初级微积分示例

$f (x) = 6 x^{\frac{1}{3}} - 2$ ; find $f^{- 1} (x)$

解题步骤 1

求 $f^{- 1} (x)$ 。

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解题步骤 1.1

将 $f (x) = 6 x^{\frac{1}{3}} - 2$ 写为等式。

$y = 6 x^{\frac{1}{3}} - 2$

解题步骤 1.2

交换变量。

$x = 6 y^{\frac{1}{3}} - 2$

解题步骤 1.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 1.3.1

将方程重写为 $6 y^{\frac{1}{3}} - 2 = x$ 。

$6 y^{\frac{1}{3}} - 2 = x$

解题步骤 1.3.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 1.3.2.1

在等式两边都加上 $2$ 。

$6 y^{\frac{1}{3}} - x = 2$

解题步骤 1.3.2.2

在等式两边都加上 $x$ 。

$6 y^{\frac{1}{3}} = 2 + x$

解题步骤 1.3.3

将方程两边同时进行 $3$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${(6 y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(2 + x)}^{3}$

解题步骤 1.3.4

化简指数。

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解题步骤 1.3.4.1

化简左边。

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解题步骤 1.3.4.1.1

化简 ${(6 y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 。

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解题步骤 1.3.4.1.1.1

对 $6 y^{\frac{1}{3}}$ 运用乘积法则。

$6^{3} {(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(2 + x)}^{3}$

解题步骤 1.3.4.1.1.2

对 $6$ 进行 $3$ 次方运算。

$216 {(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(2 + x)}^{3}$

解题步骤 1.3.4.1.1.3

将 ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.3.4.1.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$216 y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(2 + x)}^{3}$

解题步骤 1.3.4.1.1.3.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.4.1.1.3.2.1

约去公因数。

$216 y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(2 + x)}^{3}$

解题步骤 1.3.4.1.1.3.2.2

重写表达式。

$216 y^{1} = {(2 + x)}^{3}$

解题步骤 1.3.4.1.1.4

化简。

$216 y = {(2 + x)}^{3}$

解题步骤 1.3.4.2

化简右边。

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解题步骤 1.3.4.2.1

化简 ${(2 + x)}^{3}$ 。

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解题步骤 1.3.4.2.1.1

使用二项式定理。

$216 y = 2^{3} + 3 \cdot 2^{2} x + 3 \cdot 2 x^{2} + x^{3}$

解题步骤 1.3.4.2.1.2

化简每一项。

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解题步骤 1.3.4.2.1.2.1

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$216 y = 8 + 3 \cdot 2^{2} x + 3 \cdot 2 x^{2} + x^{3}$

解题步骤 1.3.4.2.1.2.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$216 y = 8 + 3 \cdot 4 x + 3 \cdot 2 x^{2} + x^{3}$

解题步骤 1.3.4.2.1.2.3

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$216 y = 8 + 12 x + 3 \cdot 2 x^{2} + x^{3}$

解题步骤 1.3.4.2.1.2.4

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$216 y = 8 + 12 x + 6 x^{2} + x^{3}$

解题步骤 1.3.5

将 $216 y = 8 + 12 x + 6 x^{2} + x^{3}$ 中的每一项除以 $216$ 并化简。

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解题步骤 1.3.5.1

将 $216 y = 8 + 12 x + 6 x^{2} + x^{3}$ 中的每一项都除以 $216$ 。

$\frac{216 y}{216} = \frac{8}{216} + \frac{12 x}{216} + \frac{6 x^{2}}{216} + \frac{x^{3}}{216}$

解题步骤 1.3.5.2

化简左边。

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解题步骤 1.3.5.2.1

约去 $216$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{216 y}{216} = \frac{8}{216} + \frac{12 x}{216} + \frac{6 x^{2}}{216} + \frac{x^{3}}{216}$

解题步骤 1.3.5.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{8}{216} + \frac{12 x}{216} + \frac{6 x^{2}}{216} + \frac{x^{3}}{216}$

解题步骤 1.3.5.3

化简右边。

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解题步骤 1.3.5.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.5.3.1.1

约去 $8$ 和 $216$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.5.3.1.1.1

从 $8$ 中分解出因数 $8$ 。

$y = \frac{8 (1)}{216} + \frac{12 x}{216} + \frac{6 x^{2}}{216} + \frac{x^{3}}{216}$

解题步骤 1.3.5.3.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.3.5.3.1.1.2.1

从 $216$ 中分解出因数 $8$ 。

$y = \frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 27} + \frac{12 x}{216} + \frac{6 x^{2}}{216} + \frac{x^{3}}{216}$

解题步骤 1.3.5.3.1.1.2.2

约去公因数。

$y = \frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 27} + \frac{12 x}{216} + \frac{6 x^{2}}{216} + \frac{x^{3}}{216}$

解题步骤 1.3.5.3.1.1.2.3

重写表达式。

$y = \frac{1}{27} + \frac{12 x}{216} + \frac{6 x^{2}}{216} + \frac{x^{3}}{216}$

解题步骤 1.3.5.3.1.2

约去 $12$ 和 $216$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.5.3.1.2.1

从 $12 x$ 中分解出因数 $12$ 。

$y = \frac{1}{27} + \frac{12 (x)}{216} + \frac{6 x^{2}}{216} + \frac{x^{3}}{216}$

解题步骤 1.3.5.3.1.2.2

约去公因数。

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解题步骤 1.3.5.3.1.2.2.1

从 $216$ 中分解出因数 $12$ 。

$y = \frac{1}{27} + \frac{12 x}{12 \cdot 18} + \frac{6 x^{2}}{216} + \frac{x^{3}}{216}$

解题步骤 1.3.5.3.1.2.2.2

约去公因数。

$y = \frac{1}{27} + \frac{12 x}{12 \cdot 18} + \frac{6 x^{2}}{216} + \frac{x^{3}}{216}$

解题步骤 1.3.5.3.1.2.2.3

重写表达式。

$y = \frac{1}{27} + \frac{x}{18} + \frac{6 x^{2}}{216} + \frac{x^{3}}{216}$

解题步骤 1.3.5.3.1.3

约去 $6$ 和 $216$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.5.3.1.3.1

从 $6 x^{2}$ 中分解出因数 $6$ 。

$y = \frac{1}{27} + \frac{x}{18} + \frac{6 (x^{2})}{216} + \frac{x^{3}}{216}$

解题步骤 1.3.5.3.1.3.2

约去公因数。

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解题步骤 1.3.5.3.1.3.2.1

从 $216$ 中分解出因数 $6$ 。

$y = \frac{1}{27} + \frac{x}{18} + \frac{6 x^{2}}{6 \cdot 36} + \frac{x^{3}}{216}$

解题步骤 1.3.5.3.1.3.2.2

约去公因数。

$y = \frac{1}{27} + \frac{x}{18} + \frac{6 x^{2}}{6 \cdot 36} + \frac{x^{3}}{216}$

解题步骤 1.3.5.3.1.3.2.3

重写表达式。

$y = \frac{1}{27} + \frac{x}{18} + \frac{x^{2}}{36} + \frac{x^{3}}{216}$

解题步骤 1.4

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{27} + \frac{x}{18} + \frac{x^{2}}{36} + \frac{x^{3}}{216}$

解题步骤 1.5

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{1}{27} + \frac{x}{18} + \frac{x^{2}}{36} + \frac{x^{3}}{216}$ 是否为 $f (x) = 6 x^{\frac{1}{3}} - 2$ 的反函数。

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解题步骤 1.5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 1.5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 1.5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 1.5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2)$ 。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{6 x^{\frac{1}{3}} - 2}{18} + \frac{{(6 x^{\frac{1}{3}} - 2)}^{2}}{36} + \frac{{(6 x^{\frac{1}{3}} - 2)}^{3}}{216}$

解题步骤 1.5.2.3

化简项。

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解题步骤 1.5.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.5.2.3.1.1

从 $6 x^{\frac{1}{3}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{2 (3 x^{\frac{1}{3}}) - 2}{18} + \frac{{(6 x^{\frac{1}{3}} - 2)}^{2}}{36} + \frac{{(6 x^{\frac{1}{3}} - 2)}^{3}}{216}$

解题步骤 1.5.2.3.1.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{2 (3 x^{\frac{1}{3}}) + 2 (- 1)}{18} + \frac{{(6 x^{\frac{1}{3}} - 2)}^{2}}{36} + \frac{{(6 x^{\frac{1}{3}} - 2)}^{3}}{216}$

解题步骤 1.5.2.3.1.3

从 $2 (3 x^{\frac{1}{3}}) + 2 (- 1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{2 (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{18} + \frac{{(6 x^{\frac{1}{3}} - 2)}^{2}}{36} + \frac{{(6 x^{\frac{1}{3}} - 2)}^{3}}{216}$

解题步骤 1.5.2.3.1.4

约去公因数。

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解题步骤 1.5.2.3.1.4.1

从 $18$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{2 (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{2 (9)} + \frac{{(6 x^{\frac{1}{3}} - 2)}^{2}}{36} + \frac{{(6 x^{\frac{1}{3}} - 2)}^{3}}{216}$

解题步骤 1.5.2.3.1.4.2

约去公因数。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{2 (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{2 \cdot 9} + \frac{{(6 x^{\frac{1}{3}} - 2)}^{2}}{36} + \frac{{(6 x^{\frac{1}{3}} - 2)}^{3}}{216}$

解题步骤 1.5.2.3.1.4.3

重写表达式。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 1}{9} + \frac{{(6 x^{\frac{1}{3}} - 2)}^{2}}{36} + \frac{{(6 x^{\frac{1}{3}} - 2)}^{3}}{216}$

解题步骤 1.5.2.3.1.5

化简分子。

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解题步骤 1.5.2.3.1.5.1

从 $6 x^{\frac{1}{3}} - 2$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 1.5.2.3.1.5.1.1

从 $6 x^{\frac{1}{3}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 1}{9} + \frac{{(2 (3 x^{\frac{1}{3}}) - 2)}^{2}}{36} + \frac{{(6 x^{\frac{1}{3}} - 2)}^{3}}{216}$

解题步骤 1.5.2.3.1.5.1.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 1}{9} + \frac{{(2 (3 x^{\frac{1}{3}}) + 2 (- 1))}^{2}}{36} + \frac{{(6 x^{\frac{1}{3}} - 2)}^{3}}{216}$

解题步骤 1.5.2.3.1.5.1.3

从 $2 (3 x^{\frac{1}{3}}) + 2 (- 1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 1}{9} + \frac{{(2 (3 x^{\frac{1}{3}} - 1))}^{2}}{36} + \frac{{(6 x^{\frac{1}{3}} - 2)}^{3}}{216}$

解题步骤 1.5.2.3.1.5.2

对 $2 (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)$ 运用乘积法则。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 1}{9} + \frac{2^{2} {(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{2}}{36} + \frac{{(6 x^{\frac{1}{3}} - 2)}^{3}}{216}$

解题步骤 1.5.2.3.1.5.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 1}{9} + \frac{4 {(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{2}}{36} + \frac{{(6 x^{\frac{1}{3}} - 2)}^{3}}{216}$

解题步骤 1.5.2.3.1.6

从 $4 {(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 1}{9} + \frac{4 ({(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{2})}{36} + \frac{{(6 x^{\frac{1}{3}} - 2)}^{3}}{216}$

解题步骤 1.5.2.3.1.7

约去公因数。

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解题步骤 1.5.2.3.1.7.1

从 $36$ 中分解出因数 $4$ 。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 1}{9} + \frac{4 {(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{2}}{4 \cdot 9} + \frac{{(6 x^{\frac{1}{3}} - 2)}^{3}}{216}$

解题步骤 1.5.2.3.1.7.2

约去公因数。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 1}{9} + \frac{4 {(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{2}}{4 \cdot 9} + \frac{{(6 x^{\frac{1}{3}} - 2)}^{3}}{216}$

解题步骤 1.5.2.3.1.7.3

重写表达式。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 1}{9} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{2}}{9} + \frac{{(6 x^{\frac{1}{3}} - 2)}^{3}}{216}$

解题步骤 1.5.2.3.1.8

化简分子。

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解题步骤 1.5.2.3.1.8.1

从 $6 x^{\frac{1}{3}} - 2$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 1.5.2.3.1.8.1.1

从 $6 x^{\frac{1}{3}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 1}{9} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{2}}{9} + \frac{{(2 (3 x^{\frac{1}{3}}) - 2)}^{3}}{216}$

解题步骤 1.5.2.3.1.8.1.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 1}{9} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{2}}{9} + \frac{{(2 (3 x^{\frac{1}{3}}) + 2 (- 1))}^{3}}{216}$

解题步骤 1.5.2.3.1.8.1.3

从 $2 (3 x^{\frac{1}{3}}) + 2 (- 1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 1}{9} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{2}}{9} + \frac{{(2 (3 x^{\frac{1}{3}} - 1))}^{3}}{216}$

解题步骤 1.5.2.3.1.8.2

对 $2 (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)$ 运用乘积法则。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 1}{9} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{2}}{9} + \frac{2^{3} {(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}}{216}$

解题步骤 1.5.2.3.1.8.3

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 1}{9} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{2}}{9} + \frac{8 {(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}}{216}$

解题步骤 1.5.2.3.1.9

从 $8 {(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}$ 中分解出因数 $8$ 。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 1}{9} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{2}}{9} + \frac{8 ({(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3})}{216}$

解题步骤 1.5.2.3.1.10

约去公因数。

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解题步骤 1.5.2.3.1.10.1

从 $216$ 中分解出因数 $8$ 。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 1}{9} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{2}}{9} + \frac{8 {(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}}{8 \cdot 27}$

解题步骤 1.5.2.3.1.10.2

约去公因数。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 1}{9} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{2}}{9} + \frac{8 {(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}}{8 \cdot 27}$

解题步骤 1.5.2.3.1.10.3

重写表达式。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 1}{9} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{2}}{9} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}}{27}$

解题步骤 1.5.2.3.2

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + {(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{2}}{9}$

解题步骤 1.5.2.3.3

化简每一项。

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解题步骤 1.5.2.3.3.1

将 ${(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{2}$ 重写为 $(3 x^{\frac{1}{3}} - 1) (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)$ 。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + (3 x^{\frac{1}{3}} - 1) (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{9}$

解题步骤 1.5.2.3.3.2

使用 FOIL 方法展开 $(3 x^{\frac{1}{3}} - 1) (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)$ 。

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解题步骤 1.5.2.3.3.2.1

运用分配律。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 3 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1) - 1 (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{9}$

解题步骤 1.5.2.3.3.2.2

运用分配律。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 3 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}}) + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot - 1 - 1 (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{9}$

解题步骤 1.5.2.3.3.2.3

运用分配律。

解题步骤 1.5.2.3.3.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.5.2.3.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.5.2.3.3.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 3 \cdot (3 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}) + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot - 1 - 1 (3 x^{\frac{1}{3}}) - 1 \cdot - 1}{9}$

解题步骤 1.5.2.3.3.3.1.2

通过指数相加将 $x^{\frac{1}{3}}$ 乘以 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

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解题步骤 1.5.2.3.3.3.1.2.1

移动 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 3 \cdot (3 (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}})) + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot - 1 - 1 (3 x^{\frac{1}{3}}) - 1 \cdot - 1}{9}$

解题步骤 1.5.2.3.3.3.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 3 \cdot (3 x^{\frac{1}{3} + \frac{1}{3}}) + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot - 1 - 1 (3 x^{\frac{1}{3}}) - 1 \cdot - 1}{9}$

解题步骤 1.5.2.3.3.3.1.2.3

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 3 \cdot (3 x^{\frac{1 + 1}{3}}) + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot - 1 - 1 (3 x^{\frac{1}{3}}) - 1 \cdot - 1}{9}$

解题步骤 1.5.2.3.3.3.1.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 3 \cdot (3 x^{\frac{2}{3}}) + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot - 1 - 1 (3 x^{\frac{1}{3}}) - 1 \cdot - 1}{9}$

解题步骤 1.5.2.3.3.3.1.3

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 9 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot - 1 - 1 (3 x^{\frac{1}{3}}) - 1 \cdot - 1}{9}$

解题步骤 1.5.2.3.3.3.1.4

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 9 x^{\frac{2}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 (3 x^{\frac{1}{3}}) - 1 \cdot - 1}{9}$

解题步骤 1.5.2.3.3.3.1.5

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 9 x^{\frac{2}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 \cdot - 1}{9}$

解题步骤 1.5.2.3.3.3.1.6

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 9 x^{\frac{2}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}} + 1}{9}$

解题步骤 1.5.2.3.3.3.2

从 $- 3 x^{\frac{1}{3}}$ 中减去 $3 x^{\frac{1}{3}}$ 。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 9 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1}{9}$

解题步骤 1.5.2.3.4

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 1.5.2.3.4.1

合并 $3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 9 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1$ 中相反的项。

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解题步骤 1.5.2.3.4.1.1

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} + 9 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 0}{9}$

解题步骤 1.5.2.3.4.1.2

将 $3 x^{\frac{1}{3}} + 9 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}}$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} + 9 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}}}{9}$

解题步骤 1.5.2.3.4.2

从 $3 x^{\frac{1}{3}}$ 中减去 $6 x^{\frac{1}{3}}$ 。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}}{27} + \frac{9 x^{\frac{2}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}}}{9}$

解题步骤 1.5.2.3.5

化简每一项。

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解题步骤 1.5.2.3.5.1

从 $9 x^{\frac{2}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}}$ 中分解出因数 $3 x^{\frac{1}{3}}$ 。

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解题步骤 1.5.2.3.5.1.1

从 $9 x^{\frac{2}{3}}$ 中分解出因数 $3 x^{\frac{1}{3}}$ 。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}}) - 3 x^{\frac{1}{3}}}{9}$

解题步骤 1.5.2.3.5.1.2

从 $- 3 x^{\frac{1}{3}}$ 中分解出因数 $3 x^{\frac{1}{3}}$ 。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}}) + 3 x^{\frac{1}{3}} (- 1)}{9}$

解题步骤 1.5.2.3.5.1.3

从 $3 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}}) + 3 x^{\frac{1}{3}} (- 1)$ 中分解出因数 $3 x^{\frac{1}{3}}$ 。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{9}$

解题步骤 1.5.2.3.5.2

从 $3 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)$ 中分解出因数 $3$ 。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}}{27} + \frac{3 (x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1))}{9}$

解题步骤 1.5.2.3.5.3

约去公因数。

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解题步骤 1.5.2.3.5.3.1

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}}{27} + \frac{3 (x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1))}{3 \cdot 3}$

解题步骤 1.5.2.3.5.3.2

约去公因数。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}}{27} + \frac{3 (x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1))}{3 \cdot 3}$

解题步骤 1.5.2.3.5.3.3

重写表达式。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

解题步骤 1.5.2.3.6

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1 + {(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

解题步骤 1.5.2.3.7

化简每一项。

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解题步骤 1.5.2.3.7.1

化简分子。

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解题步骤 1.5.2.3.7.1.1

将 $1$ 重写为 $1^{3}$ 。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1^{3} + {(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

解题步骤 1.5.2.3.7.1.2

因为两项都是完全立方数，所以使用立方和公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = 3 x^{\frac{1}{3}} - 1$ 。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{(1 + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1) (1^{2} - 1 (3 x^{\frac{1}{3}} - 1) + {(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{2})}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

解题步骤 1.5.2.3.7.1.3

化简。

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解题步骤 1.5.2.3.7.1.3.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{(3 x^{\frac{1}{3}} + 0) (1^{2} - 1 (3 x^{\frac{1}{3}} - 1) + {(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{2})}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

解题步骤 1.5.2.3.7.1.3.2

将 $3 x^{\frac{1}{3}}$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{1}{3}} (1^{2} - 1 (3 x^{\frac{1}{3}} - 1) + {(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{2})}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

解题步骤 1.5.2.3.7.1.3.3

一的任意次幂都为一。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{1}{3}} (1 - 1 (3 x^{\frac{1}{3}} - 1) + {(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{2})}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

解题步骤 1.5.2.3.7.1.3.4

运用分配律。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{1}{3}} (1 - 1 (3 x^{\frac{1}{3}}) - 1 \cdot - 1 + {(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{2})}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

解题步骤 1.5.2.3.7.1.3.5

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{1}{3}} (1 - 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 \cdot - 1 + {(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{2})}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

解题步骤 1.5.2.3.7.1.3.6

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{1}{3}} (1 - 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 + {(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{2})}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

解题步骤 1.5.2.3.7.1.3.7

将 ${(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{2}$ 重写为 $(3 x^{\frac{1}{3}} - 1) (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)$ 。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{1}{3}} (1 - 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 + (3 x^{\frac{1}{3}} - 1) (3 x^{\frac{1}{3}} - 1))}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

解题步骤 1.5.2.3.7.1.3.8

使用 FOIL 方法展开 $(3 x^{\frac{1}{3}} - 1) (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)$ 。

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解题步骤 1.5.2.3.7.1.3.8.1

运用分配律。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{1}{3}} (1 - 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 + 3 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1) - 1 (3 x^{\frac{1}{3}} - 1))}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

解题步骤 1.5.2.3.7.1.3.8.2

运用分配律。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{1}{3}} (1 - 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 + 3 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}}) + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot - 1 - 1 (3 x^{\frac{1}{3}} - 1))}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

解题步骤 1.5.2.3.7.1.3.8.3

运用分配律。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{1}{3}} (1 - 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 + 3 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}}) + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot - 1 - 1 (3 x^{\frac{1}{3}}) - 1 \cdot - 1)}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

解题步骤 1.5.2.3.7.1.3.9

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.5.2.3.7.1.3.9.1

化简每一项。

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解题步骤 1.5.2.3.7.1.3.9.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{1}{3}} (1 - 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 + 3 \cdot (3 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}) + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot - 1 - 1 (3 x^{\frac{1}{3}}) - 1 \cdot - 1)}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

解题步骤 1.5.2.3.7.1.3.9.1.2

通过指数相加将 $x^{\frac{1}{3}}$ 乘以 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

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解题步骤 1.5.2.3.7.1.3.9.1.2.1

移动 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{1}{3}} (1 - 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 + 3 \cdot (3 (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}})) + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot - 1 - 1 (3 x^{\frac{1}{3}}) - 1 \cdot - 1)}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

解题步骤 1.5.2.3.7.1.3.9.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{1}{3}} (1 - 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 + 3 \cdot (3 x^{\frac{1}{3} + \frac{1}{3}}) + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot - 1 - 1 (3 x^{\frac{1}{3}}) - 1 \cdot - 1)}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

解题步骤 1.5.2.3.7.1.3.9.1.2.3

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{1}{3}} (1 - 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 + 3 \cdot (3 x^{\frac{1 + 1}{3}}) + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot - 1 - 1 (3 x^{\frac{1}{3}}) - 1 \cdot - 1)}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

解题步骤 1.5.2.3.7.1.3.9.1.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{1}{3}} (1 - 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 + 3 \cdot (3 x^{\frac{2}{3}}) + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot - 1 - 1 (3 x^{\frac{1}{3}}) - 1 \cdot - 1)}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

解题步骤 1.5.2.3.7.1.3.9.1.3

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{1}{3}} (1 - 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 + 9 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot - 1 - 1 (3 x^{\frac{1}{3}}) - 1 \cdot - 1)}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

解题步骤 1.5.2.3.7.1.3.9.1.4

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{1}{3}} (1 - 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 + 9 x^{\frac{2}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 (3 x^{\frac{1}{3}}) - 1 \cdot - 1)}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

解题步骤 1.5.2.3.7.1.3.9.1.5

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{1}{3}} (1 - 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 + 9 x^{\frac{2}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 \cdot - 1)}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

解题步骤 1.5.2.3.7.1.3.9.1.6

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{1}{3}} (1 - 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 + 9 x^{\frac{2}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}} + 1)}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

解题步骤 1.5.2.3.7.1.3.9.2

从 $- 3 x^{\frac{1}{3}}$ 中减去 $3 x^{\frac{1}{3}}$ 。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{1}{3}} (1 - 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 + 9 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1)}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

解题步骤 1.5.2.3.7.1.3.10

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{1}{3}} (- 3 x^{\frac{1}{3}} + 2 + 9 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1)}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

解题步骤 1.5.2.3.7.1.3.11

从 $- 3 x^{\frac{1}{3}}$ 中减去 $6 x^{\frac{1}{3}}$ 。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{1}{3}} (- 9 x^{\frac{1}{3}} + 2 + 9 x^{\frac{2}{3}} + 1)}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

解题步骤 1.5.2.3.7.1.3.12

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{1}{3}} (- 9 x^{\frac{1}{3}} + 9 x^{\frac{2}{3}} + 3)}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

解题步骤 1.5.2.3.7.1.3.13

重新排序项。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{1}{3}} (9 x^{\frac{2}{3}} - 9 x^{\frac{1}{3}} + 3)}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

解题步骤 1.5.2.3.7.1.3.14

从 $9 x^{\frac{2}{3}} - 9 x^{\frac{1}{3}} + 3$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 1.5.2.3.7.1.3.14.1

从 $9 x^{\frac{2}{3}}$ 中分解出因数 $3$ 。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{1}{3}} (3 (3 x^{\frac{2}{3}}) - 9 x^{\frac{1}{3}} + 3)}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

解题步骤 1.5.2.3.7.1.3.14.2

从 $- 9 x^{\frac{1}{3}}$ 中分解出因数 $3$ 。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{1}{3}} (3 (3 x^{\frac{2}{3}}) + 3 (- 3 x^{\frac{1}{3}}) + 3)}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

解题步骤 1.5.2.3.7.1.3.14.3

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{1}{3}} (3 (3 x^{\frac{2}{3}}) + 3 (- 3 x^{\frac{1}{3}}) + 3 (1))}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

解题步骤 1.5.2.3.7.1.3.14.4

从 $3 (3 x^{\frac{2}{3}}) + 3 (- 3 x^{\frac{1}{3}})$ 中分解出因数 $3$ 。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{1}{3}} (3 (3 x^{\frac{2}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}}) + 3 (1))}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

解题步骤 1.5.2.3.7.1.3.14.5

从 $3 (3 x^{\frac{2}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}}) + 3 (1)$ 中分解出因数 $3$ 。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{1}{3}} (3 (3 x^{\frac{2}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}} + 1))}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{1}{3}} \cdot (3 (3 x^{\frac{2}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}} + 1))}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

解题步骤 1.5.2.3.7.1.3.15

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{9 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}} + 1)}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

解题步骤 1.5.2.3.7.2

从 $9 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}} + 1)$ 中分解出因数 $9$ 。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{9 (x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}} + 1))}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

解题步骤 1.5.2.3.7.3

约去公因数。

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解题步骤 1.5.2.3.7.3.1

从 $27$ 中分解出因数 $9$ 。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{9 (x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}} + 1))}{9 \cdot 3} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

解题步骤 1.5.2.3.7.3.2

约去公因数。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{9 (x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}} + 1))}{9 \cdot 3} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

解题步骤 1.5.2.3.7.3.3

重写表达式。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}} + 1)}{3} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

解题步骤 1.5.2.3.8

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}} + 1) + x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

解题步骤 1.5.2.3.9

化简每一项。

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解题步骤 1.5.2.3.9.1

运用分配律。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}}) + x^{\frac{1}{3}} (- 3 x^{\frac{1}{3}}) + x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

解题步骤 1.5.2.3.9.2

化简。

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解题步骤 1.5.2.3.9.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}} (- 3 x^{\frac{1}{3}}) + x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

解题步骤 1.5.2.3.9.2.2

使用乘法的交换性质重写。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

解题步骤 1.5.2.3.9.2.3

将 $x^{\frac{1}{3}}$ 乘以 $1$ 。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

解题步骤 1.5.2.3.9.3

化简每一项。

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解题步骤 1.5.2.3.9.3.1

通过指数相加将 $x^{\frac{1}{3}}$ 乘以 $x^{\frac{2}{3}}$ 。

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解题步骤 1.5.2.3.9.3.1.1

移动 $x^{\frac{2}{3}}$ 。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}}) - 3 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

解题步骤 1.5.2.3.9.3.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

解题步骤 1.5.2.3.9.3.1.3

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{2 + 1}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

解题步骤 1.5.2.3.9.3.1.4

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{3}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

解题步骤 1.5.2.3.9.3.1.5

用 $3$ 除以 $3$ 。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x - 3 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

解题步骤 1.5.2.3.9.3.2

化简 $3 x^{1}$ 。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x - 3 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

解题步骤 1.5.2.3.9.3.3

通过指数相加将 $x^{\frac{1}{3}}$ 乘以 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

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解题步骤 1.5.2.3.9.3.3.1

移动 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x - 3 (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}) + x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

解题步骤 1.5.2.3.9.3.3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x - 3 x^{\frac{1}{3} + \frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

解题步骤 1.5.2.3.9.3.3.3

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x - 3 x^{\frac{1 + 1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

解题步骤 1.5.2.3.9.3.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x - 3 x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

解题步骤 1.5.2.4

化简分子。

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解题步骤 1.5.2.4.1

从 $3 x - 3 x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

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解题步骤 1.5.2.4.1.1

从 $3 x$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}}) - 3 x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

解题步骤 1.5.2.4.1.2

从 $- 3 x^{\frac{2}{3}}$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}}) + x^{\frac{1}{3}} (- 3 x^{\frac{1}{3}}) + x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

解题步骤 1.5.2.4.1.3

乘以 $1$ 。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}}) + x^{\frac{1}{3}} (- 3 x^{\frac{1}{3}}) + x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

解题步骤 1.5.2.4.1.4

从 $x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}}) + x^{\frac{1}{3}} (- 3 x^{\frac{1}{3}})$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}}) + x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

解题步骤 1.5.2.4.1.5

从 $x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}}) + x^{\frac{1}{3}} \cdot 1$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}} + 1) + x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

解题步骤 1.5.2.4.1.6

从 $x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}} + 1) + x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

解题步骤 1.5.2.4.2

将 $- 3 x^{\frac{1}{3}}$ 和 $3 x^{\frac{1}{3}}$ 相加。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}} + 0 + 1 - 1)}{3}$

解题步骤 1.5.2.4.3

将 $3 x^{\frac{2}{3}}$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}} + 1 - 1)}{3}$

解题步骤 1.5.2.4.4

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}} + 0)}{3}$

解题步骤 1.5.2.4.5

将 $3 x^{\frac{2}{3}}$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot (3 x^{\frac{2}{3}})}{3}$

解题步骤 1.5.2.4.6

合并指数。

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解题步骤 1.5.2.4.6.1

通过指数相加将 $x^{\frac{1}{3}}$ 乘以 $x^{\frac{2}{3}}$ 。

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解题步骤 1.5.2.4.6.1.1

移动 $x^{\frac{2}{3}}$ 。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3}$

解题步骤 1.5.2.4.6.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{x^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 3}{3}$

解题步骤 1.5.2.4.6.1.3

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{x^{\frac{2 + 1}{3}} \cdot 3}{3}$

解题步骤 1.5.2.4.6.1.4

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{x^{\frac{3}{3}} \cdot 3}{3}$

解题步骤 1.5.2.4.6.1.5

用 $3$ 除以 $3$ 。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{x \cdot 3}{3}$

解题步骤 1.5.2.4.6.2

化简 $x^{1} \cdot 3$ 。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{x \cdot 3}{3}$

解题步骤 1.5.2.5

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.2.5.1

约去公因数。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{x \cdot 3}{3}$

解题步骤 1.5.2.5.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = x$

解题步骤 1.5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 1.5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 1.5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\frac{1}{27} + \frac{x}{18} + \frac{x^{2}}{36} + \frac{x^{3}}{216})$ 。

$f (\frac{1}{27} + \frac{x}{18} + \frac{x^{2}}{36} + \frac{x^{3}}{216}) = 6 {(\frac{1}{27} + \frac{x}{18} + \frac{x^{2}}{36} + \frac{x^{3}}{216})}^{\frac{1}{3}} - 2$

解题步骤 1.5.3.3

移动 $\frac{1}{27}$ 。

$f (\frac{1}{27} + \frac{x}{18} + \frac{x^{2}}{36} + \frac{x^{3}}{216}) = 6 {(\frac{x}{18} + \frac{x^{2}}{36} + \frac{x^{3}}{216} + \frac{1}{27})}^{\frac{1}{3}} - 2$

解题步骤 1.5.3.4

移动 $\frac{x}{18}$ 。

$f (\frac{1}{27} + \frac{x}{18} + \frac{x^{2}}{36} + \frac{x^{3}}{216}) = 6 {(\frac{x^{2}}{36} + \frac{x^{3}}{216} + \frac{x}{18} + \frac{1}{27})}^{\frac{1}{3}} - 2$

解题步骤 1.5.3.5

将 $\frac{x^{2}}{36}$ 和 $\frac{x^{3}}{216}$ 重新排序。

$f (\frac{1}{27} + \frac{x}{18} + \frac{x^{2}}{36} + \frac{x^{3}}{216}) = 6 {(\frac{x^{3}}{216} + \frac{x^{2}}{36} + \frac{x}{18} + \frac{1}{27})}^{\frac{1}{3}} - 2$

解题步骤 1.5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{1}{27} + \frac{x}{18} + \frac{x^{2}}{36} + \frac{x^{3}}{216}$ 为 $f (x) = 6 x^{\frac{1}{3}} - 2$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{27} + \frac{x}{18} + \frac{x^{2}}{36} + \frac{x^{3}}{216}$

解题步骤 2

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解题步骤 2.1

移动 $\frac{1}{27}$ 。

$\frac{x}{18} + \frac{x^{2}}{36} + \frac{x^{3}}{216} + \frac{1}{27}$

解题步骤 2.2

移动 $\frac{x}{18}$ 。

$\frac{x^{2}}{36} + \frac{x^{3}}{216} + \frac{x}{18} + \frac{1}{27}$

解题步骤 2.3

将 $\frac{x^{2}}{36}$ 和 $\frac{x^{3}}{216}$ 重新排序。

$\frac{x^{3}}{216} + \frac{x^{2}}{36} + \frac{x}{18} + \frac{1}{27}$

初级微积分 示例

初级微积分示例