初级微积分示例

$f (x) = \frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9$ ; find $f^{- 1} (x)$

解题步骤 1

将 $f (x) = \frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9$ 写为等式。

$y = \frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9$

解题步骤 2

交换变量。

$x = \frac{\sqrt[3]{y}}{2} + 9$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $\frac{\sqrt[3]{y}}{2} + 9 = x$ 。

$\frac{\sqrt[3]{y}}{2} + 9 = x$

解题步骤 3.2

求解 $\sqrt[3]{y}$ 。

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解题步骤 3.2.1

从等式两边同时减去 $9$ 。

$\frac{\sqrt[3]{y}}{2} = x - 9$

解题步骤 3.2.2

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 \frac{\sqrt[3]{y}}{2} = 2 (x - 9)$

解题步骤 3.2.3

化简方程的两边。

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解题步骤 3.2.3.1

化简左边。

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解题步骤 3.2.3.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.3.1.1.1

约去公因数。

$2 \frac{\sqrt[3]{y}}{2} = 2 (x - 9)$

解题步骤 3.2.3.1.1.2

重写表达式。

$\sqrt[3]{y} = 2 (x - 9)$

解题步骤 3.2.3.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.3.2.1

化简 $2 (x - 9)$ 。

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解题步骤 3.2.3.2.1.1

运用分配律。

$\sqrt[3]{y} = 2 x + 2 \cdot - 9$

解题步骤 3.2.3.2.1.2

将 $2$ 乘以 $- 9$ 。

$\sqrt[3]{y} = 2 x - 18$

解题步骤 3.3

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行立方。

${\sqrt[3]{y}}^{3} = {(2 x - 18)}^{3}$

解题步骤 3.4

化简方程的两边。

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解题步骤 3.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{y}$ 重写成 $y^{\frac{1}{3}}$ 。

${(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(2 x - 18)}^{3}$

解题步骤 3.4.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.2.1

化简 ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 。

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解题步骤 3.4.2.1.1

将 ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.4.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(2 x - 18)}^{3}$

解题步骤 3.4.2.1.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.1.1.2.1

约去公因数。

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(2 x - 18)}^{3}$

解题步骤 3.4.2.1.1.2.2

重写表达式。

$y^{1} = {(2 x - 18)}^{3}$

解题步骤 3.4.2.1.2

化简。

$y = {(2 x - 18)}^{3}$

解题步骤 3.4.3

化简右边。

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解题步骤 3.4.3.1

化简 ${(2 x - 18)}^{3}$ 。

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解题步骤 3.4.3.1.1

使用二项式定理。

$y = {(2 x)}^{3} + 3 {(2 x)}^{2} \cdot - 18 + 3 (2 x) {(- 18)}^{2} + {(- 18)}^{3}$

解题步骤 3.4.3.1.2

化简每一项。

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解题步骤 3.4.3.1.2.1

对 $2 x$ 运用乘积法则。

$y = 2^{3} x^{3} + 3 {(2 x)}^{2} \cdot - 18 + 3 (2 x) {(- 18)}^{2} + {(- 18)}^{3}$

解题步骤 3.4.3.1.2.2

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$y = 8 x^{3} + 3 {(2 x)}^{2} \cdot - 18 + 3 (2 x) {(- 18)}^{2} + {(- 18)}^{3}$

解题步骤 3.4.3.1.2.3

对 $2 x$ 运用乘积法则。

$y = 8 x^{3} + 3 (2^{2} x^{2}) \cdot - 18 + 3 (2 x) {(- 18)}^{2} + {(- 18)}^{3}$

解题步骤 3.4.3.1.2.4

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = 8 x^{3} + 3 (4 x^{2}) \cdot - 18 + 3 (2 x) {(- 18)}^{2} + {(- 18)}^{3}$

解题步骤 3.4.3.1.2.5

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$y = 8 x^{3} + 12 x^{2} \cdot - 18 + 3 (2 x) {(- 18)}^{2} + {(- 18)}^{3}$

解题步骤 3.4.3.1.2.6

将 $- 18$ 乘以 $12$ 。

$y = 8 x^{3} - 216 x^{2} + 3 (2 x) {(- 18)}^{2} + {(- 18)}^{3}$

解题步骤 3.4.3.1.2.7

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$y = 8 x^{3} - 216 x^{2} + 6 x {(- 18)}^{2} + {(- 18)}^{3}$

解题步骤 3.4.3.1.2.8

对 $- 18$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = 8 x^{3} - 216 x^{2} + 6 x \cdot 324 + {(- 18)}^{3}$

解题步骤 3.4.3.1.2.9

将 $324$ 乘以 $6$ 。

$y = 8 x^{3} - 216 x^{2} + 1944 x + {(- 18)}^{3}$

解题步骤 3.4.3.1.2.10

对 $- 18$ 进行 $3$ 次方运算。

$y = 8 x^{3} - 216 x^{2} + 1944 x - 5832$

解题步骤 4

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = 8 x^{3} - 216 x^{2} + 1944 x - 5832$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = 8 x^{3} - 216 x^{2} + 1944 x - 5832$ 是否为 $f (x) = \frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9)$ 。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = 8 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9)}^{3} - 216 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9)}^{2} + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) - 5832$

解题步骤 5.2.3

化简每一项。

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解题步骤 5.2.3.1

使用二项式定理。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = 8 ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{2})}^{3} + 3 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{2})}^{2} \cdot 9 + 3 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) \cdot 9^{2} + 9^{3}) - 216 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9)}^{2} + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) - 5832$

解题步骤 5.2.3.2

化简每一项。

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解题步骤 5.2.3.2.1

对 $\frac{\sqrt[3]{x}}{2}$ 运用乘积法则。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = 8 (\frac{{\sqrt[3]{x}}^{3}}{2^{3}} + 3 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{2})}^{2} \cdot 9 + 3 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) \cdot 9^{2} + 9^{3}) - 216 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9)}^{2} + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) - 5832$

解题步骤 5.2.3.2.2

将 ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ 重写为 $x$ 。

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解题步骤 5.2.3.2.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = 8 (\frac{{(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}{2^{3}} + 3 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{2})}^{2} \cdot 9 + 3 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) \cdot 9^{2} + 9^{3}) - 216 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9)}^{2} + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) - 5832$

解题步骤 5.2.3.2.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = 8 (\frac{x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{2^{3}} + 3 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{2})}^{2} \cdot 9 + 3 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) \cdot 9^{2} + 9^{3}) - 216 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9)}^{2} + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) - 5832$

解题步骤 5.2.3.2.2.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = 8 (\frac{x^{\frac{3}{3}}}{2^{3}} + 3 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{2})}^{2} \cdot 9 + 3 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) \cdot 9^{2} + 9^{3}) - 216 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9)}^{2} + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) - 5832$

解题步骤 5.2.3.2.2.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.2.2.4.1

约去公因数。

解题步骤 5.2.3.2.2.4.2

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = 8 (\frac{x}{2^{3}} + 3 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{2})}^{2} \cdot 9 + 3 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) \cdot 9^{2} + 9^{3}) - 216 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9)}^{2} + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) - 5832$

解题步骤 5.2.3.2.2.5

化简。

解题步骤 5.2.3.2.3

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = 8 (\frac{x}{8} + 3 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{2})}^{2} \cdot 9 + 3 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) \cdot 9^{2} + 9^{3}) - 216 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9)}^{2} + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) - 5832$

解题步骤 5.2.3.2.4

对 $\frac{\sqrt[3]{x}}{2}$ 运用乘积法则。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = 8 (\frac{x}{8} + 3 (\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{2^{2}}) \cdot 9 + 3 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) \cdot 9^{2} + 9^{3}) - 216 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9)}^{2} + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) - 5832$

解题步骤 5.2.3.2.5

将 ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ 重写为 $\sqrt[3]{x^{2}}$ 。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = 8 (\frac{x}{8} + 3 (\frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{2^{2}}) \cdot 9 + 3 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) \cdot 9^{2} + 9^{3}) - 216 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9)}^{2} + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) - 5832$

解题步骤 5.2.3.2.6

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = 8 (\frac{x}{8} + 3 (\frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{4}) \cdot 9 + 3 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) \cdot 9^{2} + 9^{3}) - 216 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9)}^{2} + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) - 5832$

解题步骤 5.2.3.2.7

组合 $3$ 和 $\frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{4}$ 。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = 8 (\frac{x}{8} + \frac{3 \sqrt[3]{x^{2}}}{4} \cdot 9 + 3 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) \cdot 9^{2} + 9^{3}) - 216 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9)}^{2} + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) - 5832$

解题步骤 5.2.3.2.8

乘以 $\frac{3 \sqrt[3]{x^{2}}}{4} \cdot 9$ 。

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解题步骤 5.2.3.2.8.1

组合 $\frac{3 \sqrt[3]{x^{2}}}{4}$ 和 $9$ 。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = 8 (\frac{x}{8} + \frac{3 \sqrt[3]{x^{2}} \cdot 9}{4} + 3 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) \cdot 9^{2} + 9^{3}) - 216 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9)}^{2} + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) - 5832$

解题步骤 5.2.3.2.8.2

将 $9$ 乘以 $3$ 。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = 8 (\frac{x}{8} + \frac{27 \sqrt[3]{x^{2}}}{4} + 3 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) \cdot 9^{2} + 9^{3}) - 216 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9)}^{2} + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) - 5832$

解题步骤 5.2.3.2.9

组合 $3$ 和 $\frac{\sqrt[3]{x}}{2}$ 。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = 8 (\frac{x}{8} + \frac{27 \sqrt[3]{x^{2}}}{4} + \frac{3 \sqrt[3]{x}}{2} \cdot 9^{2} + 9^{3}) - 216 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9)}^{2} + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) - 5832$

解题步骤 5.2.3.2.10

对 $9$ 进行 $2$ 次方运算。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = 8 (\frac{x}{8} + \frac{27 \sqrt[3]{x^{2}}}{4} + \frac{3 \sqrt[3]{x}}{2} \cdot 81 + 9^{3}) - 216 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9)}^{2} + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) - 5832$

解题步骤 5.2.3.2.11

乘以 $\frac{3 \sqrt[3]{x}}{2} \cdot 81$ 。

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解题步骤 5.2.3.2.11.1

组合 $\frac{3 \sqrt[3]{x}}{2}$ 和 $81$ 。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = 8 (\frac{x}{8} + \frac{27 \sqrt[3]{x^{2}}}{4} + \frac{3 \sqrt[3]{x} \cdot 81}{2} + 9^{3}) - 216 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9)}^{2} + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) - 5832$

解题步骤 5.2.3.2.11.2

将 $81$ 乘以 $3$ 。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = 8 (\frac{x}{8} + \frac{27 \sqrt[3]{x^{2}}}{4} + \frac{243 \sqrt[3]{x}}{2} + 9^{3}) - 216 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9)}^{2} + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) - 5832$

解题步骤 5.2.3.2.12

对 $9$ 进行 $3$ 次方运算。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = 8 (\frac{x}{8} + \frac{27 \sqrt[3]{x^{2}}}{4} + \frac{243 \sqrt[3]{x}}{2} + 729) - 216 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9)}^{2} + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) - 5832$

解题步骤 5.2.3.3

运用分配律。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = 8 (\frac{x}{8}) + 8 (\frac{27 \sqrt[3]{x^{2}}}{4}) + 8 (\frac{243 \sqrt[3]{x}}{2}) + 8 \cdot 729 - 216 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9)}^{2} + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) - 5832$

解题步骤 5.2.3.4

化简。

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解题步骤 5.2.3.4.1

约去 $8$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.4.1.1

约去公因数。

解题步骤 5.2.3.4.1.2

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = x + 8 (\frac{27 \sqrt[3]{x^{2}}}{4}) + 8 (\frac{243 \sqrt[3]{x}}{2}) + 8 \cdot 729 - 216 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9)}^{2} + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) - 5832$

解题步骤 5.2.3.4.2

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.4.2.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = x + 4 (2) (\frac{27 \sqrt[3]{x^{2}}}{4}) + 8 (\frac{243 \sqrt[3]{x}}{2}) + 8 \cdot 729 - 216 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9)}^{2} + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) - 5832$

解题步骤 5.2.3.4.2.2

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = x + 4 \cdot (2 (\frac{27 \sqrt[3]{x^{2}}}{4})) + 8 (\frac{243 \sqrt[3]{x}}{2}) + 8 \cdot 729 - 216 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9)}^{2} + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) - 5832$

解题步骤 5.2.3.4.2.3

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = x + 2 (27 \sqrt[3]{x^{2}}) + 8 (\frac{243 \sqrt[3]{x}}{2}) + 8 \cdot 729 - 216 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9)}^{2} + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) - 5832$

解题步骤 5.2.3.4.3

将 $27$ 乘以 $2$ 。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = x + 54 \sqrt[3]{x^{2}} + 8 (\frac{243 \sqrt[3]{x}}{2}) + 8 \cdot 729 - 216 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9)}^{2} + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) - 5832$

解题步骤 5.2.3.4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.4.4.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = x + 54 \sqrt[3]{x^{2}} + 2 (4) (\frac{243 \sqrt[3]{x}}{2}) + 8 \cdot 729 - 216 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9)}^{2} + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) - 5832$

解题步骤 5.2.3.4.4.2

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = x + 54 \sqrt[3]{x^{2}} + 2 \cdot (4 (\frac{243 \sqrt[3]{x}}{2})) + 8 \cdot 729 - 216 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9)}^{2} + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) - 5832$

解题步骤 5.2.3.4.4.3

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = x + 54 \sqrt[3]{x^{2}} + 4 (243 \sqrt[3]{x}) + 8 \cdot 729 - 216 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9)}^{2} + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) - 5832$

解题步骤 5.2.3.4.5

将 $243$ 乘以 $4$ 。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = x + 54 \sqrt[3]{x^{2}} + 972 \sqrt[3]{x} + 8 \cdot 729 - 216 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9)}^{2} + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) - 5832$

解题步骤 5.2.3.4.6

将 $8$ 乘以 $729$ 。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = x + 54 \sqrt[3]{x^{2}} + 972 \sqrt[3]{x} + 5832 - 216 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9)}^{2} + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) - 5832$

解题步骤 5.2.3.5

将 ${(\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9)}^{2}$ 重写为 $(\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9)$ 。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = x + 54 \sqrt[3]{x^{2}} + 972 \sqrt[3]{x} + 5832 - 216 ((\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9)) + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) - 5832$

解题步骤 5.2.3.6

使用 FOIL 方法展开 $(\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9)$ 。

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解题步骤 5.2.3.6.1

运用分配律。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = x + 54 \sqrt[3]{x^{2}} + 972 \sqrt[3]{x} + 5832 - 216 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} \cdot (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) + 9 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9)) + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) - 5832$

解题步骤 5.2.3.6.2

运用分配律。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = x + 54 \sqrt[3]{x^{2}} + 972 \sqrt[3]{x} + 5832 - 216 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{x}}{2} + \frac{\sqrt[3]{x}}{2} \cdot 9 + 9 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9)) + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) - 5832$

解题步骤 5.2.3.6.3

运用分配律。

解题步骤 5.2.3.7

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.2.3.7.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.3.7.1.1

乘以 $\frac{\sqrt[3]{x}}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{x}}{2}$ 。

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解题步骤 5.2.3.7.1.1.1

将 $\frac{\sqrt[3]{x}}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt[3]{x}}{2}$ 。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = x + 54 \sqrt[3]{x^{2}} + 972 \sqrt[3]{x} + 5832 - 216 (\frac{\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt[3]{x}}{2} \cdot 9 + 9 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) + 9 \cdot 9) + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) - 5832$

解题步骤 5.2.3.7.1.1.2

对 $\sqrt[3]{x}$ 进行 $1$ 次方运算。

解题步骤 5.2.3.7.1.1.3

对 $\sqrt[3]{x}$ 进行 $1$ 次方运算。

解题步骤 5.2.3.7.1.1.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = x + 54 \sqrt[3]{x^{2}} + 972 \sqrt[3]{x} + 5832 - 216 (\frac{{\sqrt[3]{x}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt[3]{x}}{2} \cdot 9 + 9 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) + 9 \cdot 9) + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) - 5832$

解题步骤 5.2.3.7.1.1.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = x + 54 \sqrt[3]{x^{2}} + 972 \sqrt[3]{x} + 5832 - 216 (\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt[3]{x}}{2} \cdot 9 + 9 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) + 9 \cdot 9) + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) - 5832$

解题步骤 5.2.3.7.1.1.6

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = x + 54 \sqrt[3]{x^{2}} + 972 \sqrt[3]{x} + 5832 - 216 (\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{4} + \frac{\sqrt[3]{x}}{2} \cdot 9 + 9 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) + 9 \cdot 9) + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) - 5832$

解题步骤 5.2.3.7.1.2

将 ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ 重写为 $\sqrt[3]{x^{2}}$ 。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = x + 54 \sqrt[3]{x^{2}} + 972 \sqrt[3]{x} + 5832 - 216 (\frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{4} + \frac{\sqrt[3]{x}}{2} \cdot 9 + 9 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) + 9 \cdot 9) + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) - 5832$

解题步骤 5.2.3.7.1.3

组合 $\frac{\sqrt[3]{x}}{2}$ 和 $9$ 。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = x + 54 \sqrt[3]{x^{2}} + 972 \sqrt[3]{x} + 5832 - 216 (\frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{4} + \frac{\sqrt[3]{x} \cdot 9}{2} + 9 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) + 9 \cdot 9) + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) - 5832$

解题步骤 5.2.3.7.1.4

将 $9$ 移到 $\sqrt[3]{x}$ 的左侧。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = x + 54 \sqrt[3]{x^{2}} + 972 \sqrt[3]{x} + 5832 - 216 (\frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{4} + \frac{9 \cdot \sqrt[3]{x}}{2} + 9 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) + 9 \cdot 9) + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) - 5832$

解题步骤 5.2.3.7.1.5

组合 $9$ 和 $\frac{\sqrt[3]{x}}{2}$ 。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = x + 54 \sqrt[3]{x^{2}} + 972 \sqrt[3]{x} + 5832 - 216 (\frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{4} + \frac{9 \sqrt[3]{x}}{2} + \frac{9 \sqrt[3]{x}}{2} + 9 \cdot 9) + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) - 5832$

解题步骤 5.2.3.7.1.6

将 $9$ 乘以 $9$ 。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = x + 54 \sqrt[3]{x^{2}} + 972 \sqrt[3]{x} + 5832 - 216 (\frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{4} + \frac{9 \sqrt[3]{x}}{2} + \frac{9 \sqrt[3]{x}}{2} + 81) + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) - 5832$

解题步骤 5.2.3.7.2

将 $\frac{9 \sqrt[3]{x}}{2}$ 和 $\frac{9 \sqrt[3]{x}}{2}$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = x + 54 \sqrt[3]{x^{2}} + 972 \sqrt[3]{x} + 5832 - 216 (\frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{4} + 2 (\frac{9 \sqrt[3]{x}}{2}) + 81) + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) - 5832$

解题步骤 5.2.3.8

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.8.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = x + 54 \sqrt[3]{x^{2}} + 972 \sqrt[3]{x} + 5832 - 216 (\frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{4} + 2 (\frac{9 \sqrt[3]{x}}{2}) + 81) + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) - 5832$

解题步骤 5.2.3.8.2

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = x + 54 \sqrt[3]{x^{2}} + 972 \sqrt[3]{x} + 5832 - 216 (\frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{4} + 9 \sqrt[3]{x} + 81) + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) - 5832$

解题步骤 5.2.3.9

运用分配律。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = x + 54 \sqrt[3]{x^{2}} + 972 \sqrt[3]{x} + 5832 - 216 \frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{4} - 216 (9 \sqrt[3]{x}) - 216 \cdot 81 + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) - 5832$

解题步骤 5.2.3.10

化简。

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解题步骤 5.2.3.10.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.10.1.1

从 $- 216$ 中分解出因数 $4$ 。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = x + 54 \sqrt[3]{x^{2}} + 972 \sqrt[3]{x} + 5832 + 4 (- 54) (\frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{4}) - 216 (9 \sqrt[3]{x}) - 216 \cdot 81 + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) - 5832$

解题步骤 5.2.3.10.1.2

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = x + 54 \sqrt[3]{x^{2}} + 972 \sqrt[3]{x} + 5832 + 4 \cdot (- 54 \frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{4}) - 216 (9 \sqrt[3]{x}) - 216 \cdot 81 + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) - 5832$

解题步骤 5.2.3.10.1.3

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = x + 54 \sqrt[3]{x^{2}} + 972 \sqrt[3]{x} + 5832 - 54 \sqrt[3]{x^{2}} - 216 (9 \sqrt[3]{x}) - 216 \cdot 81 + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) - 5832$

解题步骤 5.2.3.10.2

将 $9$ 乘以 $- 216$ 。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = x + 54 \sqrt[3]{x^{2}} + 972 \sqrt[3]{x} + 5832 - 54 \sqrt[3]{x^{2}} - 1944 \sqrt[3]{x} - 216 \cdot 81 + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) - 5832$

解题步骤 5.2.3.10.3

将 $- 216$ 乘以 $81$ 。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = x + 54 \sqrt[3]{x^{2}} + 972 \sqrt[3]{x} + 5832 - 54 \sqrt[3]{x^{2}} - 1944 \sqrt[3]{x} - 17496 + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) - 5832$

解题步骤 5.2.3.11

运用分配律。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = x + 54 \sqrt[3]{x^{2}} + 972 \sqrt[3]{x} + 5832 - 54 \sqrt[3]{x^{2}} - 1944 \sqrt[3]{x} - 17496 + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) + 1944 \cdot 9 - 5832$

解题步骤 5.2.3.12

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.12.1

从 $1944$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = x + 54 \sqrt[3]{x^{2}} + 972 \sqrt[3]{x} + 5832 - 54 \sqrt[3]{x^{2}} - 1944 \sqrt[3]{x} - 17496 + 2 (972) (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) + 1944 \cdot 9 - 5832$

解题步骤 5.2.3.12.2

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = x + 54 \sqrt[3]{x^{2}} + 972 \sqrt[3]{x} + 5832 - 54 \sqrt[3]{x^{2}} - 1944 \sqrt[3]{x} - 17496 + 2 \cdot (972 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2})) + 1944 \cdot 9 - 5832$

解题步骤 5.2.3.12.3

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = x + 54 \sqrt[3]{x^{2}} + 972 \sqrt[3]{x} + 5832 - 54 \sqrt[3]{x^{2}} - 1944 \sqrt[3]{x} - 17496 + 972 \sqrt[3]{x} + 1944 \cdot 9 - 5832$

解题步骤 5.2.3.13

将 $1944$ 乘以 $9$ 。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = x + 54 \sqrt[3]{x^{2}} + 972 \sqrt[3]{x} + 5832 - 54 \sqrt[3]{x^{2}} - 1944 \sqrt[3]{x} - 17496 + 972 \sqrt[3]{x} + 17496 - 5832$

解题步骤 5.2.4

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 5.2.4.1

合并 $x + 54 \sqrt[3]{x^{2}} + 972 \sqrt[3]{x} + 5832 - 54 \sqrt[3]{x^{2}} - 1944 \sqrt[3]{x} - 17496 + 972 \sqrt[3]{x} + 17496 - 5832$ 中相反的项。

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解题步骤 5.2.4.1.1

从 $54 \sqrt[3]{x^{2}}$ 中减去 $54 \sqrt[3]{x^{2}}$ 。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = x + 0 + 972 \sqrt[3]{x} + 5832 - 1944 \sqrt[3]{x} - 17496 + 972 \sqrt[3]{x} + 17496 - 5832$

解题步骤 5.2.4.1.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = x + 972 \sqrt[3]{x} + 5832 - 1944 \sqrt[3]{x} - 17496 + 972 \sqrt[3]{x} + 17496 - 5832$

解题步骤 5.2.4.1.3

将 $- 17496$ 和 $17496$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = x + 972 \sqrt[3]{x} + 5832 - 1944 \sqrt[3]{x} + 0 + 972 \sqrt[3]{x} - 5832$

解题步骤 5.2.4.1.4

将 $x + 972 \sqrt[3]{x} + 5832 - 1944 \sqrt[3]{x}$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = x + 972 \sqrt[3]{x} + 5832 - 1944 \sqrt[3]{x} + 972 \sqrt[3]{x} - 5832$

解题步骤 5.2.4.1.5

从 $5832$ 中减去 $5832$ 。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = x + 972 \sqrt[3]{x} + 0 - 1944 \sqrt[3]{x} + 972 \sqrt[3]{x}$

解题步骤 5.2.4.1.6

将 $x + 972 \sqrt[3]{x}$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = x + 972 \sqrt[3]{x} - 1944 \sqrt[3]{x} + 972 \sqrt[3]{x}$

解题步骤 5.2.4.2

从 $972 \sqrt[3]{x}$ 中减去 $1944 \sqrt[3]{x}$ 。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = x - 972 \sqrt[3]{x} + 972 \sqrt[3]{x}$

解题步骤 5.2.4.3

合并 $x - 972 \sqrt[3]{x} + 972 \sqrt[3]{x}$ 中相反的项。

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解题步骤 5.2.4.3.1

将 $- 972 \sqrt[3]{x}$ 和 $972 \sqrt[3]{x}$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = x + 0$

解题步骤 5.2.4.3.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (8 x^{3} - 216 x^{2} + 1944 x - 5832)$ 。

$f (8 x^{3} - 216 x^{2} + 1944 x - 5832) = \frac{\sqrt[3]{8 x^{3} - 216 x^{2} + 1944 x - 5832}}{2} + 9$

解题步骤 5.3.3

化简每一项。

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解题步骤 5.3.3.1

化简分子。

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解题步骤 5.3.3.1.1

从 $8 x^{3} - 216 x^{2} + 1944 x - 5832$ 中分解出因数 $8$ 。

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解题步骤 5.3.3.1.1.1

从 $8 x^{3}$ 中分解出因数 $8$ 。

$f (8 x^{3} - 216 x^{2} + 1944 x - 5832) = \frac{\sqrt[3]{8 (x^{3}) - 216 x^{2} + 1944 x - 5832}}{2} + 9$

解题步骤 5.3.3.1.1.2

从 $- 216 x^{2}$ 中分解出因数 $8$ 。

$f (8 x^{3} - 216 x^{2} + 1944 x - 5832) = \frac{\sqrt[3]{8 (x^{3}) + 8 (- 27 x^{2}) + 1944 x - 5832}}{2} + 9$

解题步骤 5.3.3.1.1.3

从 $1944 x$ 中分解出因数 $8$ 。

$f (8 x^{3} - 216 x^{2} + 1944 x - 5832) = \frac{\sqrt[3]{8 (x^{3}) + 8 (- 27 x^{2}) + 8 (243 x) - 5832}}{2} + 9$

解题步骤 5.3.3.1.1.4

从 $- 5832$ 中分解出因数 $8$ 。

$f (8 x^{3} - 216 x^{2} + 1944 x - 5832) = \frac{\sqrt[3]{8 x^{3} + 8 (- 27 x^{2}) + 8 (243 x) + 8 \cdot - 729}}{2} + 9$

解题步骤 5.3.3.1.1.5

从 $8 x^{3} + 8 (- 27 x^{2})$ 中分解出因数 $8$ 。

$f (8 x^{3} - 216 x^{2} + 1944 x - 5832) = \frac{\sqrt[3]{8 (x^{3} - 27 x^{2}) + 8 (243 x) + 8 \cdot - 729}}{2} + 9$

解题步骤 5.3.3.1.1.6

从 $8 (x^{3} - 27 x^{2}) + 8 (243 x)$ 中分解出因数 $8$ 。

$f (8 x^{3} - 216 x^{2} + 1944 x - 5832) = \frac{\sqrt[3]{8 (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x) + 8 \cdot - 729}}{2} + 9$

解题步骤 5.3.3.1.1.7

从 $8 (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x) + 8 \cdot - 729$ 中分解出因数 $8$ 。

$f (8 x^{3} - 216 x^{2} + 1944 x - 5832) = \frac{\sqrt[3]{8 (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}}{2} + 9$

解题步骤 5.3.3.1.2

将 $8 (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)$ 重写为 $2^{3} (x^{3} + {(- 3)}^{3} x^{2} + 243 x - 729)$ 。

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解题步骤 5.3.3.1.2.1

将 $8$ 重写为 $2^{3}$ 。

$f (8 x^{3} - 216 x^{2} + 1944 x - 5832) = \frac{\sqrt[3]{2^{3} (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}}{2} + 9$

解题步骤 5.3.3.1.2.2

将 $- 27$ 重写为 ${(- 3)}^{3}$ 。

$f (8 x^{3} - 216 x^{2} + 1944 x - 5832) = \frac{\sqrt[3]{2^{3} (x^{3} + {(- 3)}^{3} x^{2} + 243 x - 729)}}{2} + 9$

解题步骤 5.3.3.1.3

从根式下提出各项。

$f (8 x^{3} - 216 x^{2} + 1944 x - 5832) = \frac{2 \sqrt[3]{x^{3} + {(- 3)}^{3} x^{2} + 243 x - 729}}{2} + 9$

解题步骤 5.3.3.1.4

对 $- 3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (8 x^{3} - 216 x^{2} + 1944 x - 5832) = \frac{2 \sqrt[3]{x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729}}{2} + 9$

解题步骤 5.3.3.1.5

以因式分解的形式重写 $x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729$ 。

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解题步骤 5.3.3.1.5.1

使用有理根检验法因式分解 $x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729$ 。

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解题步骤 5.3.3.1.5.1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 729, \pm 3, \pm 243, \pm 9, \pm 81, \pm 27$

$q = \pm 1$

解题步骤 5.3.3.1.5.1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 729, \pm 3, \pm 243, \pm 9, \pm 81, \pm 27$

解题步骤 5.3.3.1.5.1.3

代入 $9$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $9$ 是多项式的根。

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解题步骤 5.3.3.1.5.1.3.1

将 $9$ 代入多项式。

$9^{3} - 27 \cdot 9^{2} + 243 \cdot 9 - 729$

解题步骤 5.3.3.1.5.1.3.2

对 $9$ 进行 $3$ 次方运算。

$729 - 27 \cdot 9^{2} + 243 \cdot 9 - 729$

解题步骤 5.3.3.1.5.1.3.3

对 $9$ 进行 $2$ 次方运算。

$729 - 27 \cdot 81 + 243 \cdot 9 - 729$

解题步骤 5.3.3.1.5.1.3.4

将 $- 27$ 乘以 $81$ 。

$729 - 2187 + 243 \cdot 9 - 729$

解题步骤 5.3.3.1.5.1.3.5

从 $729$ 中减去 $2187$ 。

$- 1458 + 243 \cdot 9 - 729$

解题步骤 5.3.3.1.5.1.3.6

将 $243$ 乘以 $9$ 。

$- 1458 + 2187 - 729$

解题步骤 5.3.3.1.5.1.3.7

将 $- 1458$ 和 $2187$ 相加。

$729 - 729$

解题步骤 5.3.3.1.5.1.3.8

从 $729$ 中减去 $729$ 。

$0$

解题步骤 5.3.3.1.5.1.4

因为 $9$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $x - 9$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729}{x - 9}$

解题步骤 5.3.3.1.5.1.5

用 $x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729$ 除以 $x - 9$ 。

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解题步骤 5.3.3.1.5.1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$9$

$x^{3}$

$27 x^{2}$

$243 x$

$729$

解题步骤 5.3.3.1.5.1.5.2

将被除数中的最高阶项 $x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$x^{2}$
	$x$	-	$9$		$x^{3}$	-	$27 x^{2}$	+	$243 x$	-	$729$

解题步骤 5.3.3.1.5.1.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$
$x$	-	$9$		$x^{3}$	-	$27 x^{2}$	+	$243 x$	-	$729$
			+	$x^{3}$	-	$9 x^{2}$

解题步骤 5.3.3.1.5.1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{3} - 9 x^{2}$ 中的所有符号

				$x^{2}$
$x$	-	$9$		$x^{3}$	-	$27 x^{2}$	+	$243 x$	-	$729$
			-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$

解题步骤 5.3.3.1.5.1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$
$x$	-	$9$		$x^{3}$	-	$27 x^{2}$	+	$243 x$	-	$729$
			-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$

解题步骤 5.3.3.1.5.1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$
$x$	-	$9$		$x^{3}$	-	$27 x^{2}$	+	$243 x$	-	$729$
			-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	+	$243 x$

解题步骤 5.3.3.1.5.1.5.7

将被除数中的最高阶项 $- 18 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x^{2}$	-	$18 x$
$x$	-	$9$		$x^{3}$	-	$27 x^{2}$	+	$243 x$	-	$729$
			-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	+	$243 x$

解题步骤 5.3.3.1.5.1.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	-	$18 x$
$x$	-	$9$		$x^{3}$	-	$27 x^{2}$	+	$243 x$	-	$729$
			-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	+	$243 x$
					-	$18 x^{2}$	+	$162 x$

解题步骤 5.3.3.1.5.1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 18 x^{2} + 162 x$ 中的所有符号

				$x^{2}$	-	$18 x$
$x$	-	$9$		$x^{3}$	-	$27 x^{2}$	+	$243 x$	-	$729$
			-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	+	$243 x$
					+	$18 x^{2}$	-	$162 x$

解题步骤 5.3.3.1.5.1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	-	$18 x$
$x$	-	$9$		$x^{3}$	-	$27 x^{2}$	+	$243 x$	-	$729$
			-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	+	$243 x$
					+	$18 x^{2}$	-	$162 x$
							+	$81 x$

解题步骤 5.3.3.1.5.1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$	-	$18 x$
$x$	-	$9$		$x^{3}$	-	$27 x^{2}$	+	$243 x$	-	$729$
			-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	+	$243 x$
					+	$18 x^{2}$	-	$162 x$
							+	$81 x$	-	$729$

解题步骤 5.3.3.1.5.1.5.12

将被除数中的最高阶项 $81 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x^{2}$	-	$18 x$	+	$81$
$x$	-	$9$		$x^{3}$	-	$27 x^{2}$	+	$243 x$	-	$729$
			-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	+	$243 x$
					+	$18 x^{2}$	-	$162 x$
							+	$81 x$	-	$729$

解题步骤 5.3.3.1.5.1.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	-	$18 x$	+	$81$
$x$	-	$9$		$x^{3}$	-	$27 x^{2}$	+	$243 x$	-	$729$
			-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	+	$243 x$
					+	$18 x^{2}$	-	$162 x$
							+	$81 x$	-	$729$
							+	$81 x$	-	$729$

解题步骤 5.3.3.1.5.1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $81 x - 729$ 中的所有符号

				$x^{2}$	-	$18 x$	+	$81$
$x$	-	$9$		$x^{3}$	-	$27 x^{2}$	+	$243 x$	-	$729$
			-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	+	$243 x$
					+	$18 x^{2}$	-	$162 x$
							+	$81 x$	-	$729$
							-	$81 x$	+	$729$

解题步骤 5.3.3.1.5.1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	-	$18 x$	+	$81$
$x$	-	$9$		$x^{3}$	-	$27 x^{2}$	+	$243 x$	-	$729$
			-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	+	$243 x$
					+	$18 x^{2}$	-	$162 x$
							+	$81 x$	-	$729$
							-	$81 x$	+	$729$
										$0$

解题步骤 5.3.3.1.5.1.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$x^{2} - 18 x + 81$

解题步骤 5.3.3.1.5.1.6

将 $x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729$ 书写为因数的集合。

$f (8 x^{3} - 216 x^{2} + 1944 x - 5832) = \frac{2 \sqrt[3]{(x - 9) (x^{2} - 18 x + 81)}}{2} + 9$

解题步骤 5.3.3.1.5.2

使用完全平方法则进行因式分解。

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解题步骤 5.3.3.1.5.2.1

将 $81$ 重写为 $9^{2}$ 。

$f (8 x^{3} - 216 x^{2} + 1944 x - 5832) = \frac{2 \sqrt[3]{(x - 9) (x^{2} - 18 x + 9^{2})}}{2} + 9$

解题步骤 5.3.3.1.5.2.2

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$18 x = 2 \cdot x \cdot 9$

解题步骤 5.3.3.1.5.2.3

重写多项式。

$f (8 x^{3} - 216 x^{2} + 1944 x - 5832) = \frac{2 \sqrt[3]{(x - 9) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 9 + 9^{2})}}{2} + 9$

解题步骤 5.3.3.1.5.2.4

使用完全平方三项式法则对 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 9$ 。

$f (8 x^{3} - 216 x^{2} + 1944 x - 5832) = \frac{2 \sqrt[3]{(x - 9) {(x - 9)}^{2}}}{2} + 9$

解题步骤 5.3.3.1.5.3

合并同类因式。

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解题步骤 5.3.3.1.5.3.1

对 $x - 9$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (8 x^{3} - 216 x^{2} + 1944 x - 5832) = \frac{2 \sqrt[3]{(x - 9) {(x - 9)}^{2}}}{2} + 9$

解题步骤 5.3.3.1.5.3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (8 x^{3} - 216 x^{2} + 1944 x - 5832) = \frac{2 \sqrt[3]{{(x - 9)}^{1 + 2}}}{2} + 9$

解题步骤 5.3.3.1.5.3.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f (8 x^{3} - 216 x^{2} + 1944 x - 5832) = \frac{2 \sqrt[3]{{(x - 9)}^{3}}}{2} + 9$

解题步骤 5.3.3.1.6

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$f (8 x^{3} - 216 x^{2} + 1944 x - 5832) = \frac{2 (x - 9)}{2} + 9$

解题步骤 5.3.3.1.7

运用分配律。

$f (8 x^{3} - 216 x^{2} + 1944 x - 5832) = \frac{2 x + 2 \cdot - 9}{2} + 9$

解题步骤 5.3.3.1.8

将 $2$ 乘以 $- 9$ 。

$f (8 x^{3} - 216 x^{2} + 1944 x - 5832) = \frac{2 x - 18}{2} + 9$

解题步骤 5.3.3.1.9

从 $2 x - 18$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 5.3.3.1.9.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (8 x^{3} - 216 x^{2} + 1944 x - 5832) = \frac{2 (x) - 18}{2} + 9$

解题步骤 5.3.3.1.9.2

从 $- 18$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (8 x^{3} - 216 x^{2} + 1944 x - 5832) = \frac{2 x + 2 \cdot - 9}{2} + 9$

解题步骤 5.3.3.1.9.3

从 $2 x + 2 \cdot - 9$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (8 x^{3} - 216 x^{2} + 1944 x - 5832) = \frac{2 (x - 9)}{2} + 9$

解题步骤 5.3.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.2.1

约去公因数。

$f (8 x^{3} - 216 x^{2} + 1944 x - 5832) = \frac{2 (x - 9)}{2} + 9$

解题步骤 5.3.3.2.2

用 $x - 9$ 除以 $1$ 。

$f (8 x^{3} - 216 x^{2} + 1944 x - 5832) = x - 9 + 9$

解题步骤 5.3.4

合并 $x - 9 + 9$ 中相反的项。

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解题步骤 5.3.4.1

将 $- 9$ 和 $9$ 相加。

$f (8 x^{3} - 216 x^{2} + 1944 x - 5832) = x + 0$

解题步骤 5.3.4.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f (8 x^{3} - 216 x^{2} + 1944 x - 5832) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = 8 x^{3} - 216 x^{2} + 1944 x - 5832$ 为 $f (x) = \frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = 8 x^{3} - 216 x^{2} + 1944 x - 5832$

初级微积分 示例

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