初级微积分示例

$\frac{3 (x - 1) (x + 1)}{2 (x - 1)}$

解题步骤 1

求在何处表达式 $\frac{3 (x - 1) (x + 1)}{2 (x - 1)}$ 无定义。

$x = 1$

解题步骤 2

垂直渐近线出现在无穷不连续点的所在区域。

不存在垂直渐近线

解题步骤 3

思考一下有理函数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ ，其中 $n$ 是分子的幂， $m$ 是分母的幂。

1. 如果 $n < m$ ，那么 X 轴，即 $y = 0$ 为水平渐近线。

2. 如果 $n = m$ ，那么水平渐近线为直线 $y = \frac{a}{b}$ 。

3. 如果 $n > m$ ，那么水平渐近线不存在（存在一条斜渐近线）。

解题步骤 4

求 $n$ 和 $m$ 。

$n = 2$

$m = 1$

解题步骤 5

因为 $n > m$ ，所以没有水平渐近线。

不存在水平渐近线

解题步骤 6

使用多项式除法求斜渐近线。

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解题步骤 6.1

化简表达式。

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解题步骤 6.1.1

化简分子。

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解题步骤 6.1.1.1

从 $3 x^{2} - 3$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 6.1.1.1.1

从 $3 x^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (x^{2}) - 3}{2 x - 2}$

解题步骤 6.1.1.1.2

从 $- 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (x^{2}) + 3 (- 1)}{2 x - 2}$

解题步骤 6.1.1.1.3

从 $3 (x^{2}) + 3 (- 1)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (x^{2} - 1)}{2 x - 2}$

解题步骤 6.1.1.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{3 (x^{2} - 1^{2})}{2 x - 2}$

解题步骤 6.1.1.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{3 (x + 1) (x - 1)}{2 x - 2}$

解题步骤 6.1.2

化简项。

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解题步骤 6.1.2.1

从 $2 x - 2$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 6.1.2.1.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{3 (x + 1) (x - 1)}{2 (x) - 2}$

解题步骤 6.1.2.1.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{3 (x + 1) (x - 1)}{2 (x) + 2 (- 1)}$

解题步骤 6.1.2.1.3

从 $2 (x) + 2 (- 1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{3 (x + 1) (x - 1)}{2 (x - 1)}$

解题步骤 6.1.2.2

约去 $x - 1$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.2.2.1

约去公因数。

$\frac{3 (x + 1) (x - 1)}{2 (x - 1)}$

解题步骤 6.1.2.2.2

重写表达式。

$\frac{3 (x + 1)}{2}$

解题步骤 6.2

展开 $3 (x + 1)$ 。

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解题步骤 6.2.1

运用分配律。

$\frac{3 x + 3 \cdot 1}{2}$

解题步骤 6.2.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 x + 3}{2}$

解题步骤 6.3

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$2$

$3 x$

$3$

解题步骤 6.4

将被除数中的最高阶项 $3 x$ 除以除数中的最高阶项 $2$ 。

			$\frac{3 x}{2}$
	$2$		$3 x$	+	$3$

解题步骤 6.5

将新的商式项乘以除数。

		$\frac{3 x}{2}$
$2$		$3 x$	+	$3$
	+	$3 x$

解题步骤 6.6

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $3 x$ 中的所有符号

		$\frac{3 x}{2}$
$2$		$3 x$	+	$3$
	-	$3 x$

解题步骤 6.7

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

		$\frac{3 x}{2}$
$2$		$3 x$	+	$3$
	-	$3 x$
		$0$

解题步骤 6.8

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

		$\frac{3 x}{2}$
$2$		$3 x$	+	$3$
	-	$3 x$
		$0$	+	$3$

解题步骤 6.9

最终答案为商加上余数除以除数。

$\frac{3 x}{2} + \frac{3}{2}$

解题步骤 6.10

斜渐近线是长除法结果的多项式部分。

$y = \frac{3 x}{2}$

解题步骤 7

这是所有渐近线的集合。

不存在垂直渐近线

不存在水平渐近线

斜渐近线： $y = \frac{3 x}{2}$

解题步骤 8

初级微积分 示例

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