初级微积分示例

$\frac{t}{\sqrt{t^{2} - 45}}$

解题步骤 1

将 $\sqrt{t^{2} - 45}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$t^{2} - 45 \geq 0$

解题步骤 2

求解 $t$ 。

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解题步骤 2.1

在不等式两边同时加上 $45$ 。

$t^{2} \geq 45$

解题步骤 2.2

取不等式两边的指定根来消去方程左边的指数。

$\sqrt{t^{2}} \geq \sqrt{45}$

解题步骤 2.3

化简方程。

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解题步骤 2.3.1

化简左边。

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解题步骤 2.3.1.1

从根式下提出各项。

$| t | \geq \sqrt{45}$

解题步骤 2.3.2

化简右边。

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解题步骤 2.3.2.1

化简 $\sqrt{45}$ 。

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解题步骤 2.3.2.1.1

将 $45$ 重写为 $3^{2} \cdot 5$ 。

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解题步骤 2.3.2.1.1.1

从 $45$ 中分解出因数 $9$ 。

$| t | \geq \sqrt{9 (5)}$

解题步骤 2.3.2.1.1.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$| t | \geq \sqrt{3^{2} \cdot 5}$

解题步骤 2.3.2.1.2

从根式下提出各项。

$| t | \geq | 3 | \sqrt{5}$

解题步骤 2.3.2.1.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $3$ 之间的距离为 $3$ 。

$| t | \geq 3 \sqrt{5}$

解题步骤 2.4

将 $| t | \geq 3 \sqrt{5}$ 书写为分段式。

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解题步骤 2.4.1

要求第一段的区间，需找到绝对值内为非负的地方。

$t \geq 0$

解题步骤 2.4.2

在 $t$ 为非负数的地方，去掉绝对值。

$t \geq 3 \sqrt{5}$

解题步骤 2.4.3

要求第二段的区间，需找到绝对值内为负的地方。

$t < 0$

解题步骤 2.4.4

在 $t$ 为负的地方，去掉绝对值符号并乘以 $- 1$ 。

$- t \geq 3 \sqrt{5}$

解题步骤 2.4.5

书写为分段式。

${\begin{cases} t \geq 3 \sqrt{5} & t \geq 0 \\ - t \geq 3 \sqrt{5} & t < 0 \end{cases}$

解题步骤 2.5

求 $t \geq 3 \sqrt{5}$ 和 $t \geq 0$ 的交点。

$t \geq 3 \sqrt{5}$

解题步骤 2.6

将 $- t \geq 3 \sqrt{5}$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 2.6.1

将 $- t \geq 3 \sqrt{5}$ 中的每一项除以 $- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$\frac{- t}{- 1} \leq \frac{3 \sqrt{5}}{- 1}$

解题步骤 2.6.2

化简左边。

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解题步骤 2.6.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{t}{1} \leq \frac{3 \sqrt{5}}{- 1}$

解题步骤 2.6.2.2

用 $t$ 除以 $1$ 。

$t \leq \frac{3 \sqrt{5}}{- 1}$

解题步骤 2.6.3

化简右边。

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解题步骤 2.6.3.1

移动 $\frac{3 \sqrt{5}}{- 1}$ 中分母的负号。

$t \leq - 1 \cdot (3 \sqrt{5})$

解题步骤 2.6.3.2

将 $- 1 \cdot (3 \sqrt{5})$ 重写为 $- (3 \sqrt{5})$ 。

$t \leq - (3 \sqrt{5})$

解题步骤 2.6.3.3

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$t \leq - 3 \sqrt{5}$

解题步骤 2.7

求解的并集。

$t \leq - 3 \sqrt{5}$ 或 $t \geq 3 \sqrt{5}$

解题步骤 3

将 $\frac{t}{\sqrt{t^{2} - 45}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$\sqrt{t^{2} - 45} = 0$

解题步骤 4

求解 $t$ 。

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解题步骤 4.1

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{t^{2} - 45}}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 4.2

化简方程的两边。

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解题步骤 4.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{t^{2} - 45}$ 重写成 ${(t^{2} - 45)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(t^{2} - 45)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 4.2.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.2.1

化简 ${({(t^{2} - 45)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 4.2.2.1.1

将 ${({(t^{2} - 45)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.2.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(t^{2} - 45)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(t^{2} - 45)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(t^{2} - 45)}^{1} = 0^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.2

化简。

$t^{2} - 45 = 0^{2}$

解题步骤 4.2.3

化简右边。

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解题步骤 4.2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$t^{2} - 45 = 0$

解题步骤 4.3

求解 $t$ 。

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解题步骤 4.3.1

在等式两边都加上 $45$ 。

$t^{2} = 45$

解题步骤 4.3.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$t = \pm \sqrt{45}$

解题步骤 4.3.3

化简 $\pm \sqrt{45}$ 。

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解题步骤 4.3.3.1

将 $45$ 重写为 $3^{2} \cdot 5$ 。

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解题步骤 4.3.3.1.1

从 $45$ 中分解出因数 $9$ 。

$t = \pm \sqrt{9 (5)}$

解题步骤 4.3.3.1.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$t = \pm \sqrt{3^{2} \cdot 5}$

解题步骤 4.3.3.2

从根式下提出各项。

$t = \pm 3 \sqrt{5}$

解题步骤 4.3.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 4.3.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$t = 3 \sqrt{5}$

解题步骤 4.3.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$t = - 3 \sqrt{5}$

解题步骤 4.3.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$t = 3 \sqrt{5}, - 3 \sqrt{5}$

解题步骤 4.4

排除不能使 $\sqrt{t^{2} - 45} = 0$ 成立的解。

$无解$

解题步骤 5

定义域为使表达式有定义的所有值 $t$ 。

区间计数法：

$(- \infty, - 3 \sqrt{5}] \cup [3 \sqrt{5}, \infty)$

集合符号：

${t | t \leq - 3 \sqrt{5}, t \geq 3 \sqrt{5}}$

解题步骤 6

初级微积分 示例

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