初级微积分示例

$\frac{a^{2} - b^{2}}{a^{2} - a + a b - b}$

解题步骤 1

将 $\frac{a^{2} - b^{2}}{a^{2} - a + a b - b}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$a^{2} - a + a b - b = 0$

解题步骤 2

求解 $a$ 。

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解题步骤 2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 2.2

将 $a = 1$ 、 $b = - 1 + b$ 和 $c = - b$ 的值代入二次公式中并求解 $a$ 。

$\frac{- (- 1 + b) \pm \sqrt{{(- 1 + b)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- b))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3

化简。

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解题步骤 2.3.1

化简分子。

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解题步骤 2.3.1.1

运用分配律。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{{(- 1 + b)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{{(- 1 + b)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.1.3

将 ${(- 1 + b)}^{2}$ 重写为 $(- 1 + b) (- 1 + b)$ 。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{(- 1 + b) (- 1 + b) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.1.4

使用 FOIL 方法展开 $(- 1 + b) (- 1 + b)$ 。

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解题步骤 2.3.1.4.1

运用分配律。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{- 1 (- 1 + b) + b (- 1 + b) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.1.4.2

运用分配律。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 b + b (- 1 + b) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.1.4.3

运用分配律。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 b + b \cdot - 1 + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.1.5

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.3.1.5.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.1.5.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 1 b + b \cdot - 1 + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.1.5.1.2

将 $- 1 b$ 重写为 $- b$ 。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b + b \cdot - 1 + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.1.5.1.3

将 $- 1$ 移到 $b$ 的左侧。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b - 1 \cdot b + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.1.5.1.4

将 $- 1 b$ 重写为 $- b$ 。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b - b + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.1.5.1.5

将 $b$ 乘以 $b$ 。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b - b + b^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.1.5.2

从 $- b$ 中减去 $b$ 。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 2 b + b^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.1.6

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ 。

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解题步骤 2.3.1.6.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 2 b + b^{2} - 4 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.1.6.2

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 2 b + b^{2} + 4 b}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.1.7

将 $- 2 b$ 和 $4 b$ 相加。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 + b^{2} + 2 b}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.1.8

重新排序项。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{b^{2} + 2 b + 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.1.9

使用完全平方法则进行因式分解。

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解题步骤 2.3.1.9.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{b^{2} + 2 b + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.1.9.2

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$2 b = 2 \cdot b \cdot 1$

解题步骤 2.3.1.9.3

重写多项式。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{b^{2} + 2 \cdot b \cdot 1 + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.1.9.4

使用完全平方三项式法则对 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 进行因式分解，其中 $a = b$ 和 $b = 1$ 。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{{(b + 1)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.1.10

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$a = \frac{1 - b \pm (b + 1)}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$a = \frac{1 - b \pm (b + 1)}{2}$

解题步骤 2.4

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 2.4.1

化简分子。

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解题步骤 2.4.1.1

运用分配律。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{{(- 1 + b)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{{(- 1 + b)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.1.3

将 ${(- 1 + b)}^{2}$ 重写为 $(- 1 + b) (- 1 + b)$ 。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{(- 1 + b) (- 1 + b) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.1.4

使用 FOIL 方法展开 $(- 1 + b) (- 1 + b)$ 。

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解题步骤 2.4.1.4.1

运用分配律。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{- 1 (- 1 + b) + b (- 1 + b) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.1.4.2

运用分配律。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 b + b (- 1 + b) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.1.4.3

运用分配律。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 b + b \cdot - 1 + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.1.5

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.4.1.5.1

化简每一项。

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解题步骤 2.4.1.5.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 1 b + b \cdot - 1 + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.1.5.1.2

将 $- 1 b$ 重写为 $- b$ 。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b + b \cdot - 1 + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.1.5.1.3

将 $- 1$ 移到 $b$ 的左侧。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b - 1 \cdot b + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.1.5.1.4

将 $- 1 b$ 重写为 $- b$ 。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b - b + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.1.5.1.5

将 $b$ 乘以 $b$ 。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b - b + b^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.1.5.2

从 $- b$ 中减去 $b$ 。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 2 b + b^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.1.6

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ 。

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解题步骤 2.4.1.6.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 2 b + b^{2} - 4 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.1.6.2

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 2 b + b^{2} + 4 b}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.1.7

将 $- 2 b$ 和 $4 b$ 相加。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 + b^{2} + 2 b}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.1.8

重新排序项。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{b^{2} + 2 b + 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.1.9

使用完全平方法则进行因式分解。

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解题步骤 2.4.1.9.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{b^{2} + 2 b + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.1.9.2

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$2 b = 2 \cdot b \cdot 1$

解题步骤 2.4.1.9.3

重写多项式。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{b^{2} + 2 \cdot b \cdot 1 + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.1.9.4

使用完全平方三项式法则对 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 进行因式分解，其中 $a = b$ 和 $b = 1$ 。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{{(b + 1)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.1.10

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$a = \frac{1 - b \pm (b + 1)}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$a = \frac{1 - b \pm (b + 1)}{2}$

解题步骤 2.4.3

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$a = \frac{1 - b + b + 1}{2}$

解题步骤 2.4.4

化简分子。

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解题步骤 2.4.4.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$a = \frac{- b + b + 2}{2}$

解题步骤 2.4.4.2

将 $- b$ 和 $b$ 相加。

$a = \frac{0 + 2}{2}$

解题步骤 2.4.4.3

将 $0$ 和 $2$ 相加。

$a = \frac{2}{2}$

解题步骤 2.4.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$a = 1$

解题步骤 2.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 2.5.1

化简分子。

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解题步骤 2.5.1.1

运用分配律。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{{(- 1 + b)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{{(- 1 + b)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.1.3

将 ${(- 1 + b)}^{2}$ 重写为 $(- 1 + b) (- 1 + b)$ 。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{(- 1 + b) (- 1 + b) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.1.4

使用 FOIL 方法展开 $(- 1 + b) (- 1 + b)$ 。

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解题步骤 2.5.1.4.1

运用分配律。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{- 1 (- 1 + b) + b (- 1 + b) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.1.4.2

运用分配律。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 b + b (- 1 + b) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.1.4.3

运用分配律。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 b + b \cdot - 1 + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.1.5

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.5.1.5.1

化简每一项。

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解题步骤 2.5.1.5.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 1 b + b \cdot - 1 + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.1.5.1.2

将 $- 1 b$ 重写为 $- b$ 。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b + b \cdot - 1 + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.1.5.1.3

将 $- 1$ 移到 $b$ 的左侧。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b - 1 \cdot b + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.1.5.1.4

将 $- 1 b$ 重写为 $- b$ 。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b - b + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.1.5.1.5

将 $b$ 乘以 $b$ 。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b - b + b^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.1.5.2

从 $- b$ 中减去 $b$ 。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 2 b + b^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.1.6

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ 。

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解题步骤 2.5.1.6.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 2 b + b^{2} - 4 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.1.6.2

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 2 b + b^{2} + 4 b}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.1.7

将 $- 2 b$ 和 $4 b$ 相加。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 + b^{2} + 2 b}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.1.8

重新排序项。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{b^{2} + 2 b + 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.1.9

使用完全平方法则进行因式分解。

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解题步骤 2.5.1.9.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{b^{2} + 2 b + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.1.9.2

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$2 b = 2 \cdot b \cdot 1$

解题步骤 2.5.1.9.3

重写多项式。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{b^{2} + 2 \cdot b \cdot 1 + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.1.9.4

使用完全平方三项式法则对 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 进行因式分解，其中 $a = b$ 和 $b = 1$ 。

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{{(b + 1)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.1.10

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$a = \frac{1 - b \pm (b + 1)}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$a = \frac{1 - b \pm (b + 1)}{2}$

解题步骤 2.5.3

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$a = \frac{1 - b - (b + 1)}{2}$

解题步骤 2.5.4

化简分子。

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解题步骤 2.5.4.1

运用分配律。

$a = \frac{1 - b - b - 1 \cdot 1}{2}$

解题步骤 2.5.4.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$a = \frac{1 - b - b - 1}{2}$

解题步骤 2.5.4.3

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$a = \frac{- b - b + 0}{2}$

解题步骤 2.5.4.4

将 $- b - b$ 和 $0$ 相加。

$a = \frac{- b - b}{2}$

解题步骤 2.5.4.5

从 $- b$ 中减去 $b$ 。

$a = \frac{- 2 b}{2}$

解题步骤 2.5.5

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.5.1

从 $- 2 b$ 中分解出因数 $2$ 。

$a = \frac{2 (- b)}{2}$

解题步骤 2.5.5.2

约去公因数。

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解题步骤 2.5.5.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$a = \frac{2 (- b)}{2 (1)}$

解题步骤 2.5.5.2.2

约去公因数。

$a = \frac{2 (- b)}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.5.2.3

重写表达式。

$a = \frac{- b}{1}$

解题步骤 2.5.5.2.4

用 $- b$ 除以 $1$ 。

$a = - b$

解题步骤 2.6

最终答案为两个解的组合。

$a = 1$

$a = - b$

$a = 1$

$a = - b$

解题步骤 3

定义域为使表达式有定义的所有值 $a$ 。

区间计数法：

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

集合符号：

${a | a \neq 1}$

初级微积分 示例

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