初级微积分示例

$g (t) = \frac{\ln (π - | t |)}{\sin (t) - \frac{1}{2}}$

解题步骤 1

将 $\ln (π - | t |)$ 中的参数设为大于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$π - | t | > 0$

解题步骤 2

求解 $t$ 。

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解题步骤 2.1

将 $π - | t | > 0$ 书写为分段式。

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解题步骤 2.1.1

要求第一段的区间，需找到绝对值内为非负的地方。

$t \geq 0$

解题步骤 2.1.2

在 $t$ 为非负数的地方，去掉绝对值。

$π - t > 0$

解题步骤 2.1.3

要求第二段的区间，需找到绝对值内为负的地方。

$t < 0$

解题步骤 2.1.4

在 $t$ 为负的地方，去掉绝对值符号并乘以 $- 1$ 。

$π - - t > 0$

解题步骤 2.1.5

书写为分段式。

${\begin{cases} π - t > 0 & t \geq 0 \\ π - - t > 0 & t < 0 \end{cases}$

解题步骤 2.1.6

乘以 $- - t$ 。

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解题步骤 2.1.6.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

${\begin{cases} π - t > 0 & t \geq 0 \\ π + 1 t > 0 & t < 0 \end{cases}$

解题步骤 2.1.6.2

将 $t$ 乘以 $1$ 。

${\begin{cases} π - t > 0 & t \geq 0 \\ π + t > 0 & t < 0 \end{cases}$

解题步骤 2.2

当 $t \geq 0$ 时求解 $π - t > 0$ 。

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解题步骤 2.2.1

求解 $t$ 的 $π - t > 0$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

从不等式两边同时减去 $π$ 。

$- t > - π$

解题步骤 2.2.1.2

将 $- t > - π$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 2.2.1.2.1

将 $- t > - π$ 中的每一项除以 $- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$\frac{- t}{- 1} < \frac{- π}{- 1}$

解题步骤 2.2.1.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.1.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{t}{1} < \frac{- π}{- 1}$

解题步骤 2.2.1.2.2.2

用 $t$ 除以 $1$ 。

$t < \frac{- π}{- 1}$

解题步骤 2.2.1.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.2.1.2.3.1

将两个负数相除得到一个正数。

$t < \frac{π}{1}$

解题步骤 2.2.1.2.3.2

用 $π$ 除以 $1$ 。

$t < π$

解题步骤 2.2.2

求 $t < π$ 和 $t \geq 0$ 的交点。

$0 \leq t < π$

解题步骤 2.3

当 $t < 0$ 时求解 $π + t > 0$ 。

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解题步骤 2.3.1

从不等式两边同时减去 $π$ 。

$t > - π$

解题步骤 2.3.2

求 $t > - π$ 和 $t < 0$ 的交点。

$- π < t < 0$

解题步骤 2.4

求解的并集。

$- π < t < π$

解题步骤 3

将 $\frac{\ln (π - | t |)}{\sin (t) - \frac{1}{2}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$\sin (t) - \frac{1}{2} = 0$

解题步骤 4

求解 $t$ 。

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解题步骤 4.1

在等式两边都加上 $\frac{1}{2}$ 。

$\sin (t) = \frac{1}{2}$

解题步骤 4.2

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $t$ 。

$t = \arcsin (\frac{1}{2})$

解题步骤 4.3

化简右边。

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解题步骤 4.3.1

$\arcsin (\frac{1}{2})$ 的准确值为 $\frac{π}{6}$ 。

$t = \frac{π}{6}$

解题步骤 4.4

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$t = π - \frac{π}{6}$

解题步骤 4.5

化简 $π - \frac{π}{6}$ 。

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解题步骤 4.5.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$t = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

解题步骤 4.5.2

合并分数。

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解题步骤 4.5.2.1

组合 $π$ 和 $\frac{6}{6}$ 。

$t = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

解题步骤 4.5.2.2

在公分母上合并分子。

$t = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

解题步骤 4.5.3

化简分子。

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解题步骤 4.5.3.1

将 $6$ 移到 $π$ 的左侧。

$t = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

解题步骤 4.5.3.2

从 $6 π$ 中减去 $π$ 。

$t = \frac{5 π}{6}$

解题步骤 4.6

求 $\sin (t)$ 的周期。

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解题步骤 4.6.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 4.6.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 4.6.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 4.6.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 4.7

$\sin (t)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$t = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5

定义域为使表达式有定义的所有值 $t$ 。

集合符号：

${t | - π < t < π, t \neq \frac{π}{6} + 2 π n, t \neq \frac{5 π}{6} + 2 π n}$

解题步骤 6

初级微积分 示例

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