} + 4 x) + x \cdot - 21$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (x^{2} + 4 x - 21)}{x^{2} + 4 x - 21}$

解题步骤 6.1.1.2

使用 AC 法来对 $x^{2} + 4 x - 21$ 进行因式分解。

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解题步骤 6.1.1.2.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 21$ ，和为 $4$ 。

$- 3, 7$

解题步骤 6.1.1.2.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{x ((x - 3) (x + 7))}{x^{2} + 4 x - 21}$

$\frac{x (x - 3) (x + 7)}{x^{2} + 4 x - 21}$

解题步骤 6.1.2

使用 AC 法来对 $x^{2} + 4 x - 21$ 进行因式分解。

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解题步骤 6.1.2.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 21$ ，和为 $4$ 。

$- 3, 7$

解题步骤 6.1.2.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{x (x - 3) (x + 7)}{(x - 3) (x + 7)}$

解题步骤 6.1.3

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 6.1.3.1

约去 $x - 3$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.3.1.1

约去公因数。

$\frac{x (x - 3) (x + 7)}{(x - 3) (x + 7)}$

解题步骤 6.1.3.1.2

重写表达式。

$\frac{x (x + 7)}{x + 7}$

解题步骤 6.1.3.2

约去 $x + 7$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.3.2.1

约去公因数。

$\frac{x (x + 7)}{x + 7}$

解题步骤 6.1.3.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x$

解题步骤 6.2

由于进行多项式除法后没有多项式部分剩余，所以不存在斜渐近线。

不存在斜渐近线

解题步骤 7

这是所有渐近线的集合。

不存在垂直渐近线

不存在水平渐近线

不存在斜渐近线

解题步骤 8

初级微积分 示例

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