初级微积分示例

$\log_{5} (5^{x + 1} - 20) = x$

解题步骤 1

将 $\log_{5} (5^{x + 1} - 20)$ 中的参数设为大于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$5^{x + 1} - 20 > 0$

解题步骤 2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

在不等式两边同时加上 $20$ 。

$5^{x + 1} > 20$

解题步骤 2.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (5^{x + 1}) > \ln (20)$

解题步骤 2.3

通过将 $x + 1$ 移到对数外来展开 $\ln (5^{x + 1})$ 。

$(x + 1) \ln (5) > \ln (20)$

解题步骤 2.4

化简左边。

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解题步骤 2.4.1

化简 $(x + 1) \ln (5)$ 。

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解题步骤 2.4.1.1

运用分配律。

$x \ln (5) + 1 \ln (5) > \ln (20)$

解题步骤 2.4.1.2

将 $\ln (5)$ 乘以 $1$ 。

$x \ln (5) + \ln (5) > \ln (20)$

解题步骤 2.5

将所有包含对数的项移到等式左边。

$x \ln (5) + \ln (5) - \ln (20) = 0$

解题步骤 2.6

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$x \ln (5) + \ln (\frac{5}{20}) = 0$

解题步骤 2.7

约去 $5$ 和 $20$ 的公因数。

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解题步骤 2.7.1

从 $5$ 中分解出因数 $5$ 。

$x \ln (5) + \ln (\frac{5 (1)}{20}) = 0$

解题步骤 2.7.2

约去公因数。

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解题步骤 2.7.2.1

从 $20$ 中分解出因数 $5$ 。

$x \ln (5) + \ln (\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 4}) = 0$

解题步骤 2.7.2.2

约去公因数。

$x \ln (5) + \ln (\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 4}) = 0$

解题步骤 2.7.2.3

重写表达式。

$x \ln (5) + \ln (\frac{1}{4}) = 0$

解题步骤 2.8

从等式两边同时减去 $\ln (\frac{1}{4})$ 。

$x \ln (5) = - \ln (\frac{1}{4})$

解题步骤 2.9

将 $x \ln (5) = - \ln (\frac{1}{4})$ 中的每一项除以 $\ln (5)$ 并化简。

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解题步骤 2.9.1

将 $x \ln (5) = - \ln (\frac{1}{4})$ 中的每一项都除以 $\ln (5)$ 。

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{- \ln (\frac{1}{4})}{\ln (5)}$

解题步骤 2.9.2

化简左边。

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解题步骤 2.9.2.1

约去 $\ln (5)$ 的公因数。

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解题步骤 2.9.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{- \ln (\frac{1}{4})}{\ln (5)}$

解题步骤 2.9.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- \ln (\frac{1}{4})}{\ln (5)}$

解题步骤 2.9.3

化简右边。

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解题步骤 2.9.3.1

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{\ln (\frac{1}{4})}{\ln (5)}$

解题步骤 2.10

解由使等式成立的所有区间组成。

$x > - \frac{\ln (\frac{1}{4})}{\ln (5)}$

解题步骤 3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$(- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{\ln (5)}, \infty)$

集合符号：

${x | x > - \frac{\ln (\frac{1}{4})}{\ln (5)}}$

解题步骤 4

初级微积分 示例

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