初级微积分示例

$y = \frac{x^{3} + 3 x^{2} - 4 x - 12}{x^{2} + 8 x + 15}$

解题步骤 1

求在何处表达式 $\frac{x^{3} + 3 x^{2} - 4 x - 12}{x^{2} + 8 x + 15}$ 无定义。

$x = - 5, x = - 3$

解题步骤 2

由于从左侧，当 $x$ $\to$ $- 5$ 时， $\frac{x^{3} + 3 x^{2} - 4 x - 12}{x^{2} + 8 x + 15}$ $\to$ $- \infty$ ，且从右侧，当 $x$ $\to$ $- 5$ 时， $\frac{x^{3} + 3 x^{2} - 4 x - 12}{x^{2} + 8 x + 15}$ $\to$ $\infty$ ，因此 $x = - 5$ 是一条垂直渐近线。

$x = - 5$

解题步骤 3

思考一下有理函数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ ，其中 $n$ 是分子的幂， $m$ 是分母的幂。

1. 如果 $n < m$ ，那么 X 轴，即 $y = 0$ 为水平渐近线。

2. 如果 $n = m$ ，那么水平渐近线为直线 $y = \frac{a}{b}$ 。

3. 如果 $n > m$ ，那么水平渐近线不存在（存在一条斜渐近线）。

解题步骤 4

求 $n$ 和 $m$ 。

$n = 3$

$m = 2$

解题步骤 5

因为 $n > m$ ，所以没有水平渐近线。

不存在水平渐近线

解题步骤 6

使用多项式除法求斜渐近线。

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解题步骤 6.1

化简表达式。

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解题步骤 6.1.1

化简分子。

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解题步骤 6.1.1.1

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 6.1.1.1.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{(x^{3} + 3 x^{2}) - 4 x - 12}{x^{2} + 8 x + 15}$

解题步骤 6.1.1.1.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{x^{2} (x + 3) - 4 (x + 3)}{x^{2} + 8 x + 15}$

解题步骤 6.1.1.2

通过因式分解出最大公因数 $x + 3$ 来因式分解多项式。

$\frac{(x + 3) (x^{2} - 4)}{x^{2} + 8 x + 15}$

解题步骤 6.1.1.3

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{(x + 3) (x^{2} - 2^{2})}{x^{2} + 8 x + 15}$

解题步骤 6.1.1.4

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 2$ 。

$\frac{(x + 3) (x + 2) (x - 2)}{x^{2} + 8 x + 15}$

解题步骤 6.1.2

使用 AC 法来对 $x^{2} + 8 x + 15$ 进行因式分解。

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解题步骤 6.1.2.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $15$ ，和为 $8$ 。

$3, 5$

解题步骤 6.1.2.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{(x + 3) (x + 2) (x - 2)}{(x + 3) (x + 5)}$

解题步骤 6.1.3

约去 $x + 3$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.3.1

约去公因数。

$\frac{(x + 3) (x + 2) (x - 2)}{(x + 3) (x + 5)}$

解题步骤 6.1.3.2

重写表达式。

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{x + 5}$

解题步骤 6.2

展开 $(x + 2) (x - 2)$ 。

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解题步骤 6.2.1

运用分配律。

$\frac{x (x - 2) + 2 (x - 2)}{x + 5}$

解题步骤 6.2.2

运用分配律。

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2)}{x + 5}$

解题步骤 6.2.3

运用分配律。

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2}{x + 5}$

解题步骤 6.2.4

将 $x$ 和 $- 2$ 重新排序。

$\frac{x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2}{x + 5}$

解题步骤 6.2.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2}{x + 5}$

解题步骤 6.2.6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2}{x + 5}$

解题步骤 6.2.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x^{1 + 1} - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2}{x + 5}$

解题步骤 6.2.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{x^{2} - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2}{x + 5}$

解题步骤 6.2.9

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{x^{2} - 2 x + 2 x - 4}{x + 5}$

解题步骤 6.2.10

将 $- 2 x$ 和 $2 x$ 相加。

$\frac{x^{2} + 0 - 4}{x + 5}$

解题步骤 6.2.11

从 $0$ 中减去 $4$ 。

$\frac{x^{2} - 4}{x + 5}$

解题步骤 6.3

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$5$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

解题步骤 6.4

将被除数中的最高阶项 $x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$x$
	$x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$

解题步骤 6.5

将新的商式项乘以除数。

				$x$
$x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			+	$x^{2}$	+	$5 x$

解题步骤 6.6

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{2} + 5 x$ 中的所有符号

				$x$
$x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{2}$	-	$5 x$

解题步骤 6.7

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x$
$x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$5 x$

解题步骤 6.8

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x$
$x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$5 x$	-	$4$

解题步骤 6.9

将被除数中的最高阶项 $- 5 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x$	-	$5$
$x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$5 x$	-	$4$

解题步骤 6.10

将新的商式项乘以除数。

				$x$	-	$5$
$x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$5 x$	-	$4$
					-	$5 x$	-	$25$

解题步骤 6.11

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 5 x - 25$ 中的所有符号

				$x$	-	$5$
$x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$5 x$	-	$4$
					+	$5 x$	+	$25$

解题步骤 6.12

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x$	-	$5$
$x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$5 x$	-	$4$
					+	$5 x$	+	$25$
							+	$21$

解题步骤 6.13

最终答案为商加上余数除以除数。

$x - 5 + \frac{21}{x + 5}$

解题步骤 6.14

将解分解成多项式部分和余项。

$x - 5 + \frac{21 x + 63}{x^{2} + 8 x + 15}$

解题步骤 6.15

斜渐近线是长除法结果的多项式部分。

$y = x - 5$

解题步骤 7

这是所有渐近线的集合。

垂直渐近线： $x = - 5$

不存在水平渐近线

斜渐近线： $y = x - 5$

解题步骤 8

初级微积分 示例

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