初级微积分示例

$f (x) = 2 (x^{7} + 2)$ ; find $f^{- 1} (x)$

解题步骤 1

将 $f (x) = 2 (x^{7} + 2)$ 写为等式。

$y = 2 (x^{7} + 2)$

解题步骤 2

交换变量。

$x = 2 (y^{7} + 2)$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $2 (y^{7} + 2) = x$ 。

$2 (y^{7} + 2) = x$

解题步骤 3.2

将 $2 (y^{7} + 2) = x$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 3.2.1

将 $2 (y^{7} + 2) = x$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 (y^{7} + 2)}{2} = \frac{x}{2}$

解题步骤 3.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 (y^{7} + 2)}{2} = \frac{x}{2}$

解题步骤 3.2.2.1.2

用 $y^{7} + 2$ 除以 $1$ 。

$y^{7} + 2 = \frac{x}{2}$

解题步骤 3.3

从等式两边同时减去 $2$ 。

$y^{7} = \frac{x}{2} - 2$

解题步骤 3.4

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \sqrt[7]{\frac{x}{2} - 2}$

解题步骤 3.5

化简 $\sqrt[7]{\frac{x}{2} - 2}$ 。

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解题步骤 3.5.1

要将 $- 2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y = \sqrt[7]{\frac{x}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}}$

解题步骤 3.5.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$y = \sqrt[7]{\frac{x}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}}$

解题步骤 3.5.3

在公分母上合并分子。

$y = \sqrt[7]{\frac{x - 2 \cdot 2}{2}}$

解题步骤 3.5.4

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$y = \sqrt[7]{\frac{x - 4}{2}}$

解题步骤 3.5.5

将 $\sqrt[7]{\frac{x - 4}{2}}$ 重写为 $\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}$

解题步骤 4

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}$ 是否为 $f (x) = 2 (x^{7} + 2)$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (2 (x^{7} + 2))$ 。

$f^{- 1} (2 (x^{7} + 2)) = \frac{\sqrt[7]{(2 (x^{7} + 2)) - 4}}{\sqrt[7]{2}}$

解题步骤 5.2.3

把 $\sqrt[7]{2 (x^{7} + 2) - 4}$ 和 $\sqrt[7]{2}$ 组合为一个单根式。

$f^{- 1} (2 (x^{7} + 2)) = \sqrt[7]{\frac{2 (x^{7} + 2) - 4}{2}}$

解题步骤 5.2.4

从 $2 (x^{7} + 2) - 4$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 5.2.4.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (2 (x^{7} + 2)) = \sqrt[7]{\frac{2 (x^{7} + 2) + 2 \cdot - 2}{2}}$

解题步骤 5.2.4.2

从 $2 (x^{7} + 2) + 2 \cdot - 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (2 (x^{7} + 2)) = \sqrt[7]{\frac{2 (x^{7} + 2 - 2)}{2}}$

解题步骤 5.2.5

通过减去各数进行化简。

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解题步骤 5.2.5.1

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$f^{- 1} (2 (x^{7} + 2)) = \sqrt[7]{\frac{2 (x^{7} + 0)}{2}}$

解题步骤 5.2.5.2

将 $x^{7}$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (2 (x^{7} + 2)) = \sqrt[7]{\frac{2 x^{7}}{2}}$

解题步骤 5.2.6

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 5.2.6.1

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{2 x^{7}}{2}$ 。

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解题步骤 5.2.6.1.1

约去公因数。

$f^{- 1} (2 (x^{7} + 2)) = \sqrt[7]{\frac{2 x^{7}}{2}}$

解题步骤 5.2.6.1.2

重写表达式。

$f^{- 1} (2 (x^{7} + 2)) = \sqrt[7]{\frac{x^{7}}{1}}$

解题步骤 5.2.6.2

用 $x^{7}$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (2 (x^{7} + 2)) = \sqrt[7]{x^{7}}$

解题步骤 5.2.7

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$f^{- 1} (2 (x^{7} + 2)) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}})$ 。

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 ({(\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}})}^{7} + 2)$

解题步骤 5.3.3

化简每一项。

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解题步骤 5.3.3.1

对 $\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{{\sqrt[7]{x - 4}}^{7}}{{\sqrt[7]{2}}^{7}} + 2)$

解题步骤 5.3.3.2

将 ${\sqrt[7]{x - 4}}^{7}$ 重写为 $x - 4$ 。

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解题步骤 5.3.3.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[7]{x - 4}$ 重写成 ${(x - 4)}^{\frac{1}{7}}$ 。

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{{({(x - 4)}^{\frac{1}{7}})}^{7}}{{\sqrt[7]{2}}^{7}} + 2)$

解题步骤 5.3.3.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{7} \cdot 7}}{{\sqrt[7]{2}}^{7}} + 2)$

解题步骤 5.3.3.2.3

组合 $\frac{1}{7}$ 和 $7$ 。

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{{(x - 4)}^{\frac{7}{7}}}{{\sqrt[7]{2}}^{7}} + 2)$

解题步骤 5.3.3.2.4

约去 $7$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.2.4.1

约去公因数。

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{{(x - 4)}^{\frac{7}{7}}}{{\sqrt[7]{2}}^{7}} + 2)$

解题步骤 5.3.3.2.4.2

重写表达式。

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4}{{\sqrt[7]{2}}^{7}} + 2)$

解题步骤 5.3.3.2.5

化简。

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4}{{\sqrt[7]{2}}^{7}} + 2)$

解题步骤 5.3.3.3

将 ${\sqrt[7]{2}}^{7}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 5.3.3.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[7]{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{7}}$ 。

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4}{{(2^{\frac{1}{7}})}^{7}} + 2)$

解题步骤 5.3.3.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4}{2^{\frac{1}{7} \cdot 7}} + 2)$

解题步骤 5.3.3.3.3

组合 $\frac{1}{7}$ 和 $7$ 。

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4}{2^{\frac{7}{7}}} + 2)$

解题步骤 5.3.3.3.4

约去 $7$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.3.4.1

约去公因数。

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4}{2^{\frac{7}{7}}} + 2)$

解题步骤 5.3.3.3.4.2

重写表达式。

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4}{2} + 2)$

解题步骤 5.3.3.3.5

计算指数。

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4}{2} + 2)$

解题步骤 5.3.4

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2})$

解题步骤 5.3.5

化简项。

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解题步骤 5.3.5.1

组合 $2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2})$

解题步骤 5.3.5.2

在公分母上合并分子。

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4 + 2 \cdot 2}{2})$

解题步骤 5.3.6

化简分子。

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解题步骤 5.3.6.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4 + 4}{2})$

解题步骤 5.3.6.2

将 $- 4$ 和 $4$ 相加。

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x + 0}{2})$

解题步骤 5.3.6.3

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x}{2})$

解题步骤 5.3.7

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.7.1

约去公因数。

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x}{2})$

解题步骤 5.3.7.2

重写表达式。

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}$ 为 $f (x) = 2 (x^{7} + 2)$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}$

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