初级微积分示例

$f (x) = 5 x^{3} + 5$ ; find $f^{- 1} (x)$

解题步骤 1

将 $f (x) = 5 x^{3} + 5$ 写为等式。

$y = 5 x^{3} + 5$

解题步骤 2

交换变量。

$x = 5 y^{3} + 5$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $5 y^{3} + 5 = x$ 。

$5 y^{3} + 5 = x$

解题步骤 3.2

从等式两边同时减去 $5$ 。

$5 y^{3} = x - 5$

解题步骤 3.3

将 $5 y^{3} = x - 5$ 中的每一项除以 $5$ 并化简。

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解题步骤 3.3.1

将 $5 y^{3} = x - 5$ 中的每一项都除以 $5$ 。

$\frac{5 y^{3}}{5} = \frac{x}{5} + \frac{- 5}{5}$

解题步骤 3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.1

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{5 y^{3}}{5} = \frac{x}{5} + \frac{- 5}{5}$

解题步骤 3.3.2.1.2

用 $y^{3}$ 除以 $1$ 。

$y^{3} = \frac{x}{5} + \frac{- 5}{5}$

解题步骤 3.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.3.1

用 $- 5$ 除以 $5$ 。

$y^{3} = \frac{x}{5} - 1$

解题步骤 3.4

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{5} - 1}$

解题步骤 3.5

化简 $\sqrt[3]{\frac{x}{5} - 1}$ 。

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解题步骤 3.5.1

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}$

解题步骤 3.5.2

组合 $- 1$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}$

解题步骤 3.5.3

在公分母上合并分子。

$y = \sqrt[3]{\frac{x - 1 \cdot 5}{5}}$

解题步骤 3.5.4

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$y = \sqrt[3]{\frac{x - 5}{5}}$

解题步骤 3.5.5

将 $\sqrt[3]{\frac{x - 5}{5}}$ 重写为 $\frac{\sqrt[3]{x - 5}}{\sqrt[3]{5}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5}}{\sqrt[3]{5}}$

解题步骤 3.5.6

将 $\frac{\sqrt[3]{x - 5}}{\sqrt[3]{5}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5}}{\sqrt[3]{5}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$

解题步骤 3.5.7

合并和化简分母。

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解题步骤 3.5.7.1

将 $\frac{\sqrt[3]{x - 5}}{\sqrt[3]{5}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{\sqrt[3]{5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}$

解题步骤 3.5.7.2

对 $\sqrt[3]{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{1} {\sqrt[3]{5}}^{2}}$

解题步骤 3.5.7.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{1 + 2}}$

解题步骤 3.5.7.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{3}}$

解题步骤 3.5.7.5

将 ${\sqrt[3]{5}}^{3}$ 重写为 $5$ 。

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解题步骤 3.5.7.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{5}$ 重写成 $5^{\frac{1}{3}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{(5^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

解题步骤 3.5.7.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

解题步骤 3.5.7.5.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{\frac{3}{3}}}$

解题步骤 3.5.7.5.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.7.5.4.1

约去公因数。

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{\frac{3}{3}}}$

解题步骤 3.5.7.5.4.2

重写表达式。

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{1}}$

解题步骤 3.5.7.5.5

计算指数。

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5}$

解题步骤 3.5.8

化简分子。

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解题步骤 3.5.8.1

将 ${\sqrt[3]{5}}^{2}$ 重写为 $\sqrt[3]{5^{2}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5} \sqrt[3]{5^{2}}}{5}$

解题步骤 3.5.8.2

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5} \sqrt[3]{25}}{5}$

解题步骤 3.5.9

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 3.5.9.1

使用根数乘积法则进行合并。

$y = \frac{\sqrt[3]{(x - 5) \cdot 25}}{5}$

解题步骤 3.5.9.2

将 $\frac{\sqrt[3]{(x - 5) \cdot 25}}{5}$ 中的因式重新排序。

$y = \frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}$

解题步骤 4

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}$ 是否为 $f (x) = 5 x^{3} + 5$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (5 x^{3} + 5)$ 。

$f^{- 1} (5 x^{3} + 5) = \frac{\sqrt[3]{25 ((5 x^{3} + 5) - 5)}}{5}$

解题步骤 5.2.3

化简分子。

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解题步骤 5.2.3.1

从 $5$ 中减去 $5$ 。

$f^{- 1} (5 x^{3} + 5) = \frac{\sqrt[3]{25 (5 x^{3} + 0)}}{5}$

解题步骤 5.2.3.2

将 $5 x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (5 x^{3} + 5) = \frac{\sqrt[3]{25 \cdot (5 x^{3})}}{5}$

解题步骤 5.2.3.3

将 $25$ 乘以 $5$ 。

$f^{- 1} (5 x^{3} + 5) = \frac{\sqrt[3]{125 x^{3}}}{5}$

解题步骤 5.2.3.4

将 $125 x^{3}$ 重写为 ${(5 x)}^{3}$ 。

$f^{- 1} (5 x^{3} + 5) = \frac{\sqrt[3]{{(5 x)}^{3}}}{5}$

解题步骤 5.2.3.5

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$f^{- 1} (5 x^{3} + 5) = \frac{5 x}{5}$

解题步骤 5.2.4

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.4.1

约去公因数。

$f^{- 1} (5 x^{3} + 5) = \frac{5 x}{5}$

解题步骤 5.2.4.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (5 x^{3} + 5) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5})$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 {(\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5})}^{3} + 5$

解题步骤 5.3.3

化简每一项。

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解题步骤 5.3.3.1

对 $\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}^{3}}{5^{3}}) + 5$

解题步骤 5.3.3.2

化简分子。

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解题步骤 5.3.3.2.1

将 ${\sqrt[3]{25 (x - 5)}}^{3}$ 重写为 $25 (x - 5)$ 。

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解题步骤 5.3.3.2.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{25 (x - 5)}$ 重写成 ${(25 (x - 5))}^{\frac{1}{3}}$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{{({(25 (x - 5))}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{5^{3}}) + 5$

解题步骤 5.3.3.2.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{{(25 (x - 5))}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{5^{3}}) + 5$

解题步骤 5.3.3.2.1.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{{(25 (x - 5))}^{\frac{3}{3}}}{5^{3}}) + 5$

解题步骤 5.3.3.2.1.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.2.1.4.1

约去公因数。

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{{(25 (x - 5))}^{\frac{3}{3}}}{5^{3}}) + 5$

解题步骤 5.3.3.2.1.4.2

重写表达式。

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{25 (x - 5)}{5^{3}}) + 5$

解题步骤 5.3.3.2.1.5

化简。

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{25 (x - 5)}{5^{3}}) + 5$

解题步骤 5.3.3.2.2

运用分配律。

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{25 x + 25 \cdot - 5}{5^{3}}) + 5$

解题步骤 5.3.3.2.3

将 $25$ 乘以 $- 5$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{25 x - 125}{5^{3}}) + 5$

解题步骤 5.3.3.2.4

从 $25 x - 125$ 中分解出因数 $25$ 。

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解题步骤 5.3.3.2.4.1

从 $25 x$ 中分解出因数 $25$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{25 (x) - 125}{5^{3}}) + 5$

解题步骤 5.3.3.2.4.2

从 $- 125$ 中分解出因数 $25$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{25 x + 25 \cdot - 5}{5^{3}}) + 5$

解题步骤 5.3.3.2.4.3

从 $25 x + 25 \cdot - 5$ 中分解出因数 $25$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{25 (x - 5)}{5^{3}}) + 5$

解题步骤 5.3.3.3

对 $5$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{25 (x - 5)}{125}) + 5$

解题步骤 5.3.3.4

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.4.1

从 $125$ 中分解出因数 $5$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{25 (x - 5)}{5 (25)}) + 5$

解题步骤 5.3.3.4.2

约去公因数。

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{25 (x - 5)}{5 \cdot 25}) + 5$

解题步骤 5.3.3.4.3

重写表达式。

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = \frac{25 (x - 5)}{25} + 5$

解题步骤 5.3.3.5

约去 $25$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.5.1

约去公因数。

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = \frac{25 (x - 5)}{25} + 5$

解题步骤 5.3.3.5.2

用 $x - 5$ 除以 $1$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = x - 5 + 5$

解题步骤 5.3.4

合并 $x - 5 + 5$ 中相反的项。

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解题步骤 5.3.4.1

将 $- 5$ 和 $5$ 相加。

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = x + 0$

解题步骤 5.3.4.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}$ 为 $f (x) = 5 x^{3} + 5$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}$

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