初级微积分示例

$f (x) = \frac{e^{- x}}{\sqrt{e^{2 x} - e^{x} - 2}}$

解题步骤 1

将 $\sqrt{e^{2 x} - e^{x} - 2}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$e^{2 x} - e^{x} - 2 \geq 0$

解题步骤 2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

将 $e^{2 x}$ 重写为乘方形式。

${(e^{x})}^{2} - e^{x} - 2 = 0$

解题步骤 2.2

代入 $u$ 替换 $e^{x}$ 。

$u^{2} - u - 2 = 0$

解题步骤 2.3

求解 $u$ 。

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解题步骤 2.3.1

使用 AC 法来对 $u^{2} - u - 2$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.3.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 2$ ，和为 $- 1$ 。

$- 2, 1$

解题步骤 2.3.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$(u - 2) (u + 1) = 0$

解题步骤 2.3.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$u - 2 = 0$

$u + 1 = 0$

解题步骤 2.3.3

将 $u - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 2.3.3.1

将 $u - 2$ 设为等于 $0$ 。

$u - 2 = 0$

解题步骤 2.3.3.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$u = 2$

解题步骤 2.3.4

将 $u + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 2.3.4.1

将 $u + 1$ 设为等于 $0$ 。

$u + 1 = 0$

解题步骤 2.3.4.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$u = - 1$

解题步骤 2.3.5

最终解为使 $(u - 2) (u + 1) = 0$ 成立的所有值。

$u = 2, - 1$

解题步骤 2.4

代入 $2$ 替换 $u = e^{x}$ 中的 $u$ 。

$2 = e^{x}$

解题步骤 2.5

求解 $2 = e^{x}$ 。

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解题步骤 2.5.1

将方程重写为 $e^{x} = 2$ 。

$e^{x} = 2$

解题步骤 2.5.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{x}) = \ln (2)$

解题步骤 2.5.3

展开左边。

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解题步骤 2.5.3.1

通过将 $x$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{x})$ 。

$x \ln (e) = \ln (2)$

解题步骤 2.5.3.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$x \cdot 1 = \ln (2)$

解题步骤 2.5.3.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$x = \ln (2)$

解题步骤 2.6

代入 $- 1$ 替换 $u = e^{x}$ 中的 $u$ 。

$- 1 = e^{x}$

解题步骤 2.7

求解 $- 1 = e^{x}$ 。

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解题步骤 2.7.1

将方程重写为 $e^{x} = - 1$ 。

$e^{x} = - 1$

解题步骤 2.7.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{x}) = \ln (- 1)$

解题步骤 2.7.3

因为 $\ln (- 1)$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 2.7.4

$e^{x} = - 1$ 无解

无解

解题步骤 2.8

列出使方程成立的解。

$x = \ln (2)$

解题步骤 2.9

解由使等式成立的所有区间组成。

$x \geq \ln (2)$

解题步骤 3

将 $\frac{e^{- x}}{\sqrt{e^{2 x} - e^{x} - 2}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$\sqrt{e^{2 x} - e^{x} - 2} = 0$

解题步骤 4

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{e^{2 x} - e^{x} - 2}}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 4.2

化简方程的两边。

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解题步骤 4.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{e^{2 x} - e^{x} - 2}$ 重写成 ${(e^{2 x} - e^{x} - 2)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(e^{2 x} - e^{x} - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 4.2.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.2.1

化简 ${({(e^{2 x} - e^{x} - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 4.2.2.1.1

将 ${({(e^{2 x} - e^{x} - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.2.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(e^{2 x} - e^{x} - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(e^{2 x} - e^{x} - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(e^{2 x} - e^{x} - 2)}^{1} = 0^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.2

化简。

$e^{2 x} - e^{x} - 2 = 0^{2}$

解题步骤 4.2.3

化简右边。

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解题步骤 4.2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$e^{2 x} - e^{x} - 2 = 0$

解题步骤 4.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.3.1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 4.3.1.1

将 $e^{2 x}$ 重写为 ${(e^{x})}^{2}$ 。

${(e^{x})}^{2} - e^{x} - 2 = 0$

解题步骤 4.3.1.2

使 $u = e^{x}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $e^{x}$ 。

$u^{2} - u - 2 = 0$

解题步骤 4.3.1.3

使用 AC 法来对 $u^{2} - u - 2$ 进行因式分解。

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解题步骤 4.3.1.3.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 2$ ，和为 $- 1$ 。

$- 2, 1$

解题步骤 4.3.1.3.2

使用这些整数书写分数形式。

$(u - 2) (u + 1) = 0$

解题步骤 4.3.1.4

使用 $e^{x}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(e^{x} - 2) (e^{x} + 1) = 0$

解题步骤 4.3.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$e^{x} - 2 = 0$

$e^{x} + 1 = 0$

解题步骤 4.3.3

将 $e^{x} - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.3.3.1

将 $e^{x} - 2$ 设为等于 $0$ 。

$e^{x} - 2 = 0$

解题步骤 4.3.3.2

求解 $x$ 的 $e^{x} - 2 = 0$ 。

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解题步骤 4.3.3.2.1

在等式两边都加上 $2$ 。

$e^{x} = 2$

解题步骤 4.3.3.2.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{x}) = \ln (2)$

解题步骤 4.3.3.2.3

展开左边。

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解题步骤 4.3.3.2.3.1

通过将 $x$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{x})$ 。

$x \ln (e) = \ln (2)$

解题步骤 4.3.3.2.3.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$x \cdot 1 = \ln (2)$

解题步骤 4.3.3.2.3.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$x = \ln (2)$

解题步骤 4.3.4

将 $e^{x} + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.3.4.1

将 $e^{x} + 1$ 设为等于 $0$ 。

$e^{x} + 1 = 0$

解题步骤 4.3.4.2

求解 $x$ 的 $e^{x} + 1 = 0$ 。

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解题步骤 4.3.4.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$e^{x} = - 1$

解题步骤 4.3.4.2.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{x}) = \ln (- 1)$

解题步骤 4.3.4.2.3

因为 $\ln (- 1)$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 4.3.4.2.4

$e^{x} = - 1$ 无解

无解

解题步骤 4.3.5

最终解为使 $(e^{x} - 2) (e^{x} + 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = \ln (2)$

解题步骤 5

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$(\ln (2), \infty)$

集合符号：

${x | x > \ln (2)}$

解题步骤 6

初级微积分 示例

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